Karamö, le prof virtuelLeçon 26 sur 33
Médiatrices d'un triangle et cercle circonscrit
Je sais tracer les médiatrices d'un triangle, trouver le point à égale distance des trois sommets et tracer le cercle qui passe par ces trois sommets.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la médiatrice d'un segment et utiliser sa propriété d'équidistance
- Tracer les trois médiatrices d'un triangle et savoir qu'elles sont concourantes
- Construire le cercle circonscrit à un triangle
- Résoudre un problème de point équidistant de trois lieux
Avant de commencer : Milieu d'un segment, droites perpendiculaires, cercle (centre, rayon), utilisation du compas et de l'équerre, les triangles particuliers.
1Je découvre
Trois hameaux du Fouta-Djallon, Dara, Sinthiou et Hériko, veulent creuser un puits commun. Le chef de chacun des trois hameaux tient à une seule chose : « Personne ne doit marcher plus que les autres pour aller chercher l'eau. »
Ibrahima, élève de 8e, est chargé de trouver l'emplacement sur la carte. Il sait qu'un point à égale distance de deux lieux se trouve sur une droite particulière, qu'il a rencontrée en 7e : la médiatrice. Mais ici, il y a trois hameaux, pas deux.
Existe-t-il un point à la même distance des trois hameaux ? Si oui, comment le trouver avec une règle, une équerre et un compas ? Et quel lien avec un cercle ?
Comment trouver le point situé à égale distance des trois sommets d'un triangle, et tracer le cercle qui passe par ces trois sommets ?
2Je comprends
1. Rappel : la médiatrice d'un segment
Définition. La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu.
Propriété d'équidistance.
- Si un point M est sur la médiatrice de [AB], alors MA = MB.
- Réciproquement, si MA = MB, alors le point M est sur la médiatrice de [AB].
La médiatrice de [AB] est donc exactement l'ensemble des points situés à égale distance de A et de B. C'est aussi l'axe de symétrie du segment [AB].
Tracer une médiatrice au compas. On pique en A, puis en B, avec le même écartement (plus grand que la moitié de AB) et on trace deux arcs de chaque côté du segment. Les deux points d'intersection des arcs sont à égale distance de A et de B : la droite qui les joint est la médiatrice.
2. Les trois médiatrices d'un triangle
Un triangle ABC a trois côtés, donc trois médiatrices : celle de [AB], celle de [BC] et celle de [AC].
Propriété. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point, souvent noté O.
Pourquoi ? Appelons O le point d'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
- O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB.
- O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC.
- Donc OA = OC : le point O est aussi sur la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices passent donc par le même point O, et OA = OB = OC.
3. Le cercle circonscrit
Puisque OA = OB = OC, le cercle de centre O et de rayon OA passe par les trois sommets A, B et C.
Définition. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Son centre est le point de concours des médiatrices ; son rayon est la distance de ce centre à n'importe quel sommet.
Méthode
Construire le cercle circonscrit à un triangle ABC :
- Je trace la médiatrice de [AB] (au compas, ou en plaçant le milieu puis la perpendiculaire à l'équerre).
- Je trace la médiatrice d'un deuxième côté, par exemple [BC].
- J'appelle O leur point d'intersection (la troisième médiatrice passe aussi par O ; je peux la tracer pour vérifier).
- Je pique le compas en O, je l'écarte jusqu'à A et je trace le cercle.
- Je vérifie que le cercle passe bien par B et par C.
4. Où se trouve le centre O ?
La position du centre dépend de la forme du triangle.
| Triangle | Position du centre O |
|---|---|
| Trois angles aigus | à l'intérieur du triangle |
| Un angle droit | au milieu de l'hypoténuse |
| Un angle obtus | à l'extérieur du triangle |
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices sont aussi les axes de symétrie, et O est au « centre » du triangle.
Exemple
Construire le cercle circonscrit à un triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 5 cm et AC = 4 cm.
On construit d'abord ABC au compas (6 < 4 + 5, il existe).
On place le milieu I de [AB] à 3 cm de A et on trace à l'équerre la perpendiculaire à [AB] en I.
On fait de même pour [BC] : milieu J à 2,5 cm de B, puis perpendiculaire en J.
Les deux droites se coupent en O. On trace le cercle de centre O passant par A.
Contrôle : le cercle passe par B et par C. Ici, le plus grand angle (en C) est aigu, donc O est à l'intérieur du triangle.
Exemple
Les points A, B, C sont tels que OA = 7 cm, où O est le point de concours des médiatrices du triangle ABC. Combien valent OB et OC ? Quel est le diamètre du cercle circonscrit ?
O est sur les trois médiatrices, donc OA = OB = OC.
