Karamö, le prof virtuelLeçon 28 sur 33
Le parallélogramme : propriétés caractéristiques
Je connais les propriétés du parallélogramme et je sais démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en choisissant la bonne propriété.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un parallélogramme et connaître son centre de symétrie
- Utiliser les propriétés des côtés, des angles et des diagonales d'un parallélogramme
- Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme avec une propriété caractéristique
- Construire un parallélogramme de plusieurs façons
Avant de commencer : Vocabulaire du quadrilatère, droites parallèles, symétrie centrale, angles formés par deux parallèles et une sécante.
1Je découvre
Dans l'atelier de soudure de son père, à Mamou, Fatoumata observe la fabrication d'un portail. Les soudeurs assemblent des barres de fer en forme de losanges et de rectangles, mais aussi de quadrilatères « penchés » dont les côtés opposés sont parallèles.
Pour vérifier que ces cadres sont bien réguliers, son père ne sort pas son rapporteur. Il mesure seulement les deux diagonales avec un mètre ruban et regarde si elles se coupent en leur milieu. « Si c'est le cas, dit-il, les côtés d'en face sont parallèles, c'est garanti. »
Fatoumata se demande comment une simple mesure sur les diagonales peut prouver que des côtés sont parallèles.
Quelles sont les propriétés d'un parallélogramme, et comment prouver qu'un quadrilatère en est un ?
2Je comprends
1. Définition et centre de symétrie
Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
ABCD est un parallélogramme si (AB) // (DC) et (AD) // (BC).
Propriété fondamentale. Un parallélogramme a un centre de symétrie : c'est le point d'intersection de ses diagonales. La symétrie de centre O échange A et C, B et D.
2. Les propriétés d'un parallélogramme
Si ABCD est un parallélogramme de centre O, alors :
- Ses diagonales se coupent en leur milieu : O est le milieu de [AC] et de [BD].
- Ses côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC.
- Ses angles opposés sont égaux : A = C et B = D.
- Deux angles consécutifs sont supplémentaires : A + B = 180°.
Les propriétés 1, 2 et 3 viennent de la symétrie de centre O, qui conserve les longueurs et les angles. La propriété 4 vient des angles formés par deux parallèles et une sécante : (AD) // (BC) coupées par (AB) donnent deux angles intérieurs du même côté, dont la somme vaut 180°.
3. Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Ces propriétés marchent aussi « dans l'autre sens ». On les appelle des propriétés caractéristiques : chacune suffit, à elle seule, pour conclure.
Un quadrilatère non croisé ABCD est un parallélogramme si l'une de ces conditions est vraie :
| Si je sais que… | …alors ABCD est un parallélogramme |
|---|---|
| ses côtés opposés sont parallèles deux à deux | (c'est la définition) |
| ses diagonales ont le même milieu | propriété des diagonales |
| ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux | propriété des côtés |
| deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur | propriété mixte |
| ses angles opposés sont égaux deux à deux | propriété des angles |
La propriété des diagonales est souvent la plus pratique : c'est celle qu'utilise le père de Fatoumata.
- 1Je nomme la figure et je rappelle ce que l'énoncé donne.
- 2Je choisis la propriété caractéristique qui utilise ces données.
- 3J'écris : « Or, si un quadrilatère a…, alors c'est un parallélogramme. »
- 4Je conclus : « Donc ABCD est un parallélogramme. »
Méthode
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme :
- Je relis l'énoncé et je repère les informations sur les côtés, les diagonales ou les angles.
- Je choisis LA propriété caractéristique qui utilise exactement ces informations.
- Je rédige en trois temps : « On sait que… Or, si… alors… Donc… ».
- Je n'utilise jamais ce que je veux démontrer comme donnée.
Exemple
Les segments [EG] et [FH] ont le même milieu I. Démontrer que EFGH est un parallélogramme.
On sait que les diagonales [EG] et [FH] du quadrilatère EFGH ont le même milieu I.
Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc EFGH est un parallélogramme.
Exemple
ABCD est un parallélogramme avec AB = 7 cm, BC = 4 cm et  = 65°. Calculer le périmètre et les autres angles.
Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur : DC = AB = 7 cm et AD = BC = 4 cm.
Périmètre = 2 × (7 + 4) = 22 cm.
Les angles opposés sont égaux : Ĉ = Â = 65°.
Deux angles consécutifs sont supplémentaires : B̂ = 180° − 65° = 115°, et D̂ = B̂ = 115°.
