Karamö, le prof virtuelLeçon 27 sur 33
Hauteurs et médianes d'un triangle
Je sais tracer les hauteurs et les médianes d'un triangle, je connais leurs points de concours et je sais utiliser une hauteur pour calculer une aire.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et tracer une hauteur d'un triangle, même quand son pied est hors du triangle
- Savoir que les trois hauteurs sont concourantes en l'orthocentre
- Définir et tracer une médiane, et savoir que les trois médianes sont concourantes au centre de gravité
- Distinguer médiatrice, hauteur et médiane, et les reconnaître dans un triangle isocèle
Avant de commencer : Droites perpendiculaires, milieu d'un segment, médiatrices d'un triangle, triangles particuliers.
1Je découvre
Mariama et Lansana ont découpé dans du carton un grand triangle pour fabriquer un cerf-volant. Lansana veut savoir quelle est la « hauteur » du triangle pour acheter la bonne longueur de baguette. Il mesure du sommet jusqu'au côté d'en face, mais pas tout droit, en biais. Mariama lui dit : « Non, la hauteur, c'est la distance la plus courte, il faut arriver perpendiculairement au côté. »
Ensuite, Mariama veut attacher la ficelle au bon endroit, là où le carton reste parfaitement en équilibre sur la pointe d'un crayon. Elle essaie au hasard, mais le triangle bascule à chaque fois.
Existe-t-il un point d'équilibre ? Comment le trouver sans tâtonner ? Et comment tracer correctement une hauteur ?
Que sont les hauteurs et les médianes d'un triangle, et quelles propriétés ont-elles ?
2Je comprends
1. Les hauteurs d'un triangle
Définition. Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire au côté opposé [BC] (ou plutôt à la droite (BC)).
Le point d'intersection H de cette hauteur avec la droite (BC) s'appelle le pied de la hauteur. On appelle aussi « hauteur » la longueur AH : c'est la distance du sommet A à la droite (BC).
Un triangle a trois hauteurs, une issue de chaque sommet.
Attention au triangle obtusangle. Si l'angle en B est obtus, le pied de la hauteur issue de A tombe en dehors du segment [BC] : il faut prolonger le côté [BC] pour tracer la hauteur.
Propriété. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point commun s'appelle l'orthocentre du triangle.
Hauteur et aire. Tu utiliseras beaucoup la hauteur pour calculer l'aire d'un triangle :
Aire = base × hauteur2, où la hauteur est celle qui correspond à la base choisie.
2. Les médianes d'un triangle
Définition. Dans un triangle ABC, la médiane issue de A est le segment (ou la droite) qui joint le sommet A au milieu du côté opposé [BC].
Un triangle a trois médianes.
Propriété. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point commun s'appelle le centre de gravité du triangle ; on le note souvent G.
Position de G. Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Si I est le milieu de [BC] : AG = 23 AI et GI = 13 AI.
C'est le point d'équilibre cherché par Mariama : un triangle de carton d'épaisseur régulière tient en équilibre sur la pointe d'un crayon placée en G.
Médiane et aire. Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire : ils ont des bases de même longueur (les deux moitiés du côté) et la même hauteur.
3. Ne pas confondre
| Droite | Passe par… | Condition |
|---|---|---|
| Médiatrice de [BC] | le milieu de [BC] | perpendiculaire à [BC] |
| Hauteur issue de A | le sommet A | perpendiculaire à (BC) |
| Médiane issue de A | le sommet A et le milieu de [BC] | aucune condition d'angle |
Cas du triangle isocèle. Si ABC est isocèle en A, la médiatrice de [BC], la hauteur issue de A et la médiane issue de A sont la même droite : c'est l'axe de symétrie du triangle. Dans un triangle équilatéral, c'est vrai pour les trois sommets.
Méthode
Tracer la hauteur issue d'un sommet A dans un triangle ABC :
- Je repère le côté opposé à A : c'est [BC]. Si besoin, je le prolonge en pointillés.
- Je place l'équerre avec un côté de l'angle droit le long de (BC).
- Je fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par A.
- Je trace la droite, je marque le pied H et le codage de l'angle droit.
Tracer la médiane issue de A : je mesure [BC], je place son milieu I, puis je trace [AI].
Exemple
Dans un triangle ABC, I est le milieu de [BC] et la médiane [AI] mesure 12 cm. G est le centre de gravité. Calculer AG et GI.
G est aux deux tiers de la médiane en partant du sommet :
AG = (2/3) × 12 = 8 cm.
GI = 12 − 8 = 4 cm (ou (1/3) × 12 = 4 cm).
Vérification : AG = 2 × GI.
