Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 33
La moyenne d'une série statistique
Je sais calculer la moyenne d'une série de nombres, d'une série donnée par un tableau d'effectifs ou par classes, et une moyenne avec coefficients.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer la moyenne simple d'une liste de valeurs
- Calculer une moyenne pondérée à partir d'un tableau d'effectifs ou de coefficients
- Estimer la moyenne d'une série regroupée en classes avec les centres
- Utiliser la moyenne pour résoudre un problème (note manquante)
Avant de commencer : Effectifs, fréquences et tableaux statistiques ; les priorités dans les calculs.
1Je découvre
À la fin du trimestre, Fatoumata compare ses notes de mathématiques avec celles de sa camarade Aïssatou, au collège de Boffa.
Fatoumata a eu : 12 ; 15 ; 9 ; 14.
Aïssatou a eu : 11 ; 16 ; 13.
Fatoumata a plus de notes, et elle a le plus grand total (12 + 15 + 9 + 14 = 50 contre 11 + 16 + 13 = 40). Elle s'exclame : « J'ai mieux travaillé ! » Aïssatou proteste : « Tu as eu une note de plus, ce n'est pas juste de comparer les totaux. »
Pour comparer des séries qui n'ont pas le même nombre de valeurs, il faut un nombre qui résume chaque série : la moyenne. C'est aussi la moyenne qui décide, sur le bulletin, du passage en classe supérieure.
Comment calculer une moyenne, même quand les notes n'ont pas toutes la même importance ?
2Je comprends
1. La moyenne simple
La moyenne d'une série de valeurs est égale à la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs :
moyenne = somme des valeursnombre de valeurs.
On la note souvent x (on lit « x barre »).
Exemple
Moyennes de Fatoumata et d'Aïssatou.
Fatoumata : (12 + 15 + 9 + 14) ÷ 4 = 50 ÷ 4 = 12,5.
Aïssatou : (11 + 16 + 13) ÷ 3 = 40 ÷ 3 ≈ 13,3.
Aïssatou a la meilleure moyenne, alors que son total est plus petit.
La moyenne est la valeur que prendraient toutes les données si on les « égalisait » : si Fatoumata avait eu quatre fois 12,5, son total serait le même, 50.
La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. C'est un bon contrôle !
2. La moyenne à partir d'un tableau d'effectifs
Quand une valeur se répète, on ne l'additionne pas plusieurs fois : on la multiplie par son effectif. C'est une moyenne pondérée par les effectifs :
x = x1 × n1 + x2 × n2 + … + xp × npN, où N = n1 + n2 + … + np est l'effectif total.
Méthode
Pour calculer la moyenne d'une série donnée par un tableau d'effectifs :
- J'ajoute au tableau une ligne « valeur × effectif ».
- Je calcule chaque produit valeur × effectif.
- J'additionne tous ces produits.
- Je divise cette somme par l'effectif total N (et non par le nombre de valeurs différentes).
- Je contrôle que le résultat est entre la plus petite et la plus grande valeur.
Exemple
Nombre de frères et sœurs de 20 élèves. Calculer la moyenne.
| Valeur x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
| Effectif n | 2 | 4 | 6 | 5 | 2 | 1 | 20 |
| x × n | 0 | 4 | 12 | 15 | 8 | 5 | 44 |
Moyenne : 44 ÷ 20 = 2,2.
En moyenne, ces élèves ont 2,2 frères et sœurs. (Une moyenne peut ne pas être un nombre entier, même si toutes les valeurs le sont.)
3. La moyenne avec coefficients
Sur le bulletin, les matières n'ont pas toutes le même poids : chacune a un coefficient. Le coefficient joue le même rôle qu'un effectif : une note de coefficient 4 « compte comme » 4 notes.
moyenne = somme des (note × coefficient)somme des coefficients.
Exemple
Les notes d'Ibrahima (coefficients choisis pour l'exemple).
Mathématiques : 14, coefficient 4 → 14 × 4 = 56
Français : 11, coefficient 3 → 11 × 3 = 33
Anglais : 13, coefficient 2 → 13 × 2 = 26
Sciences : 10, coefficient 1 → 10 × 1 = 10
Somme des produits : 56 + 33 + 26 + 10 = 125. Somme des coefficients : 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Moyenne : 125 ÷ 10 = 12,5.
Sans coefficients, on aurait (14 + 11 + 13 + 10) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12. La bonne note de mathématiques, coefficient fort, fait monter la moyenne.
4. La moyenne d'une série regroupée en classes
Quand les données sont regroupées en classes, on ne connaît pas les valeurs exactes. On remplace chaque classe par son centre : le centre de [a ; b[ est a + b2. On obtient une valeur approchée de la moyenne.
Exemple
Durée du trajet maison-collège de 40 élèves.
Classes : [0 ; 10[ ; [10 ; 20[ ; [20 ; 30[ ; [30 ; 40[
Centres : 5 ; 15 ; 25 ; 35
Effectifs : 8 ; 14 ; 12 ; 6
Produits centre × effectif : 40 ; 210 ; 300 ; 210, de somme 760.
