Karamö, le prof virtuelLeçon 38 sur 44
Le coefficient de proportionnalité
Je sais calculer le coefficient de proportionnalité d'un tableau, l'utiliser pour compléter le tableau dans les deux sens et reconnaître la proportionnalité sur un graphique.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et calculer un coefficient de proportionnalité
- Compléter un tableau en multipliant ou en divisant par le coefficient
- Donner le sens concret du coefficient (prix unitaire, vitesse, taux)
- Utiliser un pourcentage comme coefficient
- Reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique
Avant de commencer : Le tableau de proportionnalité ; multiplication et division des nombres décimaux ; fractions et pourcentages ; repérage dans un quadrillage.
1Je découvre
Ibrahima aide son oncle, commerçant de tissu au grand marché de Kankan. Le bazin se vend au mètre, toujours au même prix. L'oncle a noté dans son cahier :
| Longueur (m) | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 50 000 | 75 000 | 125 000 |
Une cliente arrive et demande 7,5 m. Ibrahima cherche une colonne à doubler ou à additionner, mais 7,5 ne s'obtient pas facilement. Son oncle sourit : « Il existe un nombre magique qui fait passer de n'importe quelle longueur à son prix. Trouve-le, et tu calculeras tout en une seule multiplication. »
Une autre cliente, elle, dit : « J'ai 100 000 GNF. Combien de mètres puis-je avoir ? » Il faut alors faire le chemin inverse.
Quel est ce « nombre magique », comment le trouver et comment l'utiliser dans les deux sens ?
2Je comprends
1. Définition
Dans un tableau de proportionnalité, le nombre par lequel on multiplie chaque valeur de la première ligne pour obtenir la valeur correspondante de la deuxième ligne s'appelle le coefficient de proportionnalité.
On le calcule en divisant une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première :
coefficient = valeur de la 2e lignevaleur de la 1re ligne.
Pour le bazin : 50 000 ÷ 2 = 25 000. Le coefficient est 25 000. On le note souvent à côté du tableau avec une flèche « × 25 000 ».
| Longueur (m) | 2 | 3 | 5 | 7,5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 50 000 | 75 000 | 125 000 | 187 500 |
Pour 7,5 m : 7,5 × 25 000 = 187 500 GNF.
2. Le sens concret du coefficient
Le coefficient n'est pas qu'un nombre : il a presque toujours un sens, et une unité.
- Prix et quantité : le coefficient est le prix unitaire (25 000 GNF par mètre).
- Distance et durée à vitesse constante : le coefficient est la vitesse (par exemple 60 km par heure).
- Conversion d'unités : pour passer des heures aux minutes, le coefficient est 60 ; des mètres aux centimètres, 100.
- Périmètre d'un carré et côté : le coefficient est 4.
3. Le chemin inverse : diviser par le coefficient
Si l'on connaît la valeur de la deuxième ligne, on retrouve celle de la première en divisant par le coefficient.
Avec 100 000 GNF : 100 000 ÷ 25 000 = 4. La cliente peut acheter 4 m de bazin.
On peut aussi dire que, de la deuxième ligne vers la première, le coefficient est 125 000 : diviser par 25 000, c'est multiplier par 125 000.
- On multiplie par le coefficient k
- Longueur × 25 000 = prix
- 7,5 m donnent 187 500 GNF
- On divise par le coefficient k
- Prix ÷ 25 000 = longueur
- 100 000 GNF donnent 4 m
Méthode
Pour compléter un tableau avec le coefficient de proportionnalité :
- Je choisis une colonne complète et je calcule k = valeur du bas ÷ valeur du haut.
- Je vérifie avec une autre colonne complète que je trouve le même k (sinon, le tableau n'est pas de proportionnalité).
- Pour une case vide en bas : je multiplie la valeur du haut par k.
- Pour une case vide en haut : je divise la valeur du bas par k.
- Je donne le sens de k avec son unité si la situation est concrète.
