Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 28
Le PGCD (plus grand commun diviseur)
Je sais calculer le PGCD de deux entiers par plusieurs méthodes et l'utiliser pour simplifier une fraction ou résoudre un problème de partage.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Trouver les diviseurs d'un entier et les diviseurs communs à deux entiers
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- Calculer le PGCD par la liste des diviseurs, par la décomposition en facteurs premiers et par l'algorithme d'Euclide
- Reconnaître deux nombres premiers entre eux et rendre une fraction irréductible en une étape
- Résoudre un problème de partage en lots identiques
Avant de commencer : Les tables de multiplication, la division euclidienne, les critères de divisibilité, les puissances et la simplification des fractions.
1Je découvre
Kadiatou tient un étal de fruits au marché de Kindia. Elle a reçu 144 mangues et 120 oranges. Pour la fête, elle veut préparer des paniers tous identiques : chaque panier doit contenir le même nombre de mangues et le même nombre d'oranges, et elle veut utiliser tous ses fruits.
Si elle fait 2 paniers, chacun aura 72 mangues et 60 oranges : c'est beaucoup trop lourd. Avec 12 paniers, chacun aurait 12 mangues et 10 oranges. Mais elle souhaite en faire le plus possible, pour servir un maximum de clients.
Le nombre de paniers doit diviser à la fois 144 et 120. C'est donc un diviseur commun de 144 et 120. Et comme elle veut le plus grand nombre de paniers possible, elle cherche le plus grand de ces diviseurs communs.
Comment trouver rapidement le plus grand diviseur commun de deux nombres ?
2Je comprends
1. Diviseurs et nombres premiers
Soient a et b deux entiers naturels, avec b ≠ 0. On dit que b est un diviseur de a (ou que a est un multiple de b) si la division de a par b tombe juste, c'est-à-dire s'il existe un entier k tel que a = b × k.
Exemple : les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. On les trouve par paires : 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6.
Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Attention : 1 n'est pas premier (il n'a qu'un diviseur).
Décomposition en facteurs premiers. Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre près). On divise successivement par 2, 3, 5, 7… tant que c'est possible.
| 144 | 2 |
|---|---|
| 72 | 2 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
Donc 144 = 24 × 32. De même, 120 = 23 × 3 × 5.
2. Définition du PGCD
Le PGCD de deux entiers non nuls a et b est le Plus Grand Commun Diviseur de a et b. On le note PGCD(a ; b).
Méthode 1 : la liste des diviseurs. Elle convient pour de petits nombres.
Exemple
Calculer PGCD(24 ; 36).
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
PGCD(24 ; 36) = 12.
Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun pris avec le plus petit exposant.
Exemple
Calculer PGCD(144 ; 120) pour Kadiatou.
144 = 2⁴ × 3² et 120 = 2³ × 3 × 5.
Facteurs communs : 2 (plus petit exposant 3) et 3 (plus petit exposant 1). Le 5 n'est pas commun.
PGCD(144 ; 120) = 2³ × 3 = 24.
Kadiatou peut faire 24 paniers, avec 144 ÷ 24 = 6 mangues et 120 ÷ 24 = 5 oranges chacun.
3. L'algorithme d'Euclide
Pour de grands nombres, la méthode la plus rapide repose sur cette propriété : si a = b × q + r (division euclidienne, avec 0 ≤ r < b), alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r).
On remplace donc le couple (a ; b) par un couple plus petit (b ; r), et on recommence. Le PGCD est le dernier reste non nul.
Méthode
Algorithme d'Euclide pour calculer PGCD(a ; b), avec a > b :
- J'effectue la division euclidienne de a par b : a = b × q + r.
- Si r = 0, le PGCD est b. Sinon, je remplace a par b et b par r.
- Je recommence jusqu'à obtenir un reste nul.
- Le PGCD est le dernier reste non nul.
- 1Diviser le plus grand nombre par le plus petit
- 2Garder le diviseur et le reste
- 3Diviser l'ancien diviseur par le reste
- 4Recommencer jusqu'à un reste nul
- 5Le PGCD est le dernier reste non nul
Exemple
Calculer PGCD(360 ; 252) par l'algorithme d'Euclide.
360 = 252 × 1 + 108
252 = 108 × 2 + 36
108 = 36 × 3 + 0
Le dernier reste non nul est 36 : PGCD(360 ; 252) = 36.
Vérification par les facteurs premiers : 360 = 2³ × 3² × 5 et 252 = 2² × 3² × 7, donc PGCD = 2² × 3² = 36.
| Dividende | Diviseur | Quotient | Reste |
|---|---|---|---|
| 360 | 252 | 1 | 108 |
| 252 | 108 | 2 | 36 |
| 108 | 36 | 3 | 0 |
Autre méthode : les soustractions successives. On utilise PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a - b) et on soustrait le plus petit du plus grand jusqu'à obtenir deux nombres égaux. Pour (40 ; 24) : (24 ; 16), (16 ; 8), (8 ; 8), donc le PGCD est 8. Cette méthode est plus longue que celle d'Euclide.
4. Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1 : leur seul diviseur commun est 1. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux, alors qu'aucun des deux n'est premier.
Propriété. Si l'on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur PGCD, on obtient directement une fraction irréductible.
Exemple
Rendre irréductible la fraction 252/360.
PGCD(360 ; 252) = 36 (calculé plus haut).
252 ÷ 36 = 7 et 360 ÷ 36 = 10.
252/360 = 7/10, qui est irréductible car PGCD(7 ; 10) = 1.
5. Reconnaître un problème de PGCD
On pense au PGCD quand on doit partager ou découper plusieurs quantités en parts identiques, le plus grand possible (ou en un nombre de lots maximal), sans reste.
Exemples : paniers identiques, carreaux carrés les plus grands possibles pour couvrir un rectangle, rubans coupés en morceaux égaux de longueur maximale.
3Je retiens
Je retiens
b divise a si a = b × k avec k entier.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (1 n'est pas premier).
PGCD(a ; b) : le plus grand diviseur commun de a et b.
Par les facteurs premiers : produit des facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant.
Algorithme d'Euclide : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) ; le PGCD est le dernier reste non nul.
a et b sont premiers entre eux si PGCD(a ; b) = 1.
Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne une fraction irréductible.
4Erreurs fréquentes
- Prendre le plus grand exposant ou des facteurs non communs : pour 2³ × 3 et 2² × 5, le PGCD est 2² = 4, pas 2³ × 3 × 5.
- Donner le dernier reste (0) au lieu du dernier reste non nul dans l'algorithme d'Euclide.
- Confondre « nombre premier » et « nombres premiers entre eux » : 9 et 10 ne sont pas premiers, mais ils sont premiers entre eux.
- Oublier de répondre à la question du problème : trouver le PGCD ne suffit pas, il faut aussi le contenu de chaque lot.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris la liste des diviseurs de 30 et de 42, puis donne PGCD(30 ; 42).
Voir le corrigéCacher le corrigé
Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6. PGCD(30 ; 42) = 6.
2Exercice 2
Décompose en produit de facteurs premiers 180 et 168, puis calcule PGCD(180 ; 168).
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180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 22 × 32 × 5.
168 = 2 × 84 = 2 × 2 × 42 = 2 × 2 × 2 × 21 = 23 × 3 × 7.
Facteurs communs : 2 (plus petit exposant 2) et 3 (plus petit exposant 1).
PGCD(180 ; 168) = 22 × 3 = 12.
3Exercice 3
Calcule, avec l'algorithme d'Euclide :
a) PGCD(495 ; 165) b) PGCD(1 071 ; 462)
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a) 495 = 165 × 3 + 0. Le reste est nul dès la première division : PGCD(495 ; 165) = 165.
b) 1 071 = 462 × 2 + 147 ; 462 = 147 × 3 + 21 ; 147 = 21 × 7 + 0.
Le dernier reste non nul est 21 : PGCD(1 071 ; 462) = 21.
4Exercice 4
a) Les nombres 35 et 48 sont-ils premiers entre eux ? Justifie.
b) Rends irréductible la fraction 4621 071 en une seule étape.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 35 = 5 × 7 et 48 = 24 × 3 : aucun facteur premier commun, donc PGCD(35 ; 48) = 1. Ils sont premiers entre eux.
b) On divise par le PGCD 21 : 462 ÷ 21 = 22 et 1 071 ÷ 21 = 51. 4621 071 = 2251.
5Exercice 5
(Type BEPC) Un menuisier de Labé dispose d'une planche rectangulaire de 210 cm sur 126 cm. Il veut la découper entièrement en carrés tous identiques, les plus grands possibles, sans perte.
a) Quelle sera la longueur du côté de chaque carré ?
b) Combien de carrés obtiendra-t-il ?
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a) Le côté doit diviser 210 et 126, et être le plus grand possible : c'est leur PGCD.
210 = 126 × 1 + 84 ; 126 = 84 × 1 + 42 ; 84 = 42 × 2 + 0. PGCD = 42.
Chaque carré a 42 cm de côté.
b) 210 ÷ 42 = 5 carrés dans la longueur et 126 ÷ 42 = 3 dans la largeur, soit 5 × 3 = 15 carrés.
6Exercice 6
(Problème) Pour une campagne de sensibilisation, un centre de santé de Nzérékoré a reçu 312 moustiquaires et 234 savons. Il veut faire des kits identiques en utilisant tout le matériel.
a) Quel est le nombre maximal de kits ?
b) Que contient chaque kit ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On cherche PGCD(312 ; 234) : 312 = 234 × 1 + 78 ; 234 = 78 × 3 + 0. PGCD = 78.
Le centre peut faire au maximum 78 kits.
b) 312 ÷ 78 = 4 et 234 ÷ 78 = 3. Chaque kit contient 4 moustiquaires et 3 savons.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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