Karamö, le prof virtuelLeçon 37 sur 44
Le tableau de proportionnalité
Je sais reconnaître si un tableau est un tableau de proportionnalité et le compléter par plusieurs méthodes (multiplier, additionner, passer par l'unité).
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une situation de proportionnalité
- Vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité
- Compléter un tableau en multipliant ou en divisant une colonne
- Compléter un tableau en additionnant deux colonnes
- Utiliser le passage par l'unité (règle de trois)
Avant de commencer : Multiplication et division des nombres décimaux ; fractions égales ; tables de multiplication.
1Je découvre
Au marché de Dabompa, Mariama vend des oranges de Kindia par tas. Sur son ardoise, elle a écrit : « 1 tas : 2 500 GNF ; 2 tas : 5 000 GNF ; 4 tas : 10 000 GNF ».
Sékou, un client, veut 3 tas. Mariama calcule vite : 1 tas + 2 tas, donc 2 500 + 5 000 = 7 500 GNF. Un autre client veut 10 tas : elle double le prix de 5 tas, qu'elle obtient en ajoutant 4 tas et 1 tas.
Le lendemain, Sékou prend un taxi. Le chauffeur lui explique : « C'est 3 000 GNF pour monter, puis 1 000 GNF par kilomètre. » Pour 2 km, Sékou paie 5 000 GNF ; pour 4 km, 7 000 GNF. En doublant la distance, le prix n'a pas doublé !
Comment reconnaître une situation où les quantités « vont ensemble » de façon régulière, et comment compléter rapidement un tableau de ce type ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on peut obtenir les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre toujours par le même nombre.
Pour les oranges de Mariama : prix = nombre de tas × 2 500. Le prix est proportionnel au nombre de tas.
On range ces valeurs dans un tableau de proportionnalité :
| Nombre de tas | 1 | 2 | 4 | 3 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 2 500 | 5 000 | 10 000 | 7 500 | 25 000 |
Dans chaque colonne, on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 2 500.
2. Reconnaître un tableau de proportionnalité
Un tableau est un tableau de proportionnalité si, en divisant chaque nombre de la deuxième ligne par le nombre correspondant de la première ligne, on trouve toujours le même quotient.
Exemple
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?
Masse de sucre (kg) : 2 | 5 | 8
Prix (GNF) : 16 000 | 40 000 | 64 000
16 000 ÷ 2 = 8 000 ; 40 000 ÷ 5 = 8 000 ; 64 000 ÷ 8 = 8 000.
Les quotients sont tous égaux : c'est un tableau de proportionnalité.
Exemple
Le taxi de Sékou :
Distance (km) : 2 | 4 | 6
Prix (GNF) : 5 000 | 7 000 | 9 000
5 000 ÷ 2 = 2 500 ; 7 000 ÷ 4 = 1 750.
Les quotients sont différents : ce n'est pas un tableau de proportionnalité. La somme fixe de 3 000 GNF pour monter empêche la proportionnalité.
Situations souvent proportionnelles : le prix et la quantité achetée (à prix unitaire fixe), la distance parcourue à vitesse constante et la durée, la quantité d'ingrédients et le nombre de personnes dans une recette, le périmètre d'un carré et son côté.
Situations non proportionnelles : l'âge et la taille d'un enfant, le prix d'une course avec une prise en charge, l'aire d'un carré et son côté (1 → 1, 2 → 4, 3 → 9 : les quotients 1, 2 et 3 sont différents).
3. Compléter un tableau : quatre méthodes
On veut compléter ce tableau, qui donne le prix de mètres de tissu wax :
| Longueur (m) | 2 | 6 | 8 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 30 000 | ? | ? | ? |
Méthode 1 : multiplier (ou diviser) une colonne. Si on multiplie une valeur de la première ligne par un nombre, on multiplie la valeur correspondante par le même nombre.
6 m, c'est 3 × 2 m, donc le prix est 3 × 30 000 = 90 000 GNF.
Méthode 2 : additionner deux colonnes. Si on additionne deux valeurs de la première ligne, on additionne les valeurs correspondantes.
