Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 28
Proportionnalité, pourcentages et application linéaire
Je sais reconnaître une situation de proportionnalité, calculer avec des pourcentages et utiliser une application linéaire x ↦ ax et sa représentation graphique.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un tableau de proportionnalité et calculer une quatrième proportionnelle
- Calculer un pourcentage, une augmentation et une réduction
- Définir une application linéaire, calculer une image et un antécédent, trouver son coefficient
- Représenter une application linéaire par une droite passant par l'origine
Avant de commencer : La proportionnalité et les pourcentages (8e), les fractions et les nombres décimaux relatifs, la résolution d'une équation ax = b (9e-maths-17), le repérage dans le plan.
1Je découvre
Au marché de Kindia, Fatoumata vend du riz local. Elle affiche : « 7 500 GNF le kilo ». Un client en achète 3 kg et paie 22 500 GNF ; un autre en achète 5 kg et paie 37 500 GNF. Chaque fois, Fatoumata multiplie la masse par le même nombre : 7 500.
Un vendredi, elle annonce une remise de 20 % sur tous les achats. Son fils Lansana doit refaire tous les prix. Pour 3 kg, il calcule 20 % de 22 500 GNF, soit 4 500 GNF, puis 22 500 − 4 500 = 18 000 GNF. Il se demande s'il n'existe pas un seul nombre par lequel multiplier toutes les masses pour avoir directement le nouveau prix.
Ces deux situations ont un point commun : on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
Comment reconnaître ces situations, calculer vite avec les pourcentages, et décrire tout cela par une « machine » mathématique appelée application linéaire ?
2Je comprends
1. La proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient les valeurs de la seconde en multipliant celles de la première par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.
| Masse de riz (kg) | 1 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 7 500 | 22 500 | 37 500 | 60 000 |
Ici, le coefficient est 7 500 : 3 × 7 500 = 22 500 ; 5 × 7 500 = 37 500 ; 8 × 7 500 = 60 000.
Pour savoir si un tableau est de proportionnalité, on calcule les quotients « seconde ligne ÷ première ligne » : ils doivent être tous égaux.
Les produits en croix. Si ab = cd (tableau de proportionnalité), alors a × d = b × c. Cela permet de calculer une quatrième proportionnelle.
Exemple
4 m de tissu wax coûtent 60 000 GNF. Combien coûtent 7 m du même tissu ?
Le prix est proportionnel à la longueur. On note p le prix de 7 m :
| Longueur (m) | 4 | 7 |
| Prix (GNF) | 60 000 | p |
Produits en croix : 4 × p = 7 × 60 000, donc p = 420 000 ÷ 4 = 105 000.
7 m de tissu coûtent 105 000 GNF.
2. Les pourcentages
Prendre t % d'une quantité a, c'est la multiplier par t100 :
t \% de a = a × t100.
Exemple : 15 % de 240 000 GNF = 240 000 × 15100 = 36 000 GNF.
Calculer un pourcentage (un taux). Si une partie p appartient à un total T, elle représente pT × 100 % du total.
Exemple : dans une classe de 45 élèves, 18 sont des filles : 1845 × 100 = 40, donc 40 % de filles.
Augmentation et réduction. Voici le résultat qui aurait aidé Lansana :
- augmenter a de t %, c'est multiplier a par (1 + t100) ;
- diminuer a de t %, c'est multiplier a par (1 - t100).
En effet, a + a × t100 = a(1 + t100) : c'est une factorisation par a.
Exemple
a) Un loyer de 500 000 GNF augmente de 10 %.
Nouveau loyer : 500 000 × 1,10 = 550 000 GNF.
b) Un sac à 45 000 GNF est vendu avec une remise de 20 %.
Nouveau prix : 45 000 × 0,80 = 36 000 GNF.
c) Pour Lansana : avec la remise de 20 %, le prix de 3 kg est 22 500 × 0,80 = 18 000 GNF. On retrouve son résultat, en un seul calcul.
3. L'application linéaire
Une application linéaire est une « machine » qui, à tout nombre x, associe le nombre ax, où a est un nombre fixé. On la note :
f : x mapsto ax ou f(x) = ax.
Le nombre a s'appelle le coefficient de l'application linéaire.
- f(x) est l'image de x par f ;
- si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y.
Toute situation de proportionnalité se décrit par une application linéaire : pour le riz, f(x) = 7 500x ; pour la remise de 20 %, g(x) = 0,8x.
Exemple
Soit f l'application linéaire définie par f(x) = −3x.
Image de 4 : f(4) = −3 × 4 = −12.
Image de −2,5 : f(−2,5) = −3 × (−2,5) = 7,5.
Antécédent de 15 : on résout −3x = 15, donc x = 15 ÷ (−3) = −5. L'antécédent de 15 est −5.
Trouver le coefficient. Si l'on connaît une image f(x0) = y0 avec x0 ≠ 0, alors a = y0x0.
Exemple
f est une application linéaire telle que f(5) = 12. Déterminer f.
a = f(5) ÷ 5 = 12 ÷ 5 = 2,4. Donc f(x) = 2,4x.
Contrôle : f(5) = 2,4 × 5 = 12.
4. La représentation graphique
Dans un repère, la représentation graphique de l'application linéaire x mapsto ax est une droite qui passe par l'origine O du repère.
