Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 28
La multiplication de fractions
Je sais multiplier des fractions positives ou négatives, en simplifiant avant de calculer, et je sais prendre une fraction d'une fraction.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Multiplier deux fractions et une fraction par un entier
- Simplifier avant d'effectuer les produits
- Appliquer la règle des signes à un produit de fractions
- Calculer la puissance d'une fraction
- Calculer une fraction d'une fraction dans un problème
- Respecter les priorités dans un calcul mêlant sommes et produits de fractions
Avant de commencer : Généralités sur les fractions, addition et soustraction de fractions, multiplication des nombres relatifs et puissances.
1Je découvre
Lansana possède une parcelle à Dubréka. Il a planté des manguiers sur les 34 de sa parcelle. Cette saison, il décide de traiter contre les insectes les 23 de la partie plantée en manguiers.
Il se demande quelle fraction de toute la parcelle sera traitée. Son fils Ibrahima dessine la parcelle en rectangle : il la partage en 4 bandes verticales et en colorie 3 pour les manguiers. Puis il partage le rectangle en 3 bandes horizontales et hachure 2 bandes dans la partie coloriée.
Le rectangle est maintenant découpé en 4 × 3 = 12 petites cases égales, et la partie à la fois coloriée et hachurée compte 3 × 2 = 6 cases. La partie traitée représente donc 612, soit la moitié de la parcelle.
On remarque que 612 s'obtient en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Est-ce toujours vrai ? Comment multiplier des fractions rapidement et sans erreur ?
2Je comprends
1. La règle du produit
Règle. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
ab × cd = a × cb × d (avec b ≠ 0 et d ≠ 0).
Le dessin d'Ibrahima le montre : les dénominateurs donnent le nombre total de cases, les numérateurs le nombre de cases retenues.
« Prendre les 23 de 34 », c'est calculer 23 × 34. Le mot « de » placé après une fraction se traduit par une multiplication.
23 × 34 = 2 × 33 × 4 = 612 = 12.
2. Simplifier avant de multiplier
Au lieu de calculer les produits puis de simplifier, il est plus malin de simplifier avant : on décompose les numérateurs et les dénominateurs, et on supprime les facteurs communs en haut et en bas.
23 × 34 = 2 × 33 × 2 × 2 = 12 (on a supprimé un 3 et un 2 en haut et en bas).
Méthode
Pour multiplier des fractions :
- Je détermine le signe du résultat (règle des signes : je compte les facteurs négatifs).
- J'écris un seul trait de fraction : produit des numérateurs sur produit des dénominateurs, sans effectuer.
- Je décompose les nombres en produits de facteurs et je simplifie les facteurs communs en haut et en bas.
- J'effectue les produits restants : le résultat est déjà irréductible.
Exemple
Calculer A = 14/15 × 25/21.
A = (14 × 25)/(15 × 21) = (2 × 7 × 5 × 5)/(3 × 5 × 3 × 7).
On simplifie par 7 et par 5 : A = (2 × 5)/(3 × 3) = 10/9.
Sans simplifier d'abord, on aurait eu 350/315, plus difficile à réduire.
3. Fraction et nombre entier
Un entier n s'écrit n1. Donc :
n × ab = n × ab.
Exemple : 6 × 59 = 6 × 59 = 2 × 3 × 53 × 3 = 103.
4. Les signes
On applique la règle des signes de la multiplication des relatifs : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair donne un produit négatif.
Exemple
Calculer B = (−4/9) × (15/−8) × (−3/5).
Facteurs négatifs : −4/9, 15/(−8) et −3/5 : 3 facteurs négatifs, donc B est négatif.
Distances à zéro : (4 × 15 × 3)/(9 × 8 × 5) = (4 × 3 × 5 × 3)/(3 × 3 × 4 × 2 × 5).
On simplifie par 4, par 5 et par 3 × 3 : il reste 1/2.
B = −1/2.
5. Inverse d'une fraction et puissance d'une fraction
Deux fractions sont inverses si leur produit vaut 1. L'inverse de ab (avec a ≠ 0) est ba : ab × ba = abba = 1.
Exemple : l'inverse de 37 est 73 ; l'inverse de -52 est -25. Cette notion servira dans la prochaine leçon, sur la division.
Puissance d'une fraction : (ab)n = anbn.
(23)3 = 827 ; (-12)4 = 116 ; (-35)3 = -27125.
6. Priorités et distributivité
On respecte l'ordre habituel : parenthèses, puissances, multiplications, puis additions et soustractions.
Exemple
Calculer C = 1/2 + 3/4 × 2/9.
La multiplication est prioritaire : 3/4 × 2/9 = (3 × 2)/(4 × 9) = (3 × 2)/(2 × 2 × 3 × 3) = 1/6.
