Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 33
Les puissances de 10
Je sais écrire et calculer les puissances de 10, multiplier un nombre par une puissance de 10 et utiliser les puissances de 10 pour écrire et comparer de très grands nombres.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Écrire une puissance de 10 en écriture décimale et inversement
- Multiplier un nombre décimal par une puissance de 10
- Multiplier deux puissances de 10
- Écrire un grand nombre sous la forme a × 10ⁿ
Avant de commencer : Les puissances d'un nombre (leçon précédente), la multiplication d'un décimal par 10, 100, 1 000 (7e).
1Je découvre
Mamadou prépare un exposé de sciences sur le système solaire pour sa classe de 8e, à Kankan. Dans son livre, il lit que la distance moyenne entre la Terre et le Soleil est d'environ 150 000 000 km, et que la lumière parcourt environ 300 000 km en une seule seconde.
Au tableau, il écrit ces nombres, mais ses camarades ont du mal à compter les zéros : « Il y en a sept ou huit ? » Hawa, au premier rang, se trompe en recopiant et écrit 15 000 000 km.
Le professeur montre alors une écriture plus courte et plus sûre : 150 000 000 = 15 × 10 000 000 = 15 × 107. On voit tout de suite qu'il y a 7 zéros après le 15.
Les puissances de 10 servent partout : en sciences, en géographie, en économie (les budgets en francs guinéens se comptent souvent en millions ou en milliards).
Comment écrire et calculer avec les puissances de 10, et comment s'en servir pour les très grands nombres ?
2Je comprends
1. Définition
Une puissance de 10 est un nombre de la forme 10n, c'est-à-dire un produit de n facteurs égaux à 10.
Règle. Pour n ≥ 1, 10n s'écrit avec un 1 suivi de n zéros.
Par convention, 100 = 1 (« 1 suivi de zéro zéro »).
| Puissance | Écriture décimale | Nom |
|---|---|---|
| 100 | 1 | un |
| 101 | 10 | dix |
| 102 | 100 | cent |
| 103 | 1 000 | mille |
| 106 | 1 000 000 | un million |
| 109 | 1 000 000 000 | un milliard |
L'exposant compte le nombre de zéros. Ainsi, pour écrire 100 000 sous forme de puissance de 10, on compte les zéros : il y en a 5, donc 100 000 = 105.
- 10³ = 1 000
- 10⁶ = 1 000 000
- 10⁹ = 1 000 000 000
- kilo : 1 kilomètre = 10³ mètres
- méga : 1 mégawatt = 10⁶ watts
- giga : 1 gigaoctet = 10⁹ octets
2. Multiplier un nombre par une puissance de 10
Tu sais déjà multiplier par 10, 100 ou 1 000. Avec les puissances de 10, la règle devient :
Règle. Multiplier un nombre par 10n, c'est déplacer la virgule de n rangs vers la droite (en ajoutant des zéros si nécessaire).
Exemple
Calculer : a) 3,7 × 10³ ; b) 52 × 10⁴ ; c) 0,045 × 10² ; d) 2,005 × 10⁶.
a) On déplace la virgule de 3 rangs vers la droite : 3,7 → 3 700. Donc 3,7 × 10³ = 3 700.
b) 52 est entier : on ajoute 4 zéros. 52 × 10⁴ = 520 000.
c) On déplace la virgule de 2 rangs : 0,045 × 10² = 4,5.
d) On déplace la virgule de 6 rangs : 2,005 → 2 005 000. Donc 2,005 × 10⁶ = 2 005 000.
3. Produit de deux puissances de 10
C'est un cas particulier de la règle vue dans la leçon précédente : on additionne les exposants.
10m × 10n = 10m + n
Exemple : 102 × 105 = 100 × 100 000 = 10 000 000 = 107 ; on a bien 2 + 5 = 7 zéros.
Exemple
Calculer (3 × 10²) × (2 × 10⁴).
On regroupe les nombres ordinaires et les puissances de 10 (l'ordre des facteurs ne change pas un produit) :
(3 × 2) × (10² × 10⁴) = 6 × 10⁶ = 6 000 000.
4. Écrire un grand nombre avec une puissance de 10
Pour écrire un grand nombre de façon courte, on sépare ses chiffres « utiles » et ses zéros de fin :
- 7 000 = 7 × 103 ;
- 250 000 = 25 × 104 ;
- 6 000 000 000 GNF = 6 × 109 GNF, soit 6 milliards de francs guinéens.
On peut aussi utiliser un nombre décimal devant la puissance : 150 000 000 = 15 × 107 = 1,5 × 108. Vérification : 1,5 × 108, c'est 1,5 avec la virgule déplacée de 8 rangs, soit 150 000 000.
L'écriture où le nombre devant la puissance de 10 est compris entre 1 et 10 (comme 1,5 × 108) s'appelle l'écriture scientifique ; tu l'étudieras en détail en 9e.
