Karamö, le prof virtuelLeçon 35 sur 44
Le prisme droit
Je sais reconnaître un prisme droit, nommer ses bases et ses faces latérales, dessiner son patron et calculer son aire latérale et son volume.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un prisme droit et ses éléments (bases, faces latérales, arêtes, hauteur)
- Représenter un prisme droit en perspective cavalière
- Construire le patron d'un prisme droit à base triangulaire
- Calculer l'aire latérale et l'aire totale d'un prisme droit
- Calculer le volume d'un prisme droit
Avant de commencer : Le pavé droit et le cube ; aire du triangle et du rectangle ; périmètre d'un polygone ; unités d'aire et de volume.
1Je découvre
Pendant les vacances, les scouts du quartier de Kaloum montent une grande tente pour leur camp. Vue de face, l'entrée de la tente a la forme d'un triangle ; vue de côté, les deux pans de toile sont des rectangles qui descendent jusqu'au sol.
Ousmane, le chef d'équipe, se pose deux questions. D'abord : quelle surface de toile faut-il pour fabriquer les deux pans et les deux triangles de l'entrée et du fond ? Ensuite : combien d'air contient la tente, pour savoir combien de scouts peuvent y dormir sans étouffer ?
Sa camarade Kadiatou remarque que la tente ressemble à la toiture d'un magasin, à une barre de chocolat triangulaire ou même à un crayon à six pans. Tous ces objets ont deux faces identiques, face à face, reliées par des rectangles.
Qu'est-ce qu'un prisme droit, et comment calculer sa surface et son volume ?
2Je comprends
1. Définition et vocabulaire
Un prisme droit est un solide qui possède :
- deux faces identiques et parallèles, qui sont des polygones (triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones…) : ce sont les bases ;
- des faces latérales qui sont des rectangles, perpendiculaires aux bases.
Les arêtes qui relient les deux bases sont les arêtes latérales : elles sont toutes parallèles et de même longueur. Cette longueur est la hauteur du prisme, notée h.
On nomme un prisme d'après la forme de sa base :
- prisme droit à base triangulaire : la tente, la toiture ;
- prisme droit à base rectangulaire : c'est un pavé droit ! Le pavé droit et le cube sont donc des prismes droits particuliers ;
- prisme droit à base hexagonale : le crayon à six pans, un écrou.
2. Compter les éléments
Si la base a n côtés :
- le prisme a n faces latérales, donc n + 2 faces en tout ;
- il a 2 × n sommets (n sur chaque base) ;
- il a 3 × n arêtes (n sur chaque base et n arêtes latérales).
| Base | Faces | Sommets | Arêtes |
|---|---|---|---|
| Triangle (n = 3) | 5 | 6 | 9 |
| Rectangle (n = 4) | 6 | 8 | 12 |
| Pentagone (n = 5) | 7 | 10 | 15 |
| Hexagone (n = 6) | 8 | 12 | 18 |
On retrouve bien, pour le pavé droit, 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.
3. La perspective cavalière
On dessine souvent le prisme avec une base de face, en vraie grandeur. Les arêtes latérales sont tracées obliques, parallèles et de même longueur sur le dessin ; les arêtes cachées sont en pointillés.
4. Le patron d'un prisme droit
Le patron d'un prisme droit est formé :
- d'un grand rectangle (les faces latérales mises bout à bout) dont la longueur est le périmètre de la base et la largeur est la hauteur h ;
- des deux bases, collées de part et d'autre de ce rectangle.
Méthode
Pour construire le patron d'un prisme droit à base triangulaire :
- Je trace un rectangle de largeur h, découpé en 3 rectangles dont les longueurs sont les 3 côtés du triangle de base, dans l'ordre.
- Sur le bord supérieur, je construis le triangle de base (au compas) en m'appuyant sur l'un des 3 petits rectangles.
- Je construis le deuxième triangle, identique, sur le bord inférieur du même petit rectangle.
- Je vérifie que les côtés qui se colleront au pliage ont la même longueur.
5. Aire latérale et aire totale
Comme les faces latérales forment un rectangle de longueur « périmètre de la base » et de largeur h :
mathcalAlatérale = périmètre de la base × h.
mathcalAtotale = mathcalAlatérale + 2 × aire d'une base.
6. Le volume
Le volume d'un prisme droit se calcule comme celui du pavé droit : on « empile » la base sur toute la hauteur.
mathcalV = aire de la base × h.
Pour un pavé droit, l'aire de la base est L × l et on retrouve mathcalV = L × l × h.
- 1Je repère les deux bases (les deux faces identiques et parallèles) et la hauteur h (longueur d'une arête latérale).
- 2Je calcule l'aire de la base avec la bonne formule (triangle, rectangle…).
- 3Je multiplie par h pour obtenir le volume.
- 4Pour l'aire latérale, je calcule le périmètre de la base et je le multiplie par h.
- 5J'ajoute deux fois l'aire de la base pour obtenir l'aire totale.
Exemple
Un prisme droit a pour base un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. Sa hauteur est h = 10 cm.
Aire de la base : (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm².
Volume : V = 6 × 10 = 60 cm³.
Périmètre de la base : 3 + 4 + 5 = 12 cm.
Aire latérale : 12 × 10 = 120 cm².
Aire totale : 120 + 2 × 6 = 132 cm².
Exemple
La tente des scouts : l'entrée est un triangle isocèle de base 2,4 m et de hauteur 1,6 m ; les côtés obliques mesurent 2 m ; la tente est longue de 3 m.