- si a > 0, la droite « monte » de gauche à droite ;
- si a < 0, elle « descend ».
Pour la tracer, il suffit de l'origine et d'un seul autre point : par exemple le point de coordonnées (1 ; a) ou (2 ; 2a).
Inversement, une droite qui passe par l'origine représente une situation de proportionnalité. Une droite qui ne passe pas par l'origine, non.
Méthode
Pour étudier une application linéaire f(x) = ax :
- Image d'un nombre : je remplace x et je calcule a × x.
- Antécédent d'un nombre y : je résous l'équation ax = y.
- Coefficient à partir d'une image connue : a = f(x₀) ÷ x₀.
- Représentation : je place l'origine et un point (x₀ ; ax₀), puis je trace la droite qui les relie.
3Je retiens
Je retiens
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre (le coefficient).
Produits en croix : si a/b = c/d, alors a × d = b × c.
t % de a = a × t/100. Augmenter de t % : × (1 + t/100). Diminuer de t % : × (1 − t/100).
Application linéaire : f(x) = ax ; a est le coefficient ; f(x) est l'image de x ; x est un antécédent de f(x).
Coefficient : a = f(x₀)/x₀ (avec x₀ non nul).
La représentation graphique de x ↦ ax est une droite passant par l'origine.
4Erreurs fréquentes
- Croire que tout tableau croissant est proportionnel : 1 → 5, 2 → 9 n'est pas proportionnel (5 ÷ 1 ≠ 9 ÷ 2).
- Enlever 20 % puis rajouter 20 % en pensant revenir au prix de départ : 100 × 0,8 × 1,2 = 96, et non 100.
- Confondre image et antécédent : pour f(x) = −3x, l'image de 15 est −45, alors que l'antécédent de 15 est −5.
- Tracer une droite qui ne passe pas par l'origine pour une application linéaire : f(0) = a × 0 = 0 toujours.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Justifie.
a) 2 ; 5 ; 8 donnent 7 ; 17,5 ; 28. b) 3 ; 6 ; 9 donnent 4 ; 8 ; 13.
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a) 7 ÷ 2 = 3,5 ; 17,5 ÷ 5 = 3,5 ; 28 ÷ 8 = 3,5. Les quotients sont égaux : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3,5.
b) 4 ÷ 3 ≈ 1,33 ; 8 ÷ 6 ≈ 1,33 ; 13 ÷ 9 ≈ 1,44. Les quotients ne sont pas tous égaux (sinon on aurait 12 et non 13 pour 9) : ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
2Exercice 2
Au marché de Guéckédou, Fanta vend 6 mangues pour 9 000 GNF, toutes au même prix.
a) Combien coûtent 10 mangues ? b) Combien de mangues peut-on acheter avec 21 000 GNF ?
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Une mangue coûte 9 000 ÷ 6 = 1 500 GNF.
a) 10 × 1 500 = 15 000 GNF.
b) 21 000 ÷ 1 500 = 14 mangues.
3Exercice 3
Calcule.
a) 35 % de 80. b) Un salaire de 1 200 000 GNF augmenté de 5 %. c) Un prix de 250 000 GNF diminué de 12 %. d) Le pourcentage de filles dans une classe de 48 élèves qui compte 30 filles.
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a) 80 × 35100 = 28.
b) 1 200 000 × 1,05 = 1 260 000 GNF.
c) 250 000 × 0,88 = 220 000 GNF.
d) 3048 × 100 = 62,5 : il y a 62,5 % de filles.
4Exercice 4
Soit f l'application linéaire f(x) = 2,5x.
a) Calcule les images de 4 et de -2. b) Calcule l'antécédent de 30. c) Quels points utiliserais-tu pour tracer sa représentation graphique ?
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a) f(4) = 2,5 × 4 = 10 ; f(-2) = 2,5 × (-2) = -5.
b) On résout 2,5x = 30 : x = 30 ÷ 2,5 = 12. L'antécédent de 30 est 12.
c) La représentation est une droite passant par l'origine O(0 ; 0) ; on peut utiliser le point (4 ; 10) ou le point (-2 ; -5).
5Exercice 5
(Type examen) g est une application linéaire telle que g(6) = -9.
a) Calcule le coefficient de g et écris g(x).
b) Calcule g(-4).
c) Détermine l'antécédent de 12 par g.
d) Explique comment tracer la représentation graphique de g dans un repère.
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a) a = g(6)6 = -96 = -1,5. Donc g(x) = -1,5x.
b) g(-4) = -1,5 × (-4) = 6.
c) On résout -1,5x = 12 : x = 12 ÷ (-1,5) = -8. L'antécédent de 12 est -8.
d) On place l'origine O et, par exemple, le point (2 ; -3) car g(2) = -3. On trace la droite qui passe par ces deux points. Elle descend, car le coefficient est négatif.
6Exercice 6
Un véhicule consomme 7 litres de carburant pour 100 km. On suppose que la consommation est proportionnelle à la distance.
a) Écris l'application linéaire c qui donne la consommation (en L) pour une distance x (en km).
b) Quelle quantité faut-il pour un trajet de 350 km ?
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a) Pour 1 km, la consommation est 7 ÷ 100 = 0,07 L, donc c(x) = 0,07x.
b) c(350) = 0,07 × 350 = 24,5. Il faut 24,5 litres pour 350 km.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 9e
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