C = 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3.
Exemple
Calculer D = (1 − 2/5) × (3/4 + 1/2).
Première parenthèse : 5/5 − 2/5 = 3/5.
Deuxième parenthèse : 3/4 + 2/4 = 5/4.
D = 3/5 × 5/4 = 3/4 (on simplifie par 5).
La distributivité reste vraie : 23 × (6 + 94) = 23 × 6 + 23 × 94 = 4 + 32 = 112.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Fraction × fraction | ab × cd = acbd | 25 × 37 = 635 |
| Entier × fraction | n × ab = nab | 4 × 38 = 32 |
| Inverse | inverse de ab : ba | inverse de 49 : 94 |
| Puissance | (ab)n = anbn | (32)2 = 94 |
3Je retiens
Je retiens
a/b × c/d = (a × c)/(b × d) : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
Pas besoin de dénominateur commun pour multiplier.
On simplifie avant d'effectuer les produits.
n × a/b = (n × a)/b.
« Les a/b de » une quantité se traduit par « a/b × ».
Signe : règle des signes (nombre de facteurs négatifs pair → +, impair → −).
L'inverse de a/b est b/a ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
4Erreurs fréquentes
- Réduire au même dénominateur avant de multiplier : c'est inutile et source d'erreurs. On multiplie directement.
- Multiplier le numérateur et le dénominateur par l'entier : 3 × 2/5 = 6/5, pas 6/15.
- Simplifier un facteur en haut avec un facteur en haut : on simplifie toujours un facteur du numérateur avec un facteur du dénominateur.
- Oublier les priorités : dans 1/2 + 1/2 × 4, on calcule d'abord 1/2 × 4 = 2, donc le résultat est 5/2, pas 4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
a) 35 × 47 b) 611 × 119 c) 8 × 512 d) -1021 × 1415
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3 × 45 × 7 = 1235.
b) 6 × 1111 × 9 = 69 = 23.
c) 8 × 512 = 4 × 2 × 54 × 3 = 103.
d) Un facteur négatif : résultat négatif. 10 × 1421 × 15 = 2 × 5 × 2 × 73 × 7 × 3 × 5 = 49. Résultat : -49.
2Exercice 2
Calcule en simplifiant avant d'effectuer.
a) E = 1235 × 4918
b) F = (-94) × (-1027) × 65
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a) E = 12 × 4935 × 18 = 2 × 6 × 7 × 75 × 7 × 3 × 6 = 2 × 75 × 3 = 1415.
b) Deux facteurs négatifs : résultat positif. 9 × 10 × 64 × 27 × 5 = 9 × 2 × 5 × 2 × 32 × 2 × 9 × 3 × 5 = 1. Donc F = 1.
3Exercice 3
Donne l'inverse de chaque nombre : 58 ; -16 ; 7 ; -3-4. Puis calcule (-25)3 et (34)2.
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Inverses : 85 ; -6 ; 17 ; -3-4 = 34 a pour inverse 43.
(-25)3 = (-2)353 = -8125 ; (34)2 = 916.
4Exercice 4
Calcule en respectant les priorités.
a) G = 56 - 23 × 98
b) H = (32 - 14) × (2 - 25)
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a) 23 × 98 = 2 × 93 × 8 = 2 × 3 × 33 × 2 × 4 = 34.
G = 56 - 34 = 1012 - 912 = 112.
b) 32 - 14 = 64 - 14 = 54 ; 2 - 25 = 105 - 25 = 85.
H = 54 × 85 = 5 × 2 × 44 × 5 = 2.
5Exercice 5
(Problème) Une coopérative de Boffa possède 1 800 poussins. Elle vend les 25 des poussins en janvier, puis les 34 des poussins restants en février.
a) Quelle fraction des poussins reste-t-il après janvier ?
b) Quelle fraction du total a été vendue en février ?
c) Combien de poussins reste-t-il à la fin de février ?
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a) Après janvier, il reste 1 - 25 = 35 des poussins.
b) En février, on vend les 34 de ces 35 : 34 × 35 = 920 du total.
c) Fraction vendue en tout : 25 + 920 = 820 + 920 = 1720. Il reste 320 du total.
1 800 ÷ 20 = 90, puis 90 × 3 = 270 poussins.
Vérification : janvier 1 800 × 25 = 720 ; reste 1 080 ; février 1 080 × 34 = 810 ; reste 1 080 - 810 = 270.
6Exercice 6
(Type examen) On donne P = 34 × (23 - 89) + 16.
Calcule P et donne le résultat sous forme irréductible.
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Parenthèse : 23 - 89 = 69 - 89 = -29.
Produit : 34 × (-29) = -3 × 22 × 2 × 3 × 3 = -16.
P = -16 + 16 = 0.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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