Karamö, le prof virtuelLeçon 43 sur 44
Bilan : les nombres
Je sais réutiliser ensemble tout ce que j'ai appris cette année sur les nombres : entiers, décimaux, fractions, pourcentages, proportionnalité et nombres relatifs.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser multiples, diviseurs et critères de divisibilité
- Comparer et calculer avec les nombres décimaux
- Simplifier une fraction et passer d'une fraction à un pourcentage
- Résoudre un problème de proportionnalité
- Comparer et additionner des nombres relatifs
- Choisir la bonne notion dans un problème à plusieurs étapes
Avant de commencer : Toutes les leçons de 7e année sur les nombres : multiples et diviseurs, nombres décimaux et leurs opérations, fractions, pourcentages, proportionnalité, échelles, nombres relatifs.
1Je découvre
C'est la fin de l'année scolaire. Pour financer une sortie aux chutes d'eau du Fouta-Djallon, la classe de 7e année de Mariama organise une vente de jus de bissap et de gingembre à la kermesse de l'école.
Les élèves doivent faire beaucoup de calculs différents. Combien de bouteilles de 1,5 L peut-on remplir avec 24 L de jus ? Peut-on ranger 84 bouteilles en rangées égales de 12 ? Si le bissap représente les 1824 des bouteilles, quel pourcentage cela fait-il ? Combien faut-il de sucre pour 24 L si la recette en demande 250 g pour 2 L ? Et à la fin, la caisse est-elle positive ou négative, après avoir remboursé l'argent avancé par le professeur ?
Chaque question fait appel à une leçon différente de l'année.
Comment reconnaître, dans un problème, la notion à utiliser, et comment enchaîner les calculs sans se tromper ?
2Je comprends
1. Les nombres entiers : multiples et diviseurs
- a est un multiple de b (ou a est divisible par b, ou b est un diviseur de a) si a = b × k avec k entier, c'est-à-dire si le reste de la division de a par b est 0.
- Critères de divisibilité : par 2 (chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8) ; par 5 (unités 0 ou 5) ; par 10 (unités 0) ; par 4 (nombre formé par les deux derniers chiffres divisible par 4) ; par 3 (somme des chiffres divisible par 3) ; par 9 (somme des chiffres divisible par 9).
Exemple
Les 84 bouteilles peuvent-elles être rangées en rangées de 12 ? de 5 ?
84 = 12 × 7 : oui, 7 rangées de 12.
84 se termine par 4 : il n'est pas divisible par 5. Non.
Liste des diviseurs de 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Toute rangée dont la taille est dans cette liste convient.
2. Les nombres décimaux
- Comparer : on compare d'abord les parties entières, puis les chiffres des dixièmes, des centièmes… : 4,09 < 4,1 car 0 < 1 au rang des dixièmes.
- Additionner, soustraire : on aligne les virgules.
- Multiplier : on multiplie sans les virgules, puis on place dans le produit autant de chiffres après la virgule qu'il y en a en tout dans les deux facteurs.
- Diviser par un décimal : on multiplie le dividende et le diviseur par 10, 100… pour que le diviseur devienne entier.
Exemple
24 L de jus dans des bouteilles de 1,5 L.
24 ÷ 1,5 = 240 ÷ 15 = 16. On remplit 16 bouteilles.
Chaque bouteille est vendue 7 500 GNF : 16 × 7 500 = 120 000 GNF.
3. Les fractions et les pourcentages
- Deux fractions sont égales si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.
- Simplifier une fraction, c'est diviser ses deux termes par un diviseur commun ; elle est irréductible quand 1 est leur seul diviseur commun.
- Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : t \% = t100. Prendre t \% d'un nombre, c'est le multiplier par t100.
Exemple
Le bissap représente 18/24 des bouteilles. Simplifier et écrire en pourcentage.
18 et 24 sont divisibles par 6 : 18/24 = 3/4.
3/4 = 75/100 (on multiplie les deux termes par 25) = 75 %.
4. La proportionnalité et les échelles
- Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité.
- Pour compléter un tableau : multiplier une colonne, additionner deux colonnes, passer par l'unité, ou utiliser le coefficient.
- Une échelle est un coefficient de proportionnalité : distance sur le plan ÷ distance réelle (même unité).
Exemple
La recette demande 250 g de sucre pour 2 L de jus. Combien pour 24 L ?
Coefficient : 250 ÷ 2 = 125 g par litre.
Pour 24 L : 24 × 125 = 3 000 g = 3 kg de sucre.