Exemple
Un car de transport roule à vitesse constante sur la route nationale.
Durée (h) : 2 | 3 | ? | 0,5
Distance (km) : 120 | ? | 300 | ?
Coefficient : 120 ÷ 2 = 60 (le car roule à 60 km par heure).
3 h : 3 × 60 = 180 km. 300 km : 300 ÷ 60 = 5 h. 0,5 h : 0,5 × 60 = 30 km.
Exemple
Le coefficient peut être un nombre décimal inférieur à 1.
Masse de farine (g) : 200 | 500 | 1 000
Masse de sucre (g) : 50 | 125 | 250
Coefficient : 50 ÷ 200 = 0,25. On vérifie : 500 × 0,25 = 125 et 1 000 × 0,25 = 250.
Il faut 0,25 g de sucre par gramme de farine, c'est-à-dire un quart de la masse de farine.
4. Pourcentage et coefficient
Prendre un pourcentage, c'est appliquer une situation de proportionnalité. Prendre 15 % d'un nombre, c'est le multiplier par 15100 = 0,15 : le coefficient est 0,15.
Exemple
Dans une école de Boké, 40 % des élèves de 7e année viennent à pied.
Nombre d'élèves de la classe : 50 | 60 | 75
Nombre d'élèves venant à pied : 20 | 24 | 30
Coefficient : 40 ÷ 100 = 0,4. 50 × 0,4 = 20 ; 60 × 0,4 = 24 ; 75 × 0,4 = 30.
5. La proportionnalité sur un graphique
Plaçons dans un repère les points qui ont pour coordonnées (nombre de cahiers ; prix en milliers de GNF) quand un cahier coûte 2 500 GNF, c'est-à-dire 2,5 milliers de GNF : (1 ; 2,5), (2 ; 5), (4 ; 10).
Ces points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère.
Propriété. Une situation est de proportionnalité si et seulement si, dans un repère, ses points sont alignés avec l'origine du repère.
Pour le taxi de la leçon précédente (3 000 GNF de prise en charge), les points seraient alignés, mais sur une droite qui ne passe pas par l'origine : ce n'est pas de la proportionnalité.
3Je retiens
Je retiens
Le coefficient de proportionnalité k est le nombre par lequel on multiplie la 1re ligne pour obtenir la 2e.
k = valeur de la 2e ligne ÷ valeur correspondante de la 1re ligne (il est le même pour toutes les colonnes).
1re ligne → 2e ligne : on multiplie par k. 2e ligne → 1re ligne : on divise par k.
Le coefficient a souvent un sens : prix unitaire, vitesse, taux de conversion.
Prendre t % d'un nombre, c'est le multiplier par t ÷ 100.
Graphiquement, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine.
4Erreurs fréquentes
- Diviser dans le mauvais sens : pour le bazin, 2 ÷ 50 000 ne donne pas le prix d'un mètre. On divise la 2e ligne par la 1re : 50 000 ÷ 2.
- Multiplier par k quand on cherche une valeur de la 1re ligne : pour trouver la longueur à partir du prix, on divise.
- Croire que des points alignés montrent toujours une proportionnalité : la droite doit aussi passer par l'origine.
- Oublier que 15 % correspond au coefficient 0,15 et non 15.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le coefficient de proportionnalité de chaque tableau, puis complète-le.
a)
| 4 | 7 | 10 | … |
|---|---|---|---|
| 12 | … | … | 45 |
b)
| 5 | 8 | … | 20 |
|---|---|---|---|
| 2 | … | 4,8 | … |
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a) k = 12 ÷ 4 = 3. 7 × 3 = 21 ; 10 × 3 = 30 ; 45 ÷ 3 = 15. Le tableau complété est : 4, 7, 10, 15 en haut et 12, 21, 30, 45 en bas.
b) k = 2 ÷ 5 = 0,4. 8 × 0,4 = 3,2 ; 4,8 ÷ 0,4 = 12 ; 20 × 0,4 = 8. Le tableau complété est : 5, 8, 12, 20 en haut et 2 ; 3,2 ; 4,8 ; 8 en bas.
