Karamö, le prof virtuelLeçon 42 sur 44
Somme de deux nombres entiers relatifs
Je sais additionner deux nombres entiers relatifs, qu'ils aient le même signe ou des signes contraires, et utiliser cette addition pour résoudre des problèmes.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Modéliser une addition de relatifs par des gains et des pertes ou des déplacements sur une droite graduée
- Additionner deux relatifs de même signe
- Additionner deux relatifs de signes contraires
- Utiliser la somme de deux nombres opposés
- Calculer une somme de plusieurs relatifs en regroupant
Avant de commencer : Les nombres décimaux relatifs (signe, distance à zéro, opposé) ; les droites graduées.
1Je découvre
Alpha joue au football avec son équipe du quartier de Hamdallaye. Pour motiver les joueurs, l'entraîneur compte des points : un but marqué rapporte des points, une faute en fait perdre.
Samedi, Alpha a gagné 5 points, puis il en a perdu 8 à cause d'une faute. Dimanche, il a perdu 3 points, puis encore 4 points. Il note dans son carnet :
samedi : (+5) + (-8) ; dimanche : (-3) + (-4).
Alpha sait bien que « perdre 3 puis perdre 4, c'est perdre 7 ». Mais pour samedi, il hésite : a-t-il gagné ou perdu au total ? Et combien ?
Comment additionner deux nombres relatifs, quand ils ont le même signe et quand ils ont des signes contraires ?
2Je comprends
1. Écrire une somme de relatifs
Pour éviter que deux signes se suivent, on écrit les nombres relatifs entre parenthèses : (+5) + (-8). Le signe « + » du milieu est le signe de l'opération (addition) ; les signes dans les parenthèses sont les signes des nombres.
Un nombre relatif positif représente un gain, un nombre négatif une perte. Additionner, c'est mettre bout à bout des gains et des pertes pour trouver le bilan.
2. Additionner sur une droite graduée
On peut aussi voir chaque nombre comme un déplacement sur une droite graduée : un nombre positif fait avancer vers la droite, un nombre négatif fait reculer vers la gauche.
Pour calculer (+5) + (-8) : on part de 0, on avance de 5 (on arrive à 5), puis on recule de 8 (on arrive à -3).
Alpha a donc perdu 3 points samedi : (+5) + (-8) = -3.
3. Deux nombres de même signe
Si l'on gagne 3 puis 4, on gagne 7. Si l'on perd 3 puis 4, on perd 7.
Règle. Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
- on garde le signe commun ;
- on additionne les distances à zéro.
(+3) + (+4) = +7 ; (-3) + (-4) = -7 ; (-12) + (-25) = -37.
4. Deux nombres de signes contraires
Si l'on gagne 5 et que l'on perd 8, les pertes l'emportent : on perd 8 - 5 = 3.
Règle. Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
- on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
- on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
(+5) + (-8) = -3 (car 8 > 5 et 8 - 5 = 3) ;
(-6) + (+10) = +4 (car 10 > 6 et 10 - 6 = 4).
5. Deux cas particuliers
- La somme de deux nombres opposés est égale à 0 : (+9) + (-9) = 0. Gagner 9 puis perdre 9, c'est revenir au point de départ.
- Ajouter 0 ne change pas un nombre : (-15) + 0 = -15.
L'addition des relatifs est commutative : on peut changer l'ordre des termes. (-8) + (+5) = (+5) + (-8) = -3.
- On garde le signe commun
- On additionne les distances à zéro
- (−3) + (−4) = −7
- (+6) + (+9) = +15
- On prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro
- On soustrait les distances à zéro
- (+5) + (−8) = −3
- (−6) + (+10) = +4
Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs :
- Je regarde les signes des deux nombres.
- Même signe : j'écris ce signe, puis la somme des distances à zéro.
- Signes contraires : j'écris le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro, puis la différence des distances à zéro.
- Si les nombres sont opposés, le résultat est 0.
- Je vérifie avec une phrase de gains et de pertes ou sur la droite graduée.
Exemple
Calculer A = (−14) + (−9).
Même signe (−) : on garde −, on additionne 14 + 9 = 23.
A = −23.
Phrase : perdre 14 puis perdre 9, c'est perdre 23.
Exemple
Calculer B = (+17) + (−25).
Signes contraires. Distances à zéro : 17 et 25. La plus grande est 25, celle du nombre négatif : le résultat est négatif.
25 − 17 = 8, donc B = −8.
Phrase : gagner 17 puis perdre 25, c'est perdre 8.
Exemple
Calculer C = (−40) + (+62).
Signes contraires. La plus grande distance à zéro est 62, celle du positif : le résultat est positif.
62 − 40 = 22, donc C = +22 (ou 22).
6. Additionner plusieurs relatifs
Pour une somme de plusieurs nombres, on peut changer l'ordre et regrouper : d'abord tous les positifs, puis tous les négatifs, puis on additionne les deux résultats. On peut aussi d'abord éliminer les nombres opposés.