Exemple
Un triangle a une base BC = 10 cm et la hauteur issue de A mesure AH = 6 cm. Calculer son aire, puis l'aire de chacun des triangles ABI et AIC, où I est le milieu de [BC].
Aire de ABC = (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm².
La médiane [AI] partage ABC en deux triangles de même aire.
Aire de ABI = aire de AIC = 30 ÷ 2 = 15 cm².
(Vérification : ABI a pour base BI = 5 cm et pour hauteur 6 cm : (5 × 6) ÷ 2 = 15 cm².)
Exemple
DEF est rectangle en D. Quelles sont les hauteurs issues de E et de F ? Où est l'orthocentre ?
La hauteur issue de E est perpendiculaire à (DF) et passe par E : c'est la droite (DE), car (DE) ⊥ (DF).
De même, la hauteur issue de F est la droite (DF).
Ces deux hauteurs se coupent en D : l'orthocentre d'un triangle rectangle est le sommet de l'angle droit.
3Je retiens
Je retiens
Hauteur issue de A : droite passant par A et perpendiculaire à (BC) ; son pied H est sur (BC).
Les trois hauteurs sont concourantes en l'orthocentre.
Médiane issue de A : segment qui joint A au milieu I de [BC].
Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité G, avec AG = (2/3) AI.
Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
Aire d'un triangle = (base × hauteur correspondante) ÷ 2.
Dans un triangle isocèle en A, hauteur, médiane issues de A et médiatrice de [BC] sont confondues.
4Erreurs fréquentes
- Confondre hauteur et médiane : la hauteur arrive perpendiculairement au côté opposé, la médiane arrive en son milieu.
- Confondre hauteur et médiatrice : la hauteur passe par un sommet, la médiatrice passe par le milieu d'un côté.
- Oublier de prolonger le côté dans un triangle obtusangle : le pied de la hauteur peut être hors du triangle.
- Placer G au milieu de la médiane : il est aux deux tiers à partir du sommet, pas à la moitié.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans un triangle KLM, complète.
a) La hauteur issue de K est perpendiculaire à … et passe par … .
b) La médiane issue de L joint L au … de … .
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a) La hauteur issue de K est perpendiculaire à (LM) et passe par K.
b) La médiane issue de L joint L au milieu de [KM].
2Exercice 2
Construis un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 5 cm et BAC = 120°. Trace la hauteur issue de C. Où se trouve son pied ? Explique.
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L'angle en A mesure 120° : il est obtus. Pour tracer la hauteur issue de C, on prolonge le côté [AB] au-delà de A, puis on trace la perpendiculaire à (AB) passant par C. Son pied H est sur le prolongement de [AB], à l'extérieur du triangle, du côté de A : c'est ce qui arrive quand l'angle en A est obtus.
3Exercice 3
Dans le triangle RST, U est le milieu de [ST] et la médiane [RU] mesure 9 cm. G est le centre de gravité. Calcule RG et GU.
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G est aux deux tiers de la médiane en partant du sommet R :
RG = 23 × 9 = 6 cm et GU = 9 - 6 = 3 cm.
4Exercice 4
Un triangle a une base de 14 cm et une hauteur correspondante de 5 cm.
a) Calcule son aire.
b) Une médiane le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun ?
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a) Aire = 14 × 52 = 702 = 35 cm².
b) Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire : 35 ÷ 2 = 17,5 cm² chacun.
5Exercice 5
Vrai ou faux ? Justifie.
a) Une hauteur passe toujours par le milieu d'un côté.
b) Dans un triangle équilatéral, les hauteurs sont aussi des médianes.
c) L'orthocentre est toujours à l'intérieur du triangle.
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a) Faux : la hauteur est perpendiculaire au côté opposé, mais son pied n'est le milieu que dans des cas particuliers (triangle isocèle, pour la hauteur issue du sommet principal).
b) Vrai : un triangle équilatéral est isocèle en chaque sommet, donc chaque hauteur est aussi une médiane.
c) Faux : dans un triangle rectangle, c'est le sommet de l'angle droit ; dans un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.
6Exercice 6
(Problème) Alpha veut partager un champ triangulaire ABC entre ses deux enfants, en deux parts de même aire, avec une seule clôture droite partant du sommet A. On sait que BC = 80 m et que la hauteur issue de A mesure 45 m.
a) Où doit-il faire arriver la clôture ? Justifie.
b) Calcule l'aire du champ et l'aire de chaque part, en m².
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a) La clôture doit suivre la médiane issue de A, c'est-à-dire arriver au milieu I de [BC], à 40 m de B. Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire (bases BI = IC = 40 m et même hauteur 45 m).
b) Aire du champ = 80 × 452 = 3 6002 = 1 800 m². Chaque part : 40 × 452 = 900 m².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