8 m = 2 m + 6 m, donc le prix est 30 000 + 90 000 = 120 000 GNF.
Méthode 3 : passer par l'unité (règle de trois). On calcule d'abord le prix pour une unité, puis on multiplie.
1 m coûte 30 000 ÷ 2 = 15 000 GNF ; donc 5 m coûtent 5 × 15 000 = 75 000 GNF.
Méthode 4 : utiliser le coefficient. On cherche le nombre par lequel on multiplie la première ligne pour obtenir la deuxième : ici 30 000 ÷ 2 = 15 000. Chaque prix vaut longueur × 15 000. Cette méthode sera étudiée en détail dans la leçon suivante.
| Longueur (m) | 2 | 6 | 8 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 30 000 | 90 000 | 120 000 | 75 000 |
- 1Je vérifie que la situation est bien une situation de proportionnalité.
- 2Je cherche un lien simple entre les nombres de la première ligne : double, triple, moitié, somme de deux colonnes.
- 3J'applique la même opération à la deuxième ligne.
- 4Si aucun lien simple n'apparaît, je passe par l'unité : je divise, puis je multiplie.
- 5Je vérifie en calculant les quotients : ils doivent tous être égaux.
Méthode
La règle de trois (passage par l'unité), rédigée :
- J'écris la donnée connue : « 4 cahiers coûtent 12 000 GNF. »
- Je calcule pour 1 : « 1 cahier coûte 12 000 ÷ 4 = 3 000 GNF. »
- Je calcule pour la quantité demandée : « 7 cahiers coûtent 7 × 3 000 = 21 000 GNF. »
- Je fais une phrase de réponse avec l'unité.
Exemple
Recette : pour préparer du riz gras pour 4 personnes, Kadiatou utilise 600 g de riz. Combien lui en faut-il pour 10 personnes ? pour 6 personnes ?
Pour 2 personnes (moitié de 4) : 600 ÷ 2 = 300 g.
Pour 10 personnes : 4 + 4 + 2 personnes, donc 600 + 600 + 300 = 1 500 g.
Pour 6 personnes : 4 + 2 personnes, donc 600 + 300 = 900 g.
Vérification par l'unité : 1 personne → 600 ÷ 4 = 150 g ; 10 × 150 = 1 500 g ; 6 × 150 = 900 g.
4. Une propriété à connaître
Dans un tableau de proportionnalité, si la première ligne contient 0, la deuxième contient aussi 0 : 0 tas d'oranges coûte 0 GNF. Si ce n'est pas le cas (0 km en taxi coûte déjà 3 000 GNF), la situation n'est pas proportionnelle.
3Je retiens
Je retiens
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
Un tableau est de proportionnalité si tous les quotients « deuxième ligne ÷ première ligne » sont égaux.
Pour compléter : on peut multiplier ou diviser une colonne par un nombre, additionner deux colonnes, ou passer par l'unité (règle de trois).
Dans une situation de proportionnalité, 0 correspond à 0.
Une somme fixe (prise en charge, frais d'inscription) empêche la proportionnalité.
4Erreurs fréquentes
- Croire que tout ce qui augmente ensemble est proportionnel : la taille d'un enfant augmente avec son âge, mais pas proportionnellement.
- Ajouter au lieu de multiplier : si 2 kg coûtent 16 000 GNF, 4 kg ne coûtent pas 16 000 + 2 GNF, mais 2 × 16 000 = 32 000 GNF.
- Additionner deux colonnes de la première ligne et oublier d'additionner les valeurs correspondantes de la deuxième ligne.
