Karamö, le prof virtuelLeçon 32 sur 44
Aire des figures usuelles (carré, rectangle, triangle, disque)
Je sais calculer l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle et d'un disque, convertir les unités d'aire et ne plus confondre aire et périmètre.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Distinguer aire et périmètre
- Calculer l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle et d'un disque
- Convertir des unités d'aire (m², dm², cm², are, hectare)
- Calculer l'aire d'une figure composée
- Résoudre un problème de surface (peinture, carrelage, champ)
Avant de commencer : Périmètre des figures usuelles ; le rectangle, le carré, le triangle et le cercle ; hauteur d'un triangle (perpendiculaire) ; multiplication des nombres décimaux.
1Je découvre
Aïssatou et son frère Ousmane viennent d'hériter chacun d'un terrain à Kindia. Le terrain d'Aïssatou est un carré de 20 m de côté. Celui d'Ousmane est un rectangle de 30 m sur 10 m.
Ousmane calcule les périmètres : 4 × 20 = 80 m pour sa sœur, 2 × (30 + 10) = 80 m pour lui. « Nos terrains sont pareils ! » dit-il. Aïssatou n'est pas d'accord : « Pour clôturer, oui, il faut autant de grillage. Mais pour cultiver des oignons, ce qui compte, c'est la place à l'intérieur. »
Elle dessine les deux terrains en petits carrés de 1 m sur 1 m et les compte : 400 petits carrés pour elle, 300 pour Ousmane.
Qu'est-ce que l'aire d'une figure, et comment la calculer sans compter les carreaux un par un ?
2Je comprends
1. Aire et périmètre : deux choses différentes
L'aire d'une figure est la mesure de la surface qu'elle occupe, c'est-à-dire de l'intérieur de la figure. Le périmètre mesure seulement le tour.
L'exemple d'Aïssatou et d'Ousmane montre que deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes. L'inverse est vrai aussi.
Pour mesurer une aire, on compte combien de carrés-unités elle contient. Un carré de 1 m de côté a une aire de 1 mètre carré, noté 1 m². Un carré de 1 cm de côté a une aire de 1 cm².
2. Les unités d'aire
Un carré de 1 m de côté contient 10 × 10 = 100 carrés de 1 dm de côté. Donc 1 m² = 100 dm². Chaque unité d'aire vaut 100 fois l'unité immédiatement plus petite.
| km² | hm² | dam² | m² | dm² | cm² | mm² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ha | a |
Pour les champs, on utilise les unités agraires :
- 1 are (a) = 1 dam² = 100 m² ;
- 1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m².
Dans le tableau de conversion des aires, on place deux chiffres par colonne.
Exemple
Convertir 3,5 m² en dm², puis 25 000 m² en hectares.
3,5 m² = 3,5 × 100 dm² = 350 dm².
25 000 m² = 25 000 ÷ 10 000 ha = 2,5 ha.
3. L'aire du rectangle et du carré
Dans un rectangle de 5 cm sur 3 cm, on peut ranger 3 rangées de 5 carrés de 1 cm² : 5 × 3 = 15 cm². De façon générale :
Rectangle de longueur L et de largeur l : mathcalA = L × l.
Carré de côté c : mathcalA = c × c = c2 (on lit « c au carré »).
Les deux longueurs doivent être dans la même unité ; l'aire est alors dans l'unité « carrée » correspondante (m et m donnent des m²).
4. L'aire du triangle
Trace la diagonale d'un rectangle : elle le coupe en deux triangles rectangles identiques. Chacun a donc pour aire la moitié de celle du rectangle.
C'est vrai pour tous les triangles : on choisit un côté, appelé base b, et on trace la hauteur h relative à cette base, c'est-à-dire le segment issu du sommet opposé et perpendiculaire à la base.
Triangle : mathcalA = b × h2.
Attention : la hauteur n'est pas un côté du triangle, sauf dans le triangle rectangle, où les deux côtés de l'angle droit jouent le rôle de base et de hauteur.
5. L'aire du disque
Le disque est la surface intérieure d'un cercle. Son aire se calcule avec le rayon r :
Disque : mathcalA = π × r × r = π × r2, avec π ≈ 3,14.
Si on connaît le diamètre, on commence par calculer le rayon : r = d ÷ 2.
6. Récapitulatif
| Figure | Aire | Exemple |
|---|---|---|
| Rectangle | L × l | 8 m sur 5 m : 40 m² |
| Carré | c × c | côté 6 cm : 36 cm² |
| Triangle | (b × h) ÷ 2 | base 10 cm, hauteur 4 cm : 20 cm² |
| Disque | π × r × r | rayon 2 m : environ 12,56 m² |
Méthode
Pour calculer une aire :
- Je reconnais la figure ; si elle est composée, je la découpe en figures simples (ou je retire un morceau).
- Je repère les longueurs utiles (pour un triangle : une base et SA hauteur ; pour un disque : le rayon).
- Je mets toutes les longueurs dans la même unité.
- J'applique la formule et je calcule.
- J'écris le résultat en unité d'aire (cm², m², ha…), avec ≈ si j'ai utilisé π ≈ 3,14.
Exemple
Aïssatou veut carreler le sol d'une chambre rectangulaire de 4,5 m sur 3,2 m.
Aire : 4,5 × 3,2 = 14,4 m².
Un carton de carreaux couvre 1,5 m². Nombre de cartons : 14,4 ÷ 1,5 = 9,6.
On ne peut pas acheter 9,6 cartons : elle en achète 10.
Exemple
Un jardin rond a un diamètre de 6 m. Quelle est son aire ?