OB = OC = 7 cm. Le rayon du cercle circonscrit est 7 cm, son diamètre est 2 × 7 = 14 cm.
Exemple
EFG est rectangle en E, avec FG = 10 cm. Où est le centre du cercle circonscrit, et quel est son rayon ?
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [FG].
Le rayon est la moitié de l'hypoténuse : 10 ÷ 2 = 5 cm.
5. Retour au puits des trois hameaux
Sur la carte, les hameaux Dara, Sinthiou et Hériko forment un triangle. Le point à égale distance des trois est le point de concours des médiatrices de ce triangle. Ibrahima trace deux médiatrices, lit leur point d'intersection : c'est là qu'il faut creuser. Le cercle circonscrit passe par les trois hameaux, et son rayon est la distance que chaque famille parcourra.
3Je retiens
Je retiens
Médiatrice de [AB] : droite perpendiculaire à [AB] en son milieu.
M est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O.
O est à égale distance des trois sommets : OA = OB = OC.
Le cercle de centre O et de rayon OA est le cercle circonscrit : il passe par A, B et C.
Il suffit de tracer deux médiatrices pour trouver O.
Triangle rectangle : O est le milieu de l'hypoténuse ; triangle obtusangle : O est à l'extérieur.
4Erreurs fréquentes
- Tracer une perpendiculaire qui ne passe pas par le milieu : ce n'est pas une médiatrice. Il faut les deux conditions.
- Confondre médiatrice et droite qui passe par un sommet : la médiatrice d'un côté ne passe pas, en général, par le sommet opposé.
- Croire que le centre O est toujours à l'intérieur du triangle : pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.
- Choisir un rayon au hasard : le rayon du cercle circonscrit est exactement OA (= OB = OC).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète.
a) La médiatrice de [EF] est perpendiculaire à [EF] et passe par … .
b) Si un point P vérifie PE = PF, alors P est sur … .
c) Le cercle circonscrit à un triangle passe par … .
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a) son milieu ; b) la médiatrice de [EF] ; c) les trois sommets du triangle.
2Exercice 2
Trace un segment [RS] de 7 cm et construis sa médiatrice au compas. Place un point T sur cette médiatrice tel que TR = 5 cm. Combien vaut TS ? Justifie.
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Je trace [RS] de 7 cm. Avec un écartement supérieur à 3,5 cm, je trace deux arcs de centre R et deux arcs de centre S ; la droite qui joint leurs points d'intersection est la médiatrice. T est sur la médiatrice de [RS], donc TR = TS : TS = 5 cm.
3Exercice 3
Construis un triangle ABC tel que AB = 8 cm, AC = 6 cm et BC = 5 cm, puis construis son cercle circonscrit. Décris les étapes.
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Je construis ABC au compas (possible car 8 < 6 + 5 = 11). Je trace la médiatrice de [AB] (milieu à 4 cm de A, perpendiculaire à l'équerre) et celle de [AC] (milieu à 3 cm de A). Elles se coupent en O. Je trace le cercle de centre O et de rayon OA ; il passe aussi par B et C.
4Exercice 4
O est le centre du cercle circonscrit à un triangle MNP. On sait que OM = 4,5 cm.
a) Donne ON et OP. Justifie.
b) Calcule le périmètre du cercle circonscrit (on prendra π ≈ 3,14).
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a) O est le point de concours des médiatrices, il est à égale distance des trois sommets : ON = OP = OM = 4,5 cm.
b) Périmètre = 2 × π × r ≈ 2 × 3,14 × 4,5 = 28,26 cm.
5Exercice 5
Pour chaque triangle, dis où se trouve le centre de son cercle circonscrit.
a) Un triangle dont les angles mesurent 50°, 60° et 70°.
b) Un triangle dont les angles mesurent 30°, 40° et 110°.
c) Un triangle dont les angles mesurent 35°, 55° et 90°.
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a) Les trois angles sont aigus : le centre est à l'intérieur du triangle.
b) Il y a un angle obtus (110°) : le centre est à l'extérieur du triangle.
c) Il y a un angle droit : le centre est au milieu de l'hypoténuse.
6Exercice 6
(Problème) Sur une carte à l'échelle 1100 000, trois villages A, B et C forment un triangle rectangle en A. La distance BC sur la carte est 8 cm.
a) Où faut-il placer une école à égale distance des trois villages ?
b) Quelle est cette distance sur la carte ? Et dans la réalité, en kilomètres ?
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a) L'école doit être au centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Comme ABC est rectangle en A, ce centre est le milieu de l'hypoténuse [BC].
b) Sur la carte, la distance est la moitié de BC : 8 ÷ 2 = 4 cm. Dans la réalité : 4 × 100 000 = 400 000 cm = 4 000 m = 4 km.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
