Karamö, le prof virtuelLeçon 21 sur 33
Angles formés par deux droites parallèles et une sécante
Je sais reconnaître les angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants, calculer leurs mesures quand les droites sont parallèles, et prouver que deux droites sont parallèles.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître des angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants
- Utiliser les propriétés de ces angles quand les droites sont parallèles
- Utiliser la réciproque pour démontrer que deux droites sont parallèles
- Rédiger un calcul d'angle justifié
Avant de commencer : Les angles (supplémentaires, opposés par le sommet) ; les droites parallèles et perpendiculaires.
1Je découvre
Sur la route qui traverse le marché de Macenta, deux rails de trottoir bien droits et parallèles longent la chaussée. Une ruelle les coupe en biais. Ibrahima, qui aime dessiner, reproduit ce carrefour dans son cahier : deux droites parallèles et une troisième droite qui les coupe toutes les deux.
Il remarque que la ruelle forme quatre angles avec le premier trottoir, et quatre autres avec le second. En les mesurant au rapporteur, il trouve seulement deux mesures différentes : 65° et 115°. « C'est bizarre, dit-il à sa sœur Mariama, les huit angles se ressemblent deux à deux, comme si le carrefour du haut était la copie de celui du bas. »
Ce n'est pas un hasard : c'est une propriété des droites parallèles. Et elle marche aussi dans l'autre sens : elle permet de prouver que deux droites sont parallèles, sans les prolonger à l'infini.
Quelles relations existe-t-il entre les angles formés par deux droites parallèles et une sécante ?
2Je comprends
1. La figure de base
Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites. Dans la figure, la sécante (EF) coupe la droite (d1) en I et la droite (d2) en J. Elle forme huit angles : quatre autour de I et quatre autour de J.
On parle :
- de la zone intérieure : la bande située entre les deux droites (d1) et (d2) ;
- de la zone extérieure : ce qui est au-dessus et au-dessous des deux droites.
2. Les trois familles de paires d'angles
Angles alternes-internes. Deux angles sont alternes-internes si :
- ils ont des sommets différents (I et J) ;
- ils sont entre les deux droites (intérieurs) ;
- ils sont de part et d'autre de la sécante (alternes).
On les repère par la lettre Z qu'ils dessinent.
Angles alternes-externes. Mêmes conditions, mais les deux angles sont à l'extérieur des deux droites.
Angles correspondants. Deux angles sont correspondants si :
- ils ont des sommets différents ;
- ils sont du même côté de la sécante ;
- l'un est intérieur, l'autre extérieur, et ils sont « placés de la même façon » (par exemple, tous les deux au-dessus et à droite de leur droite). On les repère par la lettre F.
| Paire d'angles | Position par rapport aux deux droites | Position par rapport à la sécante |
|---|---|---|
| alternes-internes | tous deux entre les droites | de part et d'autre |
| alternes-externes | tous deux à l'extérieur | de part et d'autre |
| correspondants | l'un dedans, l'autre dehors | du même côté |
3. La propriété directe
Propriété. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
- les angles alternes-internes ont la même mesure ;
- les angles alternes-externes ont la même mesure ;
- les angles correspondants ont la même mesure.
Conséquence : deux angles situés entre les parallèles et du même côté de la sécante (on les appelle parfois angles « intérieurs du même côté ») sont supplémentaires : leur somme vaut 180°.
Exemple
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. La sécante forme en I un angle de 65°. Calculer les huit angles.
Autour de I : l'angle opposé par le sommet mesure aussi 65° ; les deux autres sont ses supplémentaires : 180° − 65° = 115°.
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles, donc les angles correspondants ont la même mesure : autour de J, on retrouve la même disposition.
Les huit angles mesurent 65° ou 115° : quatre de chaque.
C'est exactement ce qu'Ibrahima avait mesuré.
Méthode
Pour calculer un angle avec des droites parallèles :
- Je repère les deux droites parallèles et la sécante.
- Je cherche la paire d'angles qui relie l'angle connu et l'angle cherché (alternes-internes, correspondants, alternes-externes, opposés par le sommet, supplémentaires).
- J'écris la justification complète : « Les droites … et … sont parallèles et les angles … et … sont alternes-internes (ou correspondants), donc ils ont la même mesure. »
- Je donne le résultat avec l'unité (°).
4. La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
Propriété réciproque. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants, ou alternes-externes) de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Au contraire, si ces angles ont des mesures différentes, les droites ne sont pas parallèles : elles finissent par se couper.
Exemple
Deux droites (a) et (b) sont coupées par une sécante (s). Deux angles correspondants mesurent 72° et 74°. Les droites sont-elles parallèles ?
Si (a) et (b) étaient parallèles, ces angles correspondants seraient égaux. Or 72° ≠ 74°.
Donc les droites (a) et (b) ne sont pas parallèles.
Même avec 2° d'écart seulement, elles finissent par se couper : on ne peut pas se fier à l'œil.
Exemple
Deux droites (d) et (d') sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes mesurent 3x + 10 et 5x − 30 (en degrés). Pour quelle valeur de x les droites sont-elles parallèles ?