Rayon : r = 6 ÷ 2 = 3 m.
Aire : 3,14 × 3 × 3 = 3,14 × 9 = 28,26 m² environ.
Exemple
Figure composée : un mur de case a la forme d'un rectangle de 6 m sur 3 m surmonté d'un triangle (pignon) de base 6 m et de hauteur 2 m. On perce une porte rectangulaire de 2 m sur 1 m. Quelle surface faut-il crépir ?
Rectangle : 6 × 3 = 18 m².
Triangle : (6 × 2) ÷ 2 = 6 m².
Porte (à retirer) : 2 × 1 = 2 m².
Surface à crépir : 18 + 6 − 2 = 22 m².
7. Retrouver une longueur à partir de l'aire
- Un rectangle a une aire de 60 m² et une longueur de 12 m : sa largeur vaut 60 ÷ 12 = 5 m.
- Un carré a une aire de 49 cm² : on cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49. C'est 7 : le côté mesure 7 cm.
3Je retiens
Je retiens
L'aire mesure la surface intérieure d'une figure ; le périmètre mesure son contour.
Rectangle : A = L × l. Carré : A = c × c.
Triangle : A = (base × hauteur) ÷ 2, la hauteur étant perpendiculaire à la base.
Disque : A = π × r × r, avec π ≈ 3,14.
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Chaque unité d'aire vaut 100 fois la suivante.
1 a = 100 m² ; 1 ha = 10 000 m² = 100 a.
4Erreurs fréquentes
- Confondre aire et périmètre : pour un carré de 4 cm, l'aire vaut 16 cm² et le périmètre 16 cm. Mêmes nombres ici, mais pas la même grandeur ni la même unité.
- Oublier de diviser par 2 pour le triangle : base 10 cm et hauteur 4 cm donnent 20 cm², pas 40 cm².
- Prendre un côté oblique à la place de la hauteur : la hauteur est toujours perpendiculaire à la base.
- Convertir les aires comme des longueurs : 1 m² = 100 dm² (et non 10 dm²).
- Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans π × r × r : pour d = 6 m, on calcule avec r = 3 m.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'aire de chaque figure.
a) Un rectangle de 9 cm sur 6,5 cm.
b) Un carré de côté 1,2 m.
c) Un triangle de base 14 cm et de hauteur 5 cm.
d) Un disque de rayon 10 cm (π ≈ 3,14).
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a) mathcalA = 9 × 6,5 = 58,5 cm².
b) mathcalA = 1,2 × 1,2 = 1,44 m².
c) mathcalA = (14 × 5) ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35 cm².
d) mathcalA ≈ 3,14 × 10 × 10 = 314 cm².
2Exercice 2
Convertis.
a) 7 m² en dm².
b) 450 cm² en dm².
c) 3 ha en m².
d) 8 500 m² en ares.
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a) 7 m2 = 7 × 100 = 700 dm².
b) 450 cm2 = 450 ÷ 100 = 4,5 dm².
c) 3 ha = 3 × 10 000 = 30 000 m².
d) 8 500 m2 = 8 500 ÷ 100 = 85 a.
3Exercice 3
Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 8 cm et AC = 6 cm. Calcule son aire.
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Le triangle est rectangle en A : [AB] est perpendiculaire à [AC]. On prend AB comme base et AC comme hauteur.
mathcalA = (8 × 6) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm².
4Exercice 4
Lansana possède un champ rectangulaire de 250 m sur 120 m, dans la région de Faranah.
a) Calcule l'aire du champ en m², puis en hectares.
b) Lansana prévoit 60 kg de semences de riz par hectare. Quelle masse de semences lui faut-il ?
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a) mathcalA = 250 × 120 = 30 000 m². Comme 1 ha = 10 000 m² : 30 000 ÷ 10 000 = 3 ha.
b) 3 × 60 = 180 kg de semences.
5Exercice 5
Kadiatou veut peindre un mur rectangulaire de 5 m sur 2,8 m, dans lequel il y a une fenêtre carrée de 1,2 m de côté.
a) Calcule la surface à peindre.
b) Un pot de peinture couvre 6 m². Combien de pots doit-elle acheter ?
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a) Mur : 5 × 2,8 = 14 m². Fenêtre : 1,2 × 1,2 = 1,44 m². Surface à peindre : 14 - 1,44 = 12,56 m².
b) 12,56 ÷ 6 ≈ 2,09. Deux pots ne couvrent que 12 m², c'est insuffisant : elle doit acheter 3 pots.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Une table ronde a un diamètre de 1,2 m. Fatoumata veut la couvrir d'une nappe carrée de 1,4 m de côté.
a) Calcule l'aire du dessus de la table (π ≈ 3,14).
b) Calcule l'aire de la nappe.
c) Quelle est l'aire de la partie de la nappe qui pend autour de la table ?
d) La nappe peut-elle couvrir toute la table ? Justifie.
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a) Rayon : r = 1,2 ÷ 2 = 0,6 m. mathcalA ≈ 3,14 × 0,6 × 0,6 = 3,14 × 0,36 = 1,1304 m².
b) mathcalA = 1,4 × 1,4 = 1,96 m².
c) 1,96 - 1,1304 = 0,8296 m², soit environ 0,83 m².
d) Oui. Le côté de la nappe (1,4 m) est plus grand que le diamètre de la table (1,2 m) : si on centre la nappe, le disque tient entièrement à l'intérieur du carré, et il reste (1,4 - 1,2) ÷ 2 = 0,1 m de tissu au minimum de chaque côté.
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6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 7e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
