Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 28
Le PPCM (plus petit commun multiple)
Je sais calculer le PPCM de deux entiers et l'utiliser pour trouver un dénominateur commun ou résoudre un problème de rendez-vous.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Trouver les multiples d'un entier et les multiples communs à deux entiers
- Calculer le PPCM par la liste des multiples et par la décomposition en facteurs premiers
- Utiliser la relation PGCD × PPCM = a × b
- Utiliser le PPCM comme plus petit dénominateur commun
- Reconnaître et résoudre un problème de PPCM
Avant de commencer : Le PGCD, la décomposition en facteurs premiers et l'addition de fractions (leçons précédentes).
1Je découvre
À la gare routière de Madina, deux lignes de minibus partent vers la banlieue. Les minibus de la première ligne partent toutes les 12 minutes, ceux de la deuxième toutes les 18 minutes. Ce matin, à 7 h 00, deux minibus, un de chaque ligne, sont partis en même temps.
Ousmane, le chef de gare, doit prévoir le prochain moment où deux minibus partiront à nouveau ensemble, pour mettre un agent de plus au quai.
Il écrit les heures de départ :
- première ligne : 7 h 12, 7 h 24, 7 h 36, 7 h 48…
- deuxième ligne : 7 h 18, 7 h 36, 7 h 54…
Le prochain départ commun a lieu à 7 h 36, c'est-à-dire 36 minutes après 7 h 00. Le nombre 36 est à la fois un multiple de 12 et un multiple de 18 : c'est le plus petit d'entre eux.
Comment trouver rapidement le plus petit multiple commun à deux nombres, même lorsqu'ils sont grands ?
2Je comprends
1. Multiples d'un nombre
Un multiple d'un entier a est un nombre de la forme a × k, où k est un entier. Les multiples de 12 sont 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72… Il y en a une infinité.
Un multiple commun à a et b est un nombre qui est à la fois multiple de a et multiple de b. Le produit a × b est toujours un multiple commun, mais ce n'est pas forcément le plus petit.
2. Définition du PPCM
Le PPCM de deux entiers non nuls a et b est le Plus Petit Commun Multiple non nul de a et b. On le note PPCM(a ; b).
Méthode 1 : la liste des multiples. On écrit les multiples du plus grand nombre jusqu'à en trouver un qui soit aussi multiple du plus petit.
Exemple
Calculer PPCM(12 ; 18).
Multiples de 18 : 18, 36, 54…
18 n'est pas multiple de 12 ; 36 = 12 × 3 est multiple de 12.
PPCM(12 ; 18) = 36.
Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent dans l'une ou l'autre décomposition, chacun pris avec le plus grand exposant.
Exemple
Calculer PPCM(120 ; 144).
120 = 2³ × 3 × 5 et 144 = 2⁴ × 3².
Tous les facteurs : 2 (plus grand exposant 4), 3 (plus grand exposant 2) et 5 (exposant 1).
PPCM(120 ; 144) = 2⁴ × 3² × 5 = 16 × 9 × 5 = 720.
- Plus Grand Commun Diviseur
- Facteurs premiers communs seulement
- Chacun avec le plus petit exposant
- Il divise a et b
- Problèmes de partage en lots identiques
- Plus Petit Commun Multiple
- Tous les facteurs premiers
- Chacun avec le plus grand exposant
- Il est divisible par a et par b
- Problèmes de rendez-vous, de coïncidence
3. La relation entre PGCD et PPCM
Propriété. Pour deux entiers non nuls a et b :
PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b.
Donc PPCM(a ; b) = a × bPGCD(a ; b).
Vérifions : PGCD(120 ; 144) = 24 (leçon précédente) et 120 × 14424 = 17 28024 = 720. On retrouve bien le PPCM.
Cette relation est très pratique quand on a déjà calculé le PGCD, par exemple avec l'algorithme d'Euclide.
Cas particuliers.
- Si b divise a, alors PPCM(a ; b) = a : PPCM(36 ; 12) = 36.
- Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a ; b) = a × b : PPCM(8 ; 15) = 120.
Méthode
Pour calculer le PPCM de deux nombres :
- Si l'un divise l'autre, le PPCM est le plus grand des deux.
- Petits nombres : je liste les multiples du plus grand jusqu'à trouver un multiple du plus petit.
- Sinon : je décompose en facteurs premiers et je prends tous les facteurs avec le plus grand exposant.
- Ou bien : je calcule le PGCD, puis PPCM = (a × b) ÷ PGCD.
Exemple
Calculer PPCM(126 ; 90) avec le PGCD.
Euclide : 126 = 90 × 1 + 36 ; 90 = 36 × 2 + 18 ; 36 = 18 × 2 + 0. PGCD = 18.
PPCM = (126 × 90) ÷ 18 = 126 × 5 = 630.
Vérification : 126 = 2 × 3² × 7 et 90 = 2 × 3² × 5, donc PPCM = 2 × 3² × 5 × 7 = 630.
4. Le PPCM et les fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions, le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs. Les calculs restent ainsi avec les plus petits nombres possibles.
Exemple
Calculer A = 7/12 + 5/18.
PPCM(12 ; 18) = 36.
7/12 = 21/36 (× 3) et 5/18 = 10/36 (× 2).