Les droites sont parallèles si et seulement si les angles alternes-internes sont égaux :
3x + 10 = 5x − 30 ; 10 + 30 = 5x − 3x ; 40 = 2x ; x = 20.
Les deux angles mesurent alors 3 × 20 + 10 = 70° et 5 × 20 − 30 = 70°.
5. Un outil qui servira pour les triangles
Cette propriété permet de démontrer, dans la leçon suivante, que la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180° : on tracera une parallèle à un côté et on utilisera des angles alternes-internes.
3Je retiens
Je retiens
Une sécante coupe deux droites et forme huit angles.
Alternes-internes : entre les droites, de part et d'autre de la sécante (forme Z).
Correspondants : du même côté de la sécante, placés de la même façon (forme F).
Si les droites sont parallèles, les angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants sont égaux deux à deux.
Réciproque : si deux angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux, les droites sont parallèles.
Deux angles intérieurs du même côté de la sécante sont supplémentaires quand les droites sont parallèles.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser la propriété sans vérifier que les droites sont parallèles : si elles ne le sont pas, les angles alternes-internes ne sont pas égaux.
- Confondre alternes-internes et correspondants : pour les alternes-internes, les deux angles sont entre les droites et de part et d'autre de la sécante.
- Oublier la justification : écrire seulement « l'angle vaut 65° » ne suffit pas, il faut nommer la paire d'angles et dire que les droites sont parallèles.
- Conclure « parallèles » parce que la figure en a l'air : il faut une preuve par les angles (ou par une autre propriété).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète par « alternes-internes », « alternes-externes » ou « correspondants ».
a) Deux angles entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante sont …
b) Deux angles du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre à l'extérieur, placés de la même façon, sont …
c) Deux angles à l'extérieur des deux droites, de part et d'autre de la sécante sont …
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a) alternes-internes ; b) correspondants ; c) alternes-externes.
2Exercice 2
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles et coupées par une sécante. Un angle de sommet I mesure 52°. Calcule, en justifiant, l'angle qui lui est alterne-interne, puis l'angle intérieur situé du même côté de la sécante.
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Les droites (d1) et (d2) sont parallèles, et deux angles alternes-internes formés par deux parallèles et une sécante ont la même mesure : l'angle alterne-interne mesure 52°.
L'angle intérieur du même côté de la sécante est le supplémentaire : 180° - 52° = 128°.
3Exercice 3
Deux droites (a) et (b) sont coupées par une sécante. Dans chaque cas, dis si (a) et (b) sont parallèles, en justifiant.
a) Deux angles alternes-internes mesurent 48° et 48°.
b) Deux angles correspondants mesurent 110° et 115°.
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a) Les angles alternes-internes sont égaux (48° = 48°) : d'après la réciproque, (a) et (b) sont parallèles.
b) Les angles correspondants sont différents (110° ≠ 115°) : si les droites étaient parallèles, ils seraient égaux. Donc (a) et (b) ne sont pas parallèles.
4Exercice 4
Les droites (d) et (d') sont parallèles. Une sécante forme avec (d) un angle de 118°. Donne les mesures des huit angles de la figure.
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Autour du point d'intersection avec (d) : l'angle opposé par le sommet mesure 118° ; les deux autres mesurent 180° - 118° = 62°.
Les droites étant parallèles, les angles correspondants sont égaux : autour du point d'intersection avec (d'), on retrouve 118°, 62°, 118°, 62°.
Les huit angles : quatre mesurent 118° et quatre mesurent 62°.
5Exercice 5
(Type BEPC) Deux droites (D) et (D') sont coupées par une sécante (Δ). Deux angles correspondants mesurent 2x + 25 et 4x - 15 (en degrés).
a) Pour quelle valeur de x les droites (D) et (D') sont-elles parallèles ?
b) Calcule alors la mesure de chacun de ces angles, puis celle de leur supplémentaire.
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a) Les droites sont parallèles si et seulement si les angles correspondants sont égaux : 2x + 25 = 4x - 15 ; 25 + 15 = 4x - 2x ; 40 = 2x ; x = 20.
b) 2 × 20 + 25 = 65° et 4 × 20 - 15 = 65°. Leur supplémentaire mesure 180° - 65° = 115°.
6Exercice 6
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Un point M est situé entre elles. Le segment qui va de M vers un point A de (d1) forme avec (d1) un angle de 40°, et le segment qui va de M vers un point B de (d2) forme avec (d2) un angle de 30° (les deux angles sont du même côté, vers M). En traçant par M la parallèle (δ) à (d1), montre que AMB = 70°.
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On trace par M la droite (δ) parallèle à (d1). Comme (d1) et (d2) sont parallèles, (δ) est aussi parallèle à (d2) (deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles).
La droite (MA) est une sécante de (d1) et (δ), qui sont parallèles : l'angle entre (MA) et (δ) est alterne-interne avec l'angle de 40°, donc il mesure 40°.
De même, (MB) est une sécante de (d2) et (δ) : l'angle entre (MB) et (δ) mesure 30°.
Ces deux angles sont adjacents (de part et d'autre de (δ)), donc AMB = 40° + 30° = 70°.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