Moyenne approchée : 760 ÷ 40 = 19 minutes.
5. Retrouver une valeur manquante
Si l'on connaît la moyenne voulue, on connaît le total nécessaire : total = moyenne × nombre de valeurs.
Exemple
Sékou a eu 10, 11 et 13. Quelle note doit-il avoir au 4e devoir pour obtenir 12 de moyenne ?
Total nécessaire : 12 × 4 = 48. Total actuel : 10 + 11 + 13 = 34.
Note nécessaire : 48 − 34 = 14.
Vérification : (10 + 11 + 13 + 14) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12.
| Situation | Formule |
|---|---|
| liste de valeurs | somme ÷ nombre de valeurs |
| tableau d'effectifs | somme des x × n ÷ effectif total |
| coefficients | somme des note × coef ÷ somme des coef |
| classes | somme des centre × effectif ÷ effectif total (valeur approchée) |
3Je retiens
Je retiens
Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs.
Avec un tableau d'effectifs : moyenne = (somme des valeur × effectif) ÷ effectif total.
Avec des coefficients : moyenne = (somme des note × coefficient) ÷ (somme des coefficients).
Avec des classes : on utilise le centre (a + b) ÷ 2 de chaque classe ; on obtient une valeur approchée.
La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
Total = moyenne × nombre de valeurs (utile pour trouver une valeur manquante).
4Erreurs fréquentes
- Diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de l'effectif total : dans le tableau des frères et sœurs, on divise 44 par 20 élèves, pas par 6 valeurs.
- Faire la moyenne des moyennes de deux groupes d'effectifs différents : il faut repasser par les totaux.
- Diviser par le nombre de matières au lieu de la somme des coefficients.
- Trouver une moyenne plus grande que la plus grande valeur : c'est le signe d'une erreur de calcul.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la moyenne des notes suivantes : 8 ; 13 ; 11 ; 16 ; 12.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Somme : 8 + 13 + 11 + 16 + 12 = 60. Moyenne : 60 ÷ 5 = 12.
2Exercice 2
Voici les pointures des 25 élèves d'une classe de Télimélé.
| Pointure | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 8 | 6 | 3 |
Calcule la pointure moyenne.
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Produits : 36 × 3 = 108 ; 37 × 5 = 185 ; 38 × 8 = 304 ; 39 × 6 = 234 ; 40 × 3 = 120.
Somme : 108 + 185 + 304 + 234 + 120 = 951. Effectif total : 25.
Moyenne : 951 ÷ 25 = 38,04. La pointure moyenne est environ 38.
3Exercice 3
Au 1er trimestre, Mariama a obtenu : mathématiques 9 (coefficient 4), français 13 (coefficient 3), histoire-géographie 12 (coefficient 2), anglais 15 (coefficient 1). Les coefficients sont donnés pour l'exercice. Calcule sa moyenne.
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Produits : 9 × 4 = 36 ; 13 × 3 = 39 ; 12 × 2 = 24 ; 15 × 1 = 15. Somme : 114.
Somme des coefficients : 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Moyenne : 114 ÷ 10 = 11,4.
4Exercice 4
Lansana a obtenu 11, 9 et 14 à ses trois premiers devoirs. Quelle note doit-il obtenir au quatrième pour avoir exactement 12 de moyenne ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Total nécessaire : 12 × 4 = 48. Total actuel : 11 + 9 + 14 = 34. Note nécessaire : 48 - 34 = 14.
Vérification : (11 + 9 + 14 + 14) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12.
5Exercice 5
(Type BEPC) Voici l'âge des 30 membres d'un club de lecture de Kamsar.
| Âge (ans) | [10 ; 14[ | [14 ; 18[ | [18 ; 22[ |
|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 15 | 9 |
a) Calcule le centre de chaque classe.
b) Calcule l'âge moyen (valeur approchée).
c) Quel pourcentage des membres a au moins 14 ans ?
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a) Centres : 10 + 142 = 12 ; 14 + 182 = 16 ; 18 + 222 = 20.
b) 12 × 6 + 16 × 15 + 20 × 9 = 72 + 240 + 180 = 492. Âge moyen : 492 ÷ 30 = 16,4 ans.
c) Au moins 14 ans : 15 + 9 = 24 membres, soit 2430 = 0,8 = 80 \%.
6Exercice 6
Hawa note ses ventes pendant 6 jours (en GNF) : 45 000 ; 60 000 ; 38 000 ; 52 000 ; 74 000 ; 55 000.
a) Calcule la vente moyenne par jour.
b) Combien doit-elle vendre le septième jour pour que la moyenne des 7 jours soit 55 000 GNF ?
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a) Somme : 45 000 + 60 000 + 38 000 + 52 000 + 74 000 + 55 000 = 324 000 GNF. Moyenne : 324 000 ÷ 6 = 54 000 GNF.
b) Total nécessaire sur 7 jours : 55 000 × 7 = 385 000 GNF. Vente nécessaire le 7e jour : 385 000 - 324 000 = 61 000 GNF.
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6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
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