Exemple
D = (+7) + (−12) + (+5) + (−3) + (+12).
On repère des opposés : (−12) + (+12) = 0.
Il reste (+7) + (+5) + (−3).
Positifs : 7 + 5 = 12. Puis (+12) + (−3) = +9.
D = 9.
7. Retour au carnet d'Alpha
Samedi : (+5) + (-8) = -3. Dimanche : (-3) + (-4) = -7.
Sur les deux jours : (-3) + (-7) = -10. Alpha a perdu 10 points ce week-end. Il devra éviter les fautes !
3Je retiens
Je retiens
On écrit les relatifs entre parenthèses : (+5) + (−8).
Même signe : on garde le signe commun et on additionne les distances à zéro. (−3) + (−4) = −7.
Signes contraires : on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro et on soustrait les distances à zéro. (+5) + (−8) = −3.
La somme de deux nombres opposés est nulle : (+9) + (−9) = 0.
On peut changer l'ordre des termes et les regrouper pour calculer plus facilement.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les distances à zéro quand les signes sont contraires : (+5) + (−8) ne vaut pas −13 ni 13, mais −3.
- Prendre toujours le signe du premier nombre : dans (+5) + (−8), le résultat est négatif car 8 > 5.
- Croire que la somme de deux négatifs est positive (« moins et moins font plus ») : (−3) + (−4) = −7. Cette « règle des signes » concerne la multiplication, pas l'addition.
- Confondre le signe de l'opération et le signe du nombre : dans (−6) + (+10), on additionne −6 et +10.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule.
a) (+8) + (+13)
b) (-8) + (-13)
c) (-21) + (-9)
d) (+45) + (+55)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Même signe + : 8 + 13 = 21. Résultat +21.
b) Même signe - : 8 + 13 = 21. Résultat -21.
c) 21 + 9 = 30. Résultat -30.
d) 45 + 55 = 100. Résultat +100.
2Exercice 2
Calcule.
a) (+8) + (-13)
b) (-8) + (+13)
c) (-30) + (+18)
d) (+27) + (-27)
e) (-100) + (+64)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Signes contraires, 13 > 8, signe - : 13 - 8 = 5. Résultat -5.
b) 13 > 8, signe + : résultat +5.
c) 30 > 18, signe - : 30 - 18 = 12. Résultat -12.
d) Nombres opposés : résultat 0.
e) 100 > 64, signe - : 100 - 64 = 36. Résultat -36.
3Exercice 3
Traduis chaque situation par une somme de deux relatifs, puis calcule.
a) Le matin, il fait 4 °C dans une chambre froide ; la température baisse de 9 degrés.
b) Hawa a une dette de 20 000 GNF ; elle reçoit 35 000 GNF.
c) Un ascenseur est au niveau −2 ; il monte de 7 étages.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (+4) + (-9) = -5. La température devient -5 °C.
b) (-20 000) + (+35 000) = +15 000. Il lui reste 15 000 GNF après avoir remboursé sa dette.
c) (-2) + (+7) = +5. L'ascenseur arrive au niveau 5.
4Exercice 4
Calcule en regroupant astucieusement.
E = (+15) + (-8) + (-15) + (+23) + (-2).
Voir le corrigéCacher le corrigé
On regroupe les opposés : (+15) + (-15) = 0.
Il reste (-8) + (+23) + (-2). Négatifs : (-8) + (-2) = -10. Puis (-10) + (+23) = +13.
E = 13.
5Exercice 5
Complète.
a) (-6) + (…) = 0
b) (+9) + (…) = +4
c) (…) + (-12) = -20
d) (-5) + (…) = +3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (+6), l'opposé de -6.
b) (-5), car (+9) + (-5) = +4.
c) (-8), car (-8) + (-12) = -20.
d) (+8), car (-5) + (+8) = +3.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Sékou tient une petite boutique à Kissidougou. Il note chaque jour son bénéfice (+) ou sa perte (-), en milliers de GNF :
lundi +25 ; mardi -12 ; mercredi -18 ; jeudi +30 ; vendredi -5.
a) Calcule le bilan de lundi et mardi réunis.
b) Calcule le bilan de toute la semaine.
c) La semaine est-elle bénéficiaire ? De combien ?
d) Quel aurait dû être le résultat du vendredi pour que le bilan de la semaine soit exactement 0 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (+25) + (-12) = +13 : un bénéfice de 13 000 GNF.
b) Positifs : 25 + 30 = 55, donc +55. Négatifs : 12 + 18 + 5 = 35, donc -35. Bilan : (+55) + (-35) = +20.
c) Oui, la semaine est bénéficiaire de 20 000 GNF.
d) Sans vendredi, le bilan est (+55) + (-30) = +25. Pour obtenir 0, il faut ajouter l'opposé : vendredi aurait dû être -25, soit une perte de 25 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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