Méthode
Pour écrire un grand nombre sous la forme a × 10ⁿ :
- Je compte les zéros à la fin du nombre.
- Le nombre a est formé des chiffres qui restent devant ces zéros.
- L'exposant n est le nombre de zéros enlevés.
- Je vérifie en déplaçant la virgule de a de n rangs vers la droite : je dois retrouver le nombre de départ.
5. Comparer de grands nombres
Pour comparer deux nombres écrits sous la forme a × 10n avec le même type d'écriture, on compare d'abord les exposants.
Exemple
Quel est le plus grand : 4 × 10⁶ ou 9 × 10⁵ ?
4 × 10⁶ = 4 000 000 et 9 × 10⁵ = 900 000.
4 000 000 > 900 000, donc 4 × 10⁶ > 9 × 10⁵.
Même si 9 est plus grand que 4, c'est l'exposant qui compte le plus ici.
6. Pour aller plus loin
Tu te demandes peut-être ce que donne 10n quand n est négatif, par exemple 10-2. Ces puissances servent à écrire les très petits nombres, comme 0,01. Tu les découvriras en 9e.
3Je retiens
Je retiens
10ⁿ s'écrit avec 1 suivi de n zéros ; 10⁰ = 1.
10³ = mille ; 10⁶ = un million ; 10⁹ = un milliard.
Multiplier par 10ⁿ : déplacer la virgule de n rangs vers la droite.
10^m × 10^n = 10^(m+n).
Un grand nombre s'écrit a × 10ⁿ : 250 000 = 25 × 10⁴ = 2,5 × 10⁵.
4Erreurs fréquentes
- Confondre 10ⁿ et 10 × n : 10⁴ = 10 000, et non 40.
- Mal compter les zéros : 10⁶ = 1 000 000 (six zéros). Groupe les chiffres par trois pour les compter facilement.
- Ajouter des zéros à un nombre décimal au lieu de déplacer la virgule : 3,7 × 10² = 370, et non 3,700.
- Multiplier les exposants au lieu de les additionner : 10² × 10³ = 10⁵, et non 10⁶.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne l'écriture décimale de : 103 ; 107 ; 101 ; 100 ; 109.
Voir le corrigéCacher le corrigé
103 = 1 000 ; 107 = 10 000 000 ; 101 = 10 ; 100 = 1 ; 109 = 1 000 000 000.
2Exercice 2
Écris sous la forme d'une puissance de 10.
a) 100 000
b) 1 000 000 000
c) 10
d) 10 × 10 × 10 × 10
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a) 5 zéros : 105.
b) 9 zéros : 109.
c) 10 = 101.
d) 4 facteurs égaux à 10 : 104.
3Exercice 3
Calcule.
a) 4,2 × 103
b) 0,75 × 102
c) 31 × 104
d) 2,005 × 106
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Virgule déplacée de 3 rangs : 4 200.
b) Virgule déplacée de 2 rangs : 75.
c) On ajoute 4 zéros : 310 000.
d) Virgule déplacée de 6 rangs : 2 005 000.
4Exercice 4
Écris chaque nombre sous la forme a × 10n, où a est un entier qui ne se termine pas par zéro.
a) 7 000
b) 250 000
c) 18 000 000
d) 3 400 000 000
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 7 000 = 7 × 103.
b) 250 000 = 25 × 104.
c) 18 000 000 = 18 × 106.
d) 3 400 000 000 = 34 × 108.
5Exercice 5
Écris sous la forme d'une seule puissance de 10, ou d'un nombre multiplié par une puissance de 10.
a) 104 × 103
b) 102 × 106 × 10
c) (3 × 102) × (2 × 104)
d) (5 × 103) × (4 × 105)
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a) 104 + 3 = 107.
b) 102 + 6 + 1 = 109.
c) (3 × 2) × 102 + 4 = 6 × 106.
d) (5 × 4) × 103 + 5 = 20 × 108, c'est-à-dire 2 × 109 (car 20 = 2 × 10).
6Exercice 6
(Problème)
a) Le service de l'éducation d'une préfecture commande 2 500 cahiers à 5 000 GNF l'un. Écris ces deux nombres sous la forme a × 103, puis calcule le prix total, sous la forme a × 10n puis en écriture décimale.
b) La lumière parcourt environ 3 × 105 km en une seconde. Quelle distance parcourt-elle en une minute ? Donne le résultat sous la forme a × 10n et en écriture décimale.
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a) 2 500 = 2,5 × 103 et 5 000 = 5 × 103.
Prix total : (2,5 × 5) × (103 × 103) = 12,5 × 106 GNF, soit 12 500 000 GNF (douze millions cinq cent mille francs guinéens).
Vérification : 2 500 × 5 000 = 12 500 000.
b) Une minute = 60 secondes. Distance : 60 × 3 × 105 = 180 × 105 = 18 × 106 km, soit 18 000 000 km (dix-huit millions de kilomètres).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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