- Conclure qu'un tableau est de proportionnalité en vérifiant une seule colonne : il faut vérifier toutes les colonnes.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Justifie par le calcul.
a)
| 3 | 5 | 9 |
|---|---|---|
| 12 | 20 | 36 |
b)
| 2 | 4 | 7 |
|---|---|---|
| 5 | 10 | 16 |
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a) 12 ÷ 3 = 4 ; 20 ÷ 5 = 4 ; 36 ÷ 9 = 4. Tous les quotients sont égaux à 4 : c'est un tableau de proportionnalité.
b) 5 ÷ 2 = 2,5 ; 10 ÷ 4 = 2,5 ; 16 ÷ 7 ≈ 2,29. Le dernier quotient est différent : ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
2Exercice 2
Les situations suivantes sont-elles des situations de proportionnalité ? Explique.
a) Le prix payé et le nombre de pains achetés, à 1 500 GNF le pain.
b) La masse d'un élève et son âge.
c) Le prix d'une entrée au terrain de football, 5 000 GNF par personne, et le nombre de spectateurs d'une famille.
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a) Oui : prix = nombre de pains × 1 500.
b) Non : la masse ne se déduit pas de l'âge en multipliant toujours par le même nombre (deux élèves du même âge n'ont pas la même masse).
c) Oui : prix = nombre de personnes × 5 000.
3Exercice 3
Complète ce tableau de proportionnalité en utilisant le moins de calculs possible.
| Nombre de cahiers | 3 | 6 | 9 | 1 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 7 500 | … | … | … | … |
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6 cahiers = 2 × 3 cahiers : 2 × 7 500 = 15 000 GNF.
9 cahiers = 3 + 6 cahiers : 7 500 + 15 000 = 22 500 GNF.
1 cahier : 7 500 ÷ 3 = 2 500 GNF.
15 cahiers = 6 + 9 cahiers : 15 000 + 22 500 = 37 500 GNF (ou 15 × 2 500).
4Exercice 4
Un camion consomme 18 L de gasoil pour parcourir 60 km.
a) Combien consomme-t-il pour 30 km ? pour 90 km ?
b) Combien consomme-t-il pour 1 km ? pour 250 km ?
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a) 30 km, c'est la moitié de 60 km : 18 ÷ 2 = 9 L. 90 km = 60 + 30 km : 18 + 9 = 27 L.
b) Pour 1 km : 18 ÷ 60 = 0,3 L. Pour 250 km : 250 × 0,3 = 75 L.
5Exercice 5
Pour fabriquer 5 briques, le maçon Alpha utilise 25 kg de mélange. Présente ces données dans un tableau de proportionnalité, puis calcule la masse de mélange nécessaire pour 12 briques et le nombre de briques que l'on fabrique avec 150 kg de mélange.
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| Nombre de briques | 5 | 1 | 12 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| Masse de mélange (kg) | 25 | 5 | 60 | 150 |
Une brique : 25 ÷ 5 = 5 kg. Pour 12 briques : 12 × 5 = 60 kg. Avec 150 kg : 150 ÷ 5 = 30 briques.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Au marché, Hawa compare deux vendeurs de gombo.
- Vendeur A : 2 kg pour 14 000 GNF, 5 kg pour 35 000 GNF.
- Vendeur B : 1 kg pour 8 000 GNF, mais une réduction de 5 000 GNF dès qu'on achète plus de 4 kg.
a) Le prix du vendeur A est-il proportionnel à la masse ? Calcule le prix de 1 kg chez lui.
b) Calcule le prix de 6 kg chez chaque vendeur.
c) Le prix du vendeur B est-il proportionnel à la masse ? Justifie.
d) Chez quel vendeur Hawa doit-elle acheter 6 kg ? et 2 kg ?
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a) 14 000 ÷ 2 = 7 000 et 35 000 ÷ 5 = 7 000 : les quotients sont égaux, le prix est proportionnel à la masse. 1 kg coûte 7 000 GNF.
b) Vendeur A : 6 × 7 000 = 42 000 GNF. Vendeur B : 6 × 8 000 - 5 000 = 48 000 - 5 000 = 43 000 GNF.
c) Non. Par exemple, 2 kg coûtent 16 000 GNF (quotient 8 000) et 6 kg coûtent 43 000 GNF (quotient environ 7 167) : les quotients sont différents à cause de la réduction.
d) Pour 6 kg : le vendeur A (42 000 GNF contre 43 000 GNF). Pour 2 kg : le vendeur A aussi (14 000 GNF contre 16 000 GNF).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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