Karamö, le prof virtuelLeçon 36 sur 44
Le cylindre droit
Je sais reconnaître un cylindre droit, décrire son patron et calculer son aire latérale, son aire totale et son volume.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un cylindre droit et nommer ses éléments (bases, rayon, hauteur, surface latérale)
- Décrire et construire le patron d'un cylindre droit
- Calculer l'aire latérale et l'aire totale
- Calculer le volume et la contenance d'un cylindre droit
- Résoudre des problèmes (fût, puits, boîte de conserve)
Avant de commencer : Le cercle et le disque (rayon, diamètre) ; longueur du cercle et aire du disque avec π ≈ 3,14 ; le prisme droit ; unités de volume et de contenance.
1Je découvre
À Siguiri, Fatoumata tient un petit commerce d'huile de palme. Elle stocke son huile dans un grand fût métallique : le fond et le couvercle sont des disques, et la paroi, une fois dépliée, serait une grande plaque rectangulaire.
Son voisin Lansana creuse un puits dans sa cour : un trou rond, bien droit, de 1,2 m de diamètre. Les deux voisins se posent chacun une question. Fatoumata veut savoir combien de litres d'huile contient son fût plein. Lansana veut savoir combien de mètres cubes de terre il devra sortir pour creuser son puits jusqu'à 12 m de profondeur.
Le fût, le puits, une boîte de tomate concentrée, un tuyau, une craie : tous ont la même forme, arrondie, avec deux extrémités en forme de disque.
Qu'est-ce qu'un cylindre droit, et comment calculer sa surface et son volume ?
2Je comprends
1. Définition et vocabulaire
Un cylindre droit (ou cylindre de révolution) est un solide formé :
- de deux bases qui sont des disques identiques et parallèles, de rayon r ;
- d'une surface latérale courbe qui relie les bords des deux disques.
Le segment qui relie les centres des deux bases est perpendiculaire aux bases ; sa longueur est la hauteur h du cylindre. On l'appelle aussi l'axe du cylindre.
On peut obtenir un cylindre en faisant tourner un rectangle autour de l'un de ses côtés : c'est pour cela qu'on parle de « cylindre de révolution ».
Le cylindre ressemble à un prisme droit dont la base serait un disque au lieu d'un polygone. Mais il n'a ni arête droite, ni sommet : sa surface latérale n'est pas plate.
- Deux bases : polygones identiques
- Faces latérales : rectangles plats
- Il a des arêtes et des sommets
- Volume = aire de la base × h
- Deux bases : disques identiques
- Surface latérale courbe
- Il n'a ni arête droite ni sommet
- Volume = aire de la base × h
2. Représentation en perspective
En perspective, les disques de base sont vus de biais : on les dessine comme des ovales (des ellipses). La moitié arrière de l'ovale du bas, cachée, est tracée en pointillés. On relie les deux ovales par deux segments verticaux de longueur h.
3. Le patron du cylindre
Si l'on découpe la paroi d'une boîte de conserve le long d'une ligne droite et qu'on l'aplatit, on obtient un rectangle. Ce rectangle s'enroule exactement autour du disque de base : sa longueur est donc égale à la longueur du cercle de base, 2 × π × r. Sa largeur est la hauteur h.
Le patron d'un cylindre est donc formé :
- d'un rectangle de dimensions 2 × π × r et h ;
- de deux disques de rayon r, collés de part et d'autre du rectangle.
4. Aire latérale et aire totale
L'aire latérale est l'aire du rectangle du patron :
mathcalAlatérale = 2 × π × r × h (périmètre de la base × hauteur).
L'aire totale ajoute les deux disques de base :
mathcalAtotale = 2 × π × r × h + 2 × π × r × r.
5. Le volume
Comme pour le prisme droit, on empile la base sur toute la hauteur :
mathcalV = aire de la base × h = π × r × r × h.
Avec π ≈ 3,14, les résultats sont des valeurs approchées.
Méthode
Pour calculer le volume d'un cylindre droit :
- Je repère le rayon r (si on donne le diamètre, je le divise par 2) et la hauteur h, dans la même unité.
- Je calcule l'aire de la base : π × r × r ≈ 3,14 × r × r.
- Je multiplie par la hauteur h.
- J'écris l'unité de volume et le signe ≈ ; si on demande une contenance, je convertis (1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L).
Exemple
Une boîte de tomate a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm.
Aire de la base : 3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24 cm².
Volume : 50,24 × 10 = 502,4 cm³, soit environ 0,5 L.
Aire latérale (l'étiquette) : 2 × 3,14 × 4 × 10 = 251,2 cm².
Aire totale (tout le métal) : 251,2 + 2 × 50,24 = 251,2 + 100,48 = 351,68 cm².
Exemple
Le fût de Fatoumata a un rayon de 0,3 m et une hauteur de 0,9 m.
Aire de la base : 3,14 × 0,3 × 0,3 = 3,14 × 0,09 = 0,2826 m².
Volume : 0,2826 × 0,9 = 0,25434 m³.