Aire d'un triangle : (2,4 × 1,6) ÷ 2 = 1,92 m².
Volume d'air : V = 1,92 × 3 = 5,76 m³.
Toile : les deux pans inclinés mesurent chacun 2 m sur 3 m : 2 × 2 × 3 = 12 m².
Les deux triangles : 2 × 1,92 = 3,84 m².
Toile totale (sans le sol) : 12 + 3,84 = 15,84 m².
Remarque : dans cet exemple, la tente n'a pas de toile au sol ; on ne compte donc pas la face rectangulaire du dessous (2,4 m sur 3 m). Lis toujours attentivement ce que demande l'énoncé.
7. La hauteur du prisme et la hauteur du triangle
Dans un prisme à base triangulaire, il y a deux hauteurs différentes :
- la hauteur du triangle de base, qui sert à calculer l'aire de la base ;
- la hauteur du prisme h, qui est la longueur des arêtes latérales.
Ne les confonds pas : dans la tente, la hauteur du triangle vaut 1,6 m et la hauteur du prisme (sa longueur) vaut 3 m.
3Je retiens
Je retiens
Un prisme droit a deux bases identiques et parallèles (des polygones) et des faces latérales rectangulaires.
Les arêtes latérales sont parallèles et de même longueur : c'est la hauteur h du prisme.
Base à n côtés : n + 2 faces, 2 × n sommets, 3 × n arêtes.
Le pavé droit et le cube sont des prismes droits.
Aire latérale = périmètre de la base × h. Aire totale = aire latérale + 2 × aire de la base.
Volume = aire de la base × h.
4Erreurs fréquentes
- Croire que la base est toujours la face du dessous : la base est l'une des deux faces identiques et parallèles, même si le prisme est couché (comme la tente).
- Confondre la hauteur du triangle de base et la hauteur du prisme.
- Oublier de diviser par 2 en calculant l'aire d'une base triangulaire, ce qui double le volume.
- Oublier les deux bases dans l'aire totale, ou compter une face que l'énoncé exclut (sol de la tente, toit ouvert).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un prisme droit a pour base un pentagone.
a) Combien a-t-il de faces latérales ? de faces en tout ?
b) Combien a-t-il de sommets et d'arêtes ?
c) Quelle est la nature de ses faces latérales ?
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a) La base a 5 côtés : 5 faces latérales, donc 5 + 2 = 7 faces en tout.
b) 2 × 5 = 10 sommets et 3 × 5 = 15 arêtes.
c) Ce sont des rectangles.
2Exercice 2
Un prisme droit a pour base un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm. Sa hauteur est 9 cm. Calcule son volume.
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Aire de la base : (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm². Volume : mathcalV = 12 × 9 = 108 cm³.
3Exercice 3
Un prisme droit a pour base un triangle équilatéral de 5 cm de côté ; sa hauteur est 12 cm.
a) Calcule le périmètre de la base.
b) Calcule l'aire latérale du prisme.
c) Dessine à main levée son patron en indiquant les longueurs.
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a) P = 3 × 5 = 15 cm.
b) mathcalAlatérale = 15 × 12 = 180 cm².
c) Le patron comprend un rectangle de 15 cm sur 12 cm partagé en 3 rectangles de 5 cm sur 12 cm, et deux triangles équilatéraux de 5 cm de côté collés sur les bords haut et bas de l'un des petits rectangles.
4Exercice 4
Complète le tableau (tous les prismes sont droits).
| Aire de la base | Hauteur du prisme | Volume |
|---|---|---|
| 15 cm² | 8 cm | … |
| … | 5 m | 40 m³ |
| 2,5 dm² | … | 20 dm³ |
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Ligne 1 : mathcalV = 15 × 8 = 120 cm³.
Ligne 2 : aire de la base = 40 ÷ 5 = 8 m².
Ligne 3 : hauteur = 20 ÷ 2,5 = 8 dm.
5Exercice 5
Une cale en bois, fabriquée par un menuisier de Mamou pour bloquer les portes, a la forme d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés de l'angle droit 6 cm et 8 cm (l'hypoténuse mesure 10 cm) ; l'épaisseur de la cale (hauteur du prisme) est 5 cm.
a) Calcule le volume de la cale.
b) Le menuisier vernit toutes les faces de la cale. Calcule la surface à vernir.
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a) Aire de la base : (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm². mathcalV = 24 × 5 = 120 cm³.
b) Périmètre de la base : 6 + 8 + 10 = 24 cm. Aire latérale : 24 × 5 = 120 cm².
Aire totale : 120 + 2 × 24 = 120 + 48 = 168 cm².
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Un magasin de stockage de riz à Kankan a la forme d'un pavé droit de 10 m de long, 6 m de large et 3 m de haut, surmonté d'un toit en forme de prisme droit à base triangulaire. Le triangle du pignon a une base de 6 m et une hauteur de 2 m ; le toit est long de 10 m.
a) Calcule le volume de la partie en pavé droit.
b) Calcule le volume du toit.
c) Déduis-en le volume total du magasin.
d) Les pans du toit sont deux rectangles d'environ 3,6 m sur 10 m. Quelle surface de tôle faut-il pour couvrir le toit ?
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a) mathcalV1 = 10 × 6 × 3 = 180 m³.
b) Aire du pignon : (6 × 2) ÷ 2 = 6 m². mathcalV2 = 6 × 10 = 60 m³.
c) mathcalV = 180 + 60 = 240 m³.
d) 2 × 3,6 × 10 = 72 m² : il faut environ 72 m² de tôle.
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6Je vérifie
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