Karamö, le prof virtuelLeçon 31 sur 44
Périmètre des figures usuelles (carré, rectangle, triangle, cercle)
Je sais calculer le périmètre d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle et la longueur d'un cercle, et l'utiliser pour résoudre des problèmes concrets.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le périmètre d'une figure
- Calculer le périmètre d'un carré, d'un rectangle et d'un triangle
- Calculer la longueur d'un cercle avec π ≈ 3,14
- Retrouver un côté connaissant le périmètre
- Résoudre un problème de clôture ou de bordure
Avant de commencer : Mesurer un segment ; le cercle (centre, rayon, diamètre) ; le rectangle et le carré ; addition et multiplication des nombres décimaux ; conversions des unités de longueur.
1Je découvre
Mamadou cultive un champ de maïs rectangulaire près de Kankan. Le champ mesure 45 m de long et 30 m de large. Chaque saison des pluies, des chèvres du voisinage viennent manger les jeunes pousses. Mamadou décide d'entourer son champ avec du grillage.
Au marché, le vendeur lui demande : « Combien de mètres de grillage te faut-il ? » Mamadou hésite. Sa fille Fanta, en 7e année, dit : « Il faut faire le tour du champ : deux longueurs et deux largeurs. »
Mamadou a aussi un puits rond au milieu de la cour, et il veut poser une bordure de briques tout autour. Mais là, pas de côtés à additionner : le bord est une ligne courbe !
Comment calculer la longueur du tour d'une figure, qu'elle ait des côtés droits ou qu'elle soit ronde ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce que le périmètre ?
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour, c'est-à-dire la longueur du chemin que l'on parcourt quand on fait une fois le tour de la figure.
Un périmètre est une longueur : il s'exprime en mètres (m), centimètres (cm), kilomètres (km)… Avant d'additionner des longueurs, on vérifie qu'elles sont toutes dans la même unité.
Pour un polygone (figure fermée faite de segments), le périmètre est la somme des longueurs de tous ses côtés.
2. Le périmètre du triangle
Un triangle a trois côtés. Si ses côtés mesurent a, b et c :
P = a + b + c.
Pour un triangle équilatéral (trois côtés égaux de longueur c) : P = 3 × c.
3. Le périmètre du rectangle
Un rectangle a deux longueurs égales L et deux largeurs égales l :
P = L + l + L + l = 2 × L + 2 × l = 2 × (L + l).
On peut donc calculer d'abord le demi-périmètre L + l, puis le multiplier par 2.
4. Le périmètre du carré
Un carré a quatre côtés égaux de longueur c :
P = c + c + c + c = 4 × c.
5. La longueur du cercle
Le contour d'un disque est un cercle. On ne peut pas additionner des côtés : il n'y en a pas. Les mathématiciens ont découvert une propriété remarquable : pour tous les cercles, grands ou petits, la longueur du cercle divisée par son diamètre donne toujours le même nombre. Ce nombre s'appelle pi et s'écrit π.
π n'est pas un nombre décimal : il a une infinité de chiffres après la virgule (π = 3,14159…). En 7e année, on utilise la valeur approchée π ≈ 3,14.
Si d est le diamètre et r le rayon (on sait que d = 2 × r), la longueur du cercle (on dit aussi sa circonférence) est :
P = π × d = 2 × π × r.
Comme on utilise une valeur approchée de π, le résultat est approché : on écrit le signe ≈ .
6. Tableau récapitulatif
| Figure | Ce qu'il faut connaître | Formule du périmètre |
|---|---|---|
| Triangle | les trois côtés a, b, c | P = a + b + c |
| Rectangle | longueur L et largeur l | P = 2 × (L + l) |
| Carré | côté c | P = 4 × c |
| Cercle | rayon r ou diamètre d | P = 2 × π × r = π × d |
Méthode
Pour calculer un périmètre :
- Je reconnais la figure (triangle, rectangle, carré, cercle, ou figure composée).
- Je repère les longueurs utiles et je vérifie qu'elles sont dans la même unité (sinon je convertis).
- J'écris la formule, puis je remplace par les nombres.
- Je calcule et j'écris le résultat avec son unité (et le signe ≈ si j'ai utilisé π ≈ 3,14).
- Je relis la question : faut-il enlever une ouverture (portail, porte) ou multiplier par un nombre de tours ?
Exemple
Le champ de Mamadou : un rectangle de 45 m sur 30 m.
Demi-périmètre : L + l = 45 + 30 = 75 m.
Périmètre : P = 2 × 75 = 150 m.
Mamadou laisse un portail de 3 m sans grillage.
Longueur de grillage : 150 − 3 = 147 m.
Exemple
La margelle du puits a un diamètre de 1,2 m.
P = π × d ≈ 3,14 × 1,2 = 3,768 m.
La bordure de briques mesure environ 3,77 m.
Avec le rayon : r = 1,2 ÷ 2 = 0,6 m et P = 2 × π × r ≈ 2 × 3,14 × 0,6 = 3,768 m. On trouve bien la même chose.
Exemple
Un triangle a des côtés de 6 cm, 85 mm et 0,1 m. Calculer son périmètre en cm.
On convertit tout en centimètres : 85 mm = 8,5 cm et 0,1 m = 10 cm.
P = 6 + 8,5 + 10 = 24,5 cm.