2Exercice 2
Un robinet débite toujours la même quantité d'eau : il remplit 36 L en 4 minutes.
a) Quel est le coefficient de proportionnalité entre la durée (en minutes) et le volume (en litres) ? Que représente-t-il ?
b) Quel volume coule en 15 minutes ?
c) Combien de temps faut-il pour remplir un fût de 207 L ?
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a) k = 36 ÷ 4 = 9. C'est le débit du robinet : 9 L par minute.
b) 15 × 9 = 135 L.
c) 207 ÷ 9 = 23 minutes.
3Exercice 3
Convertis en utilisant un coefficient de proportionnalité.
| Durée (h) | 1 | 2,5 | … | 0,25 |
|---|---|---|---|---|
| Durée (min) | 60 | … | 210 | … |
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Le coefficient est 60 (1 h = 60 min).
2,5 × 60 = 150 min ; 210 ÷ 60 = 3,5 h ; 0,25 × 60 = 15 min.
4Exercice 4
Dans un collège de Nzérékoré, 35 % des élèves font partie d'un club.
a) Quel est le coefficient qui permet de calculer le nombre d'élèves membres d'un club ?
b) Calcule ce nombre pour une classe de 60 élèves et pour un collège de 840 élèves.
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a) 35 ÷ 100 = 0,35.
b) Classe : 60 × 0,35 = 21 élèves. Collège : 840 × 0,35 = 294 élèves.
5Exercice 5
Voici les points (masse en kg ; prix en milliers de GNF) relevés chez deux vendeurs de pommes de terre du Fouta :
- Vendeur A : (1 ; 6), (2 ; 12), (3 ; 18).
- Vendeur B : (1 ; 7), (2 ; 12), (3 ; 17).
a) Pour chaque vendeur, calcule les quotients prix ÷ masse.
b) Lequel pratique un prix proportionnel à la masse ? Quel est le coefficient ?
c) Si on plaçait les points du vendeur B dans un repère, seraient-ils alignés avec l'origine ?
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a) Vendeur A : 6 ÷ 1 = 6 ; 12 ÷ 2 = 6 ; 18 ÷ 3 = 6. Vendeur B : 7 ÷ 1 = 7 ; 12 ÷ 2 = 6 ; 17 ÷ 3 ≈ 5,67.
b) Le vendeur A : tous ses quotients valent 6. Le coefficient est 6 : le kilogramme coûte 6 milliers de GNF, soit 6 000 GNF.
c) Non. Les quotients du vendeur B ne sont pas égaux, donc la situation n'est pas proportionnelle : ses points ne sont pas alignés avec l'origine (ils sont alignés entre eux, mais sur une droite qui ne passe pas par l'origine).
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Kadiatou prépare du jus de gingembre à vendre. Pour 2 L de jus, elle utilise 300 g de gingembre et 250 g de sucre.
a) Construis un tableau donnant les masses de gingembre pour 2 L, 5 L, 8 L et 1 L de jus. Quel est le coefficient ? Que signifie-t-il ?
b) Elle a 1,2 kg de gingembre. Quelle quantité de jus peut-elle préparer ?
c) Quelle masse de sucre faut-il pour 8 L de jus ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) k = 300 ÷ 2 = 150 : il faut 150 g de gingembre par litre de jus.
| Jus (L) | 2 | 5 | 8 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| Gingembre (g) | 300 | 750 | 1 200 | 150 |
b) 1,2 kg = 1 200 g. 1 200 ÷ 150 = 8 L de jus.
c) Coefficient pour le sucre : 250 ÷ 2 = 125 g par litre. Pour 8 L : 8 × 125 = 1 000 g, soit 1 kg de sucre.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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