Contenance : 0,25434 × 1 000 = 254,34 L. Le fût contient environ 254 L.
Exemple
Le puits de Lansana : diamètre 1,2 m, profondeur 12 m.
Rayon : 1,2 ÷ 2 = 0,6 m.
Aire du fond : 3,14 × 0,6 × 0,6 = 3,14 × 0,36 = 1,1304 m².
Volume de terre : 1,1304 × 12 = 13,5648 m³, soit environ 13,6 m³.
6. Retrouver une dimension
Si l'on connaît le volume et le rayon, on retrouve la hauteur en divisant le volume par l'aire de la base. Par exemple, un réservoir cylindrique de base 3,14 m² (rayon 1 m) contient 6,28 m³ d'eau : la hauteur d'eau est 6,28 ÷ 3,14 = 2 m.
3Je retiens
Je retiens
Un cylindre droit a deux bases qui sont des disques identiques et parallèles, et une surface latérale courbe. Sa hauteur h est la distance entre les deux bases.
Patron : un rectangle de longueur 2 × π × r et de largeur h, et deux disques de rayon r.
Aire latérale = 2 × π × r × h.
Aire totale = 2 × π × r × h + 2 × π × r × r.
Volume = π × r × r × h (aire de la base × hauteur).
On utilise π ≈ 3,14 : les résultats sont approchés.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser le diamètre à la place du rayon : avec d = 8 cm, il faut calculer avec r = 4 cm, sinon le volume est multiplié par 4.
- Oublier que la longueur du rectangle du patron est la longueur du cercle (2 × π × r), et non le diamètre.
- Confondre aire (cm²) et volume (cm³).
- Compter les deux disques dans l'aire quand l'objet est ouvert (un seau, un puits, un verre n'ont pas de couvercle).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Réponds par vrai ou faux et justifie.
a) Les deux bases d'un cylindre droit sont des cercles de même rayon.
b) Un cylindre droit a des arêtes.
c) La surface latérale d'un cylindre, dépliée, est un rectangle.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Faux : les bases sont des disques (surfaces), limités par des cercles de même rayon.
b) Faux : sa surface latérale est courbe ; il n'a ni arête droite ni sommet.
c) Vrai : c'est un rectangle de longueur 2 × π × r et de largeur h.
2Exercice 2
Calcule le volume de chaque cylindre (π ≈ 3,14).
a) r = 5 cm et h = 8 cm.
b) diamètre 2 m et h = 3 m.
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a) mathcalV ≈ 3,14 × 5 × 5 × 8 = 3,14 × 200 = 628 cm³.
b) r = 2 ÷ 2 = 1 m. mathcalV ≈ 3,14 × 1 × 1 × 3 = 9,42 m³.
3Exercice 3
Une boîte de lait en poudre a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm.
a) Quelles sont les dimensions du rectangle de son patron ?
b) Calcule l'aire de l'étiquette qui fait exactement le tour de la boîte.
c) Calcule l'aire totale de métal de la boîte.
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a) Longueur : 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm ; largeur : 12 cm.
b) mathcalAlatérale ≈ 31,4 × 12 = 376,8 cm².
c) Un disque : 3,14 × 5 × 5 = 78,5 cm². Aire totale : 376,8 + 2 × 78,5 = 376,8 + 157 = 533,8 cm².
4Exercice 4
Un verre cylindrique a un rayon intérieur de 3 cm et une hauteur intérieure de 10 cm.
a) Calcule sa contenance en cm³, puis en centilitres (1 cL = 10 cm³).
b) Peut-on y verser 30 cL de jus de bissap sans qu'il déborde ?
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a) mathcalV ≈ 3,14 × 3 × 3 × 10 = 3,14 × 90 = 282,6 cm³. En centilitres : 282,6 ÷ 10 = 28,26 cL.
b) Non : le verre contient environ 28,26 cL, moins que 30 cL. Il déborderait.
5Exercice 5
Un réservoir cylindrique a une base d'aire 1,5 m² et contient 4,5 m³ d'eau. Quelle est la hauteur d'eau ?
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h = 4,5 ÷ 1,5 = 3 m.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Pour l'irrigation de son jardin maraîcher près de Dubréka, Mamadou utilise un bassin cylindrique de 2 m de diamètre et de 1,5 m de profondeur, ouvert en haut.
a) Calcule le volume du bassin en m³, puis en litres.
b) Son arrosoir contient 10 L. Combien d'arrosoirs pleins peut-il remplir avec le bassin plein ?
c) Il veut cimenter l'intérieur du bassin (fond et paroi). Calcule la surface à cimenter.
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a) r = 1 m. mathcalV ≈ 3,14 × 1 × 1 × 1,5 = 4,71 m³, soit 4,71 × 1 000 = 4 710 L.
b) 4 710 ÷ 10 = 471 arrosoirs.
c) Fond : 3,14 × 1 × 1 = 3,14 m². Paroi : 2 × 3,14 × 1 × 1,5 = 9,42 m². Pas de couvercle : surface = 3,14 + 9,42 = 12,56 m² environ.
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6Je vérifie
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