Vérification : 65 + 115 + 65 + 115 = 360.
Exemple
Dans le parallélogramme MNPQ de centre O, on sait que MP = 10 cm et NQ = 6 cm. Calculer OM et ON.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
OM = MP ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm ; ON = NQ ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm.
4. Construire un parallélogramme
- Avec les parallèles : on trace [AB] et [AD], puis la parallèle à (AB) passant par D et la parallèle à (AD) passant par B ; elles se coupent en C.
- Au compas : on trace [AB] et [AD], puis un arc de centre D et de rayon AB, et un arc de centre B et de rayon AD ; C est à l'intersection (côtés opposés de même longueur).
- Avec les diagonales : on trace deux segments [AC] et [BD] qui ont le même milieu O.
3Je retiens
Je retiens
Parallélogramme : quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Le point d'intersection des diagonales est son centre de symétrie.
Propriétés : diagonales de même milieu ; côtés opposés de même longueur ; angles opposés égaux ; angles consécutifs supplémentaires.
Pour prouver qu'un quadrilatère non croisé est un parallélogramme, il suffit de l'une de ces conditions : diagonales de même milieu ; côtés opposés égaux deux à deux ; deux côtés opposés parallèles et de même longueur ; angles opposés égaux deux à deux.
Rédaction : « On sait que… Or… Donc… ».
4Erreurs fréquentes
- Croire que les diagonales d'un parallélogramme ont la même longueur : c'est vrai pour le rectangle, pas pour tout parallélogramme.
- Utiliser « deux côtés opposés de même longueur » seul : il faut qu'ils soient aussi parallèles (sinon on peut avoir un trapèze isocèle).
- Écrire les sommets dans le désordre : dans ABCD, le côté opposé à [AB] est [DC], et les diagonales sont [AC] et [BD].
- Conclure « donc c'est un parallélogramme » sans citer la propriété utilisée.
5Je m’exerce
1Exercice 1
ABCD est un parallélogramme de centre O. Complète : AB = … ; AD = … ; OA = … ; OB = … ; A = … .
Voir le corrigéCacher le corrigé
AB = DC ; AD = BC ; OA = OC ; OB = OD ; A = C.
2Exercice 2
RSTU est un parallélogramme tel que R = 48°. Calcule S, T et U.
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Les angles consécutifs sont supplémentaires : S = 180° - 48° = 132°. Les angles opposés sont égaux : T = R = 48° et U = S = 132°.
Vérification : 48 + 132 + 48 + 132 = 360.
3Exercice 3
Un parallélogramme a un périmètre de 34 cm et un côté de 11 cm. Calcule la longueur des autres côtés.
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Les côtés opposés ont la même longueur : périmètre = 2 × (11 + x) = 34, donc 11 + x = 17 et x = 6. Les côtés mesurent 11 cm, 6 cm, 11 cm et 6 cm.
4Exercice 4
Place quatre points E, F, G, H tels que le milieu de [EG] soit aussi le milieu de [FH]. Démontre que EFGH est un parallélogramme en rédigeant « On sait que… Or… Donc… ».
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On sait que les diagonales [EG] et [FH] du quadrilatère EFGH ont le même milieu. Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc EFGH est un parallélogramme.
5Exercice 5
Dans un quadrilatère KLMN non croisé, on sait que (KL) // (NM) et KL = NM = 5 cm. Quelle est la nature de KLMN ? Justifie.
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On sait que les côtés opposés [KL] et [NM] sont parallèles et de même longueur. Or, si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Donc KLMN est un parallélogramme.
6Exercice 6
(Problème) ABC est un triangle. I est le milieu de [BC]. On place le point D symétrique de A par rapport à I.
a) Fais une figure.
b) Démontre que ABDC est un parallélogramme.
c) On donne AB = 5 cm et AC = 3 cm. Calcule le périmètre de ABDC.
d) Déduis-en que (AB) // (CD).
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a) On trace ABC, on place I milieu de [BC], puis D sur la demi-droite [AI) tel que ID = IA.
b) D est le symétrique de A par rapport à I, donc I est le milieu de [AD]. I est aussi le milieu de [BC]. Les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC ont le même milieu I. Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, c'est un parallélogramme. Donc ABDC est un parallélogramme.
c) Dans le parallélogramme ABDC, les côtés opposés sont égaux : DC = AB = 5 cm et BD = AC = 3 cm. Périmètre = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm.
d) Dans ABDC, les côtés [AB] et [DC] sont opposés. Or les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles. Donc (AB) // (CD).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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