5. Les nombres relatifs
- Un nombre relatif a un signe et une distance à zéro. Les négatifs sont à gauche de 0 sur la droite graduée.
- Entre deux négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro : -9 < -4.
- Addition : même signe, on garde le signe et on additionne les distances à zéro ; signes contraires, on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro et on soustrait les distances à zéro.
Exemple
Le professeur a avancé 150 000 GNF pour acheter le matériel. La vente a rapporté 120 000 GNF (bouteilles) et 45 000 GNF (beignets).
Recettes : (+120 000) + (+45 000) = +165 000.
Bilan : (+165 000) + (−150 000) = +15 000.
La caisse est positive : il reste 15 000 GNF après remboursement.
6. Choisir la bonne notion
- 1Je lis tout l'énoncé et je souligne les données (nombres et unités) et la question.
- 2Je repère les mots clés : « rangées égales, partager exactement » (diviseurs) ; « quelle part, quel pourcentage » (fractions) ; « pour 1, pour 5, au prix de » (
- 3J'estime un ordre de grandeur du résultat.
- 4Je fais les calculs en écrivant chaque étape avec une phrase.
- 5Je vérifie que le résultat a du sens et je réponds par une phrase avec l'unité.
Méthode
Pour réussir un exercice de bilan :
- Je découpe le problème en petites questions, une par notion.
- Pour chaque question, j'écris la règle ou la formule utilisée.
- Je pose les calculs difficiles (divisions, multiplications de décimaux).
- Je garde les résultats intermédiaires avec leur unité pour les réutiliser.
- Je relis la question finale et je fais une phrase de réponse.
| Mot ou situation dans l'énoncé | Notion à utiliser |
|---|---|
| Partager en parts égales sans reste | Diviseurs, critères de divisibilité |
| Les deux événements reviennent ensemble | Multiples communs |
| Prix, masse, longueur avec virgule | Opérations sur les décimaux |
| « les 3/4 », « une part de » | Fractions |
| « 15 % », réduction, taux | Pourcentages |
| Recette, prix au kilo, vitesse | Proportionnalité |
| Plan, carte | Échelle |
| Dette, température sous zéro, sous-sol | Nombres relatifs |
3Je retiens
Je retiens
a est divisible par b si a = b × k (k entier) : le reste est 0. Critères : 2, 5, 10 (dernier chiffre) ; 4 (deux derniers chiffres) ; 3, 9 (somme des chiffres).
Décimaux : on aligne les virgules pour + et − ; on compte les chiffres après la virgule pour × ; on rend le diviseur entier pour ÷.
Fractions égales : on multiplie ou on divise les deux termes par le même nombre. t % = t/100.
Proportionnalité : un même coefficient k fait passer d'une ligne à l'autre ; l'échelle est un coefficient.
Relatifs : même signe → on additionne les distances à zéro ; signes contraires → on les soustrait, avec le signe du plus éloigné de zéro.
Dans un problème : une question = une notion ; toujours une phrase de réponse avec l'unité.
4Erreurs fréquentes
- Mal placer la virgule : 3,4 × 2,5 = 8,50 (deux chiffres après la virgule en tout), et non 85.
- Simplifier une fraction en soustrayant : 18/24 n'est pas égal à 17/23. On divise les deux termes par le même nombre.
- Additionner des pourcentages de quantités différentes : 10 % d'une classe de 40 et 10 % d'une classe de 60 ne font pas 20 % de 100.
- Croire que −9 > −4 parce que 9 > 4 : c'est l'inverse.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(Entiers)
a) Le nombre 1 260 est-il divisible par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ? par 9 ? par 10 ? Justifie.
b) Donne la liste de tous les diviseurs de 36.
c) Deux cars partent de la gare routière : l'un tous les 6 jours, l'autre tous les 8 jours. Ils partent ensemble aujourd'hui. Dans combien de jours partiront-ils de nouveau ensemble ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 1 260 se termine par 0 : divisible par 2, par 5 et par 10. Ses deux derniers chiffres forment 60, et 60 = 4 × 15 : divisible par 4. Somme des chiffres : 1 + 2 + 6 + 0 = 9, multiple de 3 et de 9 : divisible par 3 et par 9.
b) 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6. Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
c) Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30… Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32… Le plus petit multiple commun non nul est 24 : ils repartiront ensemble dans 24 jours.