7. Retrouver un côté à partir du périmètre
On peut aussi faire le chemin inverse.
- Un carré a un périmètre de 36 m : son côté vaut 36 ÷ 4 = 9 m.
- Un rectangle a un périmètre de 50 m et une longueur de 15 m. Le demi-périmètre vaut 50 ÷ 2 = 25 m, donc la largeur vaut 25 - 15 = 10 m.
- Un cercle a une longueur d'environ 31,4 cm : son diamètre vaut environ 31,4 ÷ 3,14 = 10 cm.
8. Les figures composées
Pour une figure formée de plusieurs morceaux, on fait le tour en ne comptant que les traits du contour extérieur. Par exemple, une piste formée d'un rectangle et de deux demi-cercles aux extrémités : son contour est formé de deux segments droits et de deux demi-cercles, c'est-à-dire d'un cercle entier. Les côtés du rectangle cachés à l'intérieur ne comptent pas.
3Je retiens
Je retiens
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. On l'exprime dans une unité de longueur.
Triangle : P = a + b + c. Triangle équilatéral : P = 3 × c.
Rectangle : P = 2 × (L + l).
Carré : P = 4 × c.
Cercle : P = π × d = 2 × π × r, avec π ≈ 3,14 (le résultat est approché).
Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant de calculer.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de convertir : additionner 2 m et 50 cm donne 2,5 m, pas 52. On met toujours tout dans la même unité.
- Calculer 2 × L + l au lieu de 2 × (L + l) : pour 45 m et 30 m, on trouve 120 au lieu de 150. Les parenthèses sont obligatoires.
- Confondre rayon et diamètre : avec r = 5 cm, P ≈ 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm ; si on utilise P = π × 5, on oublie de doubler.
- Écrire le signe = au lieu de ≈ pour la longueur d'un cercle calculée avec 3,14.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le périmètre de chaque figure.
a) Un carré de côté 7,5 cm.
b) Un rectangle de longueur 12 m et de largeur 8,5 m.
c) Un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 6,3 cm.
d) Un triangle équilatéral de côté 2,4 m.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) P = 4 × 7,5 = 30 cm.
b) P = 2 × (12 + 8,5) = 2 × 20,5 = 41 m.
c) P = 4 + 5 + 6,3 = 15,3 cm.
d) P = 3 × 2,4 = 7,2 m.
2Exercice 2
Calcule, en prenant π ≈ 3,14 :
a) la longueur d'un cercle de rayon 5 cm ;
b) la longueur d'un cercle de diamètre 30 cm.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) P = 2 × π × r ≈ 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.
b) P = π × d ≈ 3,14 × 30 = 94,2 cm.
3Exercice 3
a) Un carré a un périmètre de 58 cm. Quelle est la longueur de son côté ?
b) Un rectangle a un périmètre de 34 m et une largeur de 6 m. Quelle est sa longueur ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) c = 58 ÷ 4 = 14,5 cm. Vérification : 4 × 14,5 = 58.
b) Demi-périmètre : 34 ÷ 2 = 17 m. Longueur : 17 - 6 = 11 m. Vérification : 2 × (11 + 6) = 34.
4Exercice 4
Hawa, couturière à Labé, veut coudre un galon tout autour d'une nappe rectangulaire de 1,8 m sur 1,2 m. Le galon coûte 4 000 GNF le mètre.
a) Quelle longueur de galon lui faut-il ?
b) Combien va-t-elle payer ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La nappe est un rectangle : P = 2 × (1,8 + 1,2) = 2 × 3 = 6 m. Il faut 6 m de galon.
b) Prix : 6 × 4 000 = 24 000 GNF.
5Exercice 5
Ibrahima fait du vélo. La roue de son vélo a un diamètre de 70 cm.
a) Quelle distance parcourt le vélo quand la roue fait un tour complet ? (Prends π ≈ 3,14.)
b) Quelle distance, en mètres, parcourt-il quand la roue fait 500 tours ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En un tour, le vélo avance de la longueur du cercle de la roue : P = π × d ≈ 3,14 × 70 = 219,8 cm, soit environ 2,198 m.
b) 500 × 219,8 = 109 900 cm = 1 099 m. Il parcourt environ 1 099 m (un peu plus d'un kilomètre).
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Un terrain de sport est formé d'un rectangle de 80 m sur 50 m et de deux demi-disques de diamètre 50 m collés sur les largeurs. Sékou fait le tour du terrain en courant.
a) Explique pourquoi les deux demi-cercles forment ensemble un cercle entier de diamètre 50 m.
b) Calcule la longueur d'un tour de terrain (prends π ≈ 3,14).
c) Sékou fait 5 tours. Quelle distance a-t-il parcourue, en kilomètres ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Chaque demi-disque a pour diamètre la largeur du rectangle, 50 m. Deux demi-cercles de même diamètre, mis ensemble, forment un cercle complet de diamètre 50 m.
b) Le contour est formé des deux longueurs du rectangle (les largeurs sont cachées par les demi-disques) et des deux demi-cercles.
Longueurs droites : 2 × 80 = 160 m.
Cercle entier : π × 50 ≈ 3,14 × 50 = 157 m.
Un tour : 160 + 157 = 317 m environ.
c) 5 × 317 = 1 585 m, soit environ 1,585 km.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
Toutes les leçons de Mathématiques · 7e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