A = 31/36.
5. Reconnaître un problème de PPCM
On pense au PPCM quand des événements se répètent à intervalles réguliers et qu'on cherche quand ils se produiront de nouveau ensemble pour la première fois ; ou quand on cherche la plus petite quantité qu'on peut partager exactement de plusieurs façons.
| Mots-clés du problème | Outil |
|---|---|
| « le plus grand possible », « lots identiques », « sans reste », « découper » | PGCD |
| « le plus petit », « de nouveau ensemble », « en même temps », « à la fois multiple » | PPCM |
- 1Lire l'énoncé et repérer les nombres qui se répètent (durées, longueurs)
- 2Se demander : cherche-t-on un diviseur (partage) ou un multiple (rendez-vous) ?
- 3Calculer le PPCM des nombres
- 4Traduire le résultat dans la situation : heure, longueur, nombre de tours
- 5Répondre par une phrase
3Je retiens
Je retiens
Un multiple de a s'écrit a × k (k entier).
PPCM(a ; b) : le plus petit multiple commun non nul de a et b.
Par les facteurs premiers : tous les facteurs, chacun avec son plus grand exposant.
PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b.
Si b divise a, PPCM(a ; b) = a ; si a et b sont premiers entre eux, PPCM(a ; b) = a × b.
Le plus petit dénominateur commun de deux fractions est le PPCM des dénominateurs.
PPCM : problèmes de rendez-vous ; PGCD : problèmes de partage.
4Erreurs fréquentes
- Confondre PGCD et PPCM : le PPCM est plus grand que (ou égal à) chacun des deux nombres ; le PGCD est plus petit (ou égal).
- Oublier les facteurs non communs dans le PPCM : pour 2² × 3 et 2 × 5, le PPCM est 2² × 3 × 5 = 60, pas 2² = 4.
- Croire que le PPCM est toujours le produit a × b : PPCM(12 ; 18) = 36, pas 216.
- Oublier d'ajouter la durée à l'heure de départ : 36 minutes après 7 h 00, c'est 7 h 36.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris les dix premiers multiples non nuls de 6 et de 8, puis donne PPCM(6 ; 8).
Voir le corrigéCacher le corrigé
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.
Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80.
Le plus petit multiple commun est 24 : PPCM(6 ; 8) = 24.
2Exercice 2
Calcule le PPCM en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
a) PPCM(20 ; 30) b) PPCM(28 ; 42) c) PPCM(9 ; 16)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 20 = 22 × 5 et 30 = 2 × 3 × 5. PPCM = 22 × 3 × 5 = 60.
b) 28 = 22 × 7 et 42 = 2 × 3 × 7. PPCM = 22 × 3 × 7 = 84.
c) 9 = 32 et 16 = 24 : aucun facteur commun, ils sont premiers entre eux. PPCM = 9 × 16 = 144.
3Exercice 3
a) Calcule PGCD(84 ; 60) par l'algorithme d'Euclide.
b) Déduis-en PPCM(84 ; 60).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 84 = 60 × 1 + 24 ; 60 = 24 × 2 + 12 ; 24 = 12 × 2 + 0. PGCD(84 ; 60) = 12.
b) PPCM(84 ; 60) = 84 × 6012 = 84 × 5 = 420.
4Exercice 4
Calcule en utilisant le plus petit dénominateur commun :
B = 524 + 736 et C = 1115 - 720.
Voir le corrigéCacher le corrigé
24 = 23 × 3 et 36 = 22 × 32, donc PPCM(24 ; 36) = 23 × 32 = 72.
B = 5 × 372 + 7 × 272 = 1572 + 1472 = 2972.
15 = 3 × 5 et 20 = 22 × 5, donc PPCM(15 ; 20) = 22 × 3 × 5 = 60.
C = 4460 - 2160 = 2360.
5Exercice 5
(Type BEPC) Deux phares éclairent l'entrée d'un port. Le premier s'allume toutes les 20 secondes, le second toutes les 45 secondes. À 20 h 00 min 00 s, ils s'allument en même temps.
a) Après combien de secondes s'allumeront-ils de nouveau ensemble ?
b) À quelle heure précise cela se produira-t-il ?
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a) On cherche PPCM(20 ; 45). 20 = 22 × 5 et 45 = 32 × 5, donc PPCM = 22 × 32 × 5 = 180.
Ils s'allumeront de nouveau ensemble après 180 secondes.
b) 180 s = 3 min. Cela se produira à 20 h 03 min 00 s.
6Exercice 6
(Problème) Fanta range des cahiers dans des cartons pour une école de Siguiri. Si elle les range par 15, par 20 ou par 25, il ne reste jamais aucun cahier. Elle a moins de 500 cahiers et plus de 250.
a) Quel est le plus petit nombre non nul de cahiers qui vérifie ces conditions ?
b) Combien de cahiers a-t-elle exactement ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le nombre de cahiers est un multiple commun de 15, 20 et 25. 15 = 3 × 5, 20 = 22 × 5, 25 = 52. PPCM = 22 × 3 × 52 = 300.
b) Les multiples communs sont les multiples de 300 : 300, 600… Seul 300 est compris entre 250 et 500. Fanta a 300 cahiers.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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