2Exercice 2
(Décimaux) Calcule.
a) 12,5 + 7,86
b) 20 - 3,75
c) 3,4 × 2,5
d) 17,5 ÷ 7
e) 4,2 ÷ 0,6
f) Range dans l'ordre croissant : 4,1 ; 4,09 ; 4,19 ; 4,009.
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a) 12,5 + 7,86 = 20,36.
b) 20 - 3,75 = 16,25.
c) 34 × 25 = 850 ; deux chiffres après la virgule en tout : 8,50 = 8,5.
d) 17,5 ÷ 7 = 2,5 (vérification : 7 × 2,5 = 17,5).
e) 4,2 ÷ 0,6 = 42 ÷ 6 = 7.
f) 4,009 < 4,09 < 4,1 < 4,19.
3Exercice 3
(Fractions et pourcentages)
a) Simplifie 1824, 4560 et 3648. Que remarques-tu ?
b) Écris 25 et 720 sous forme de pourcentage.
c) Un vélo coûte 800 000 GNF. Le vendeur accorde une réduction de 15 %. Quel est le nouveau prix ?
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a) 1824 = 18 ÷ 624 ÷ 6 = 34 ; 4560 = 45 ÷ 1560 ÷ 15 = 34 ; 3648 = 36 ÷ 1248 ÷ 12 = 34. Les trois fractions sont égales à 34.
b) 25 = 40100 = 40 \% ; 720 = 35100 = 35 \%.
c) Réduction : 800 000 × 15100 = 8 000 × 15 = 120 000 GNF. Nouveau prix : 800 000 - 120 000 = 680 000 GNF.
4Exercice 4
(Proportionnalité) Une machine à décortiquer le riz traite 150 kg en 2 heures, toujours au même rythme.
a) Quelle masse traite-t-elle en 5 heures ?
b) Combien de temps lui faut-il pour 600 kg ?
c) Sur une carte au 1/100 000, le moulin est à 3,5 cm du village. Quelle est la distance réelle ?
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a) Coefficient : 150 ÷ 2 = 75 kg par heure. En 5 h : 5 × 75 = 375 kg.
b) 600 ÷ 75 = 8 heures.
c) 3,5 × 100 000 = 350 000 cm = 3 500 m = 3,5 km.
5Exercice 5
(Relatifs)
a) Range dans l'ordre croissant : -3 ; 5 ; -7,5 ; 0 ; -0,5 ; 2.
b) Calcule : (-7) + (+12) ; (-15) + (-6) ; (+9) + (-14).
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a) -7,5 < -3 < -0,5 < 0 < 2 < 5.
b) (-7) + (+12) = +5 ; (-15) + (-6) = -21 ; (+9) + (-14) = -5.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Pour la kermesse, la classe de Mariama a reçu une avance de 200 000 GNF du professeur. Elle a acheté 12 kg de fleurs de bissap à 9 500 GNF le kilogramme et 5 kg de sucre à 8 000 GNF le kilogramme.
a) Calcule le montant total des achats.
b) Les élèves ont préparé 36 L de jus, versé dans des bouteilles de 1,5 L. Combien de bouteilles ont-ils remplies ?
c) Ils vendent les 56 des bouteilles à 7 500 GNF l'une. Combien de bouteilles ont-ils vendues ? Quelle recette ont-ils faite ?
d) On note + l'argent qui entre dans la caisse et - l'argent qui en sort. Les mouvements sont : avance reçue +200 000 ; achats -154 000 ; vente +150 000 ; remboursement du professeur -200 000. Calcule le bilan final de la caisse, puis dis si la sortie, qui coûte 50 000 GNF, peut être financée.
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a) Bissap : 12 × 9 500 = 114 000 GNF. Sucre : 5 × 8 000 = 40 000 GNF. Total : 114 000 + 40 000 = 154 000 GNF.
b) 36 ÷ 1,5 = 360 ÷ 15 = 24 bouteilles.
c) 56 de 24 : 24 ÷ 6 × 5 = 4 × 5 = 20 bouteilles vendues. Recette : 20 × 7 500 = 150 000 GNF.
d) On regroupe les opposés : (+200 000) + (-200 000) = 0.
Il reste : (-154 000) + (+150 000) = -4 000 GNF (signes contraires, 154 000 > 150 000).
La caisse est négative : il manque 4 000 GNF pour rembourser le professeur. La sortie à 50 000 GNF ne peut pas être financée ; il faudrait vendre les 4 bouteilles restantes (4 × 7 500 = 30 000 GNF), ce qui donnerait +26 000 GNF, encore insuffisant.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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