Expressions littérales : réduire et utiliser la distributivité

1. Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par des lettres. La lettre peut prendre différentes valeurs : on l'appelle une variable (ou une indéterminée).

Exemples : le périmètre d'un carré de côté c est 4 × c ; l'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est L × l ; le bénéfice de Mariama est 1 000 × n - 25 000.

2. Les conventions d'écriture

Pour alléger l'écriture, on peut supprimer le signe × :

• entre un nombre et une lettre : 3 × a = 3a (le nombre s'écrit devant) ;
• entre deux lettres : a × b = ab ;
• devant une parenthèse : 5 × (x + 2) = 5(x + 2) ; a × (b - 1) = a(b - 1).

On ne peut pas le supprimer entre deux nombres : 3 × 4 ne s'écrit pas 34 !

Autres conventions :

• 1 × a = a et 0 × a = 0 ;
• a × a = a² (on lit « a au carré ») et a × a × a = a³ (« a au cube »).

3. Calculer la valeur d'une expression

Pour calculer une expression pour une valeur de la lettre, on remplace la lettre par cette valeur, en remettant le signe × et, si le nombre est négatif, en l'écrivant entre parenthèses. Puis on respecte les priorités : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

4. Réduire une expression

Dans une somme, chaque morceau séparé par un signe + ou − est un terme. Deux termes sont semblables s'ils ont exactement la même partie littérale (mêmes lettres avec les mêmes exposants) : 5x et -2x sont semblables ; 3x² et 7x² sont semblables ; mais 4x et 4x² ne le sont pas.

Réduire une expression, c'est regrouper les termes semblables en additionnant leurs coefficients (les nombres devant les lettres), puis écrire le résultat avec le moins de termes possible.

5x - 2x + x = (5 - 2 + 1)x = 4x.

5. La distributivité : développer

La distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction dit que, pour tous nombres k, a et b :

k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb.

Développer, c'est transformer un produit en somme : on multiplie le facteur k par chaque terme de la parenthèse.

Cas du signe − devant une parenthèse. -(a + b) = -a - b et -(a - b) = -a + b : on change le signe de chaque terme de la parenthèse. C'est la distributivité avec k = -1.

6. La distributivité : factoriser

Factoriser, c'est faire le chemin inverse : transformer une somme en produit. On repère un facteur commun k à tous les termes et on écrit :

ka + kb = k(a + b) et ka - kb = k(a - b).

7. Retour aux beignets de Mariama

Le bénéfice s'écrit 1 000n - 25 000. En factorisant par 1 000 : 1 000(n - 25). Cette forme montre tout de suite que Mariama gagne de l'argent seulement si n dépasse 25 beignets ! Pour n = 40 : 1 000 × (40 - 25) = 15 000 GNF, comme au début.