Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 28
Repérage dans le plan : coordonnées d'un point et du milieu d'un segment
Je sais lire et placer des points dans un repère, trouver les coordonnées de points symétriques et calculer les coordonnées du milieu d'un segment.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître le vocabulaire du repère : origine, axes, abscisse, ordonnée
- Lire et placer un point de coordonnées relatives
- Trouver les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à O ou aux axes
- Calculer les coordonnées du milieu d'un segment et s'en servir (extrémité manquante, parallélogramme)
Avant de commencer : Les nombres relatifs et le repérage sur une droite graduée (8e), le parallélogramme et ses diagonales (8e), les fractions.
1Je découvre
Ousmane aide le chef de quartier de son village, près de Boké, à dessiner un plan pour les nouveaux venus. Il choisit comme point de départ le grand fromager de la place centrale. Une route va d'ouest en est, une autre du sud au nord, et elles se croisent sous le fromager.
Pour indiquer la place de chaque bâtiment, Ousmane compte les centaines de mètres : l'école est à 3 unités vers l'est et 2 unités vers le nord ; le centre de santé est à 2 unités vers l'ouest et 4 vers le nord ; le puits est à 4 unités vers l'ouest et 3 vers le sud.
Le chef veut construire un nouveau marché exactement à mi-chemin entre l'école et le centre de santé. Ousmane pourrait mesurer sur le terrain, mais il se demande s'il peut trouver la position du marché uniquement avec des calculs sur ses nombres.
Comment repérer précisément un point dans le plan avec deux nombres, et comment calculer la position du milieu de deux points ?
2Je comprends
1. Le repère orthonormé
Un repère du plan est formé de deux droites graduées qui se coupent en un point O appelé origine :
- l'axe des abscisses, horizontal, gradué de gauche à droite ;
- l'axe des ordonnées, vertical, gradué de bas en haut.
Le repère est orthonormé lorsque les deux axes sont perpendiculaires et ont la même unité de longueur. C'est le cas dans cette leçon.
2. Les coordonnées d'un point
Tout point M du plan est repéré par un couple de nombres (x ; y) appelé coordonnées de M :
- x est l'abscisse : on la lit sur l'axe horizontal ;
- y est l'ordonnée : on la lit sur l'axe vertical.
On écrit M(x ; y). L'ordre compte : on donne toujours l'abscisse en premier. Les points (3 ; 2) et (2 ; 3) sont différents.
Pour placer M(3 ; 2), on part de O, on avance de 3 unités vers la droite, puis de 2 unités vers le haut.
Quelques remarques utiles :
- l'origine est O(0 ; 0) ;
- un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle : (x ; 0) ;
- un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle : (0 ; y).
Les axes partagent le plan en quatre parties. Le signe des coordonnées indique dans laquelle se trouve le point :
| Position | Signe de x | Signe de y | Exemple |
|---|---|---|---|
| en haut à droite | + | + | E(3 ; 2) |
| en haut à gauche | - | + | S(-2 ; 4) |
| en bas à gauche | - | - | P(-4 ; -3) |
| en bas à droite | + | - | R(2 ; -1) |
3. Les points symétriques
Soit un point A(x ; y).
- Son symétrique par rapport à l'origine O est A1(-x ; -y) : on change les deux signes.
- Son symétrique par rapport à l'axe des abscisses est A2(x ; -y) : on change le signe de l'ordonnée.
- Son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est A3(-x ; y) : on change le signe de l'abscisse.
Exemple
Donner les symétriques de A(3 ; −5).
Par rapport à O : (−3 ; 5).
Par rapport à l'axe des abscisses : (3 ; 5).
Par rapport à l'axe des ordonnées : (−3 ; −5).
4. Les coordonnées du milieu d'un segment
Le milieu d'un segment [AB] est le point I de [AB] tel que IA = IB. Dans un repère, ses coordonnées sont les moyennes des coordonnées de A et de B :
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées :
xI = xA + xB2 et yI = yA + yB2.
On peut le comprendre sur l'axe horizontal : le nombre situé à mi-chemin entre 2 et 8 est 5, c'est-à-dire 2 + 82. On fait la même chose sur chaque axe.
Exemple
Le marché d'Ousmane.
École E(3 ; 2) et centre de santé S(−2 ; 4). Le milieu M de [ES] a pour coordonnées :
x_M = (3 + (−2)) ÷ 2 = 1 ÷ 2 = 0,5 et y_M = (2 + 4) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3.
Donc M(0,5 ; 3). Le marché sera à 50 m à l'est et à 300 m au nord du fromager (une unité = 100 m).
Exemple
Calculer le milieu K de [AB] avec A(−3 ; 4) et B(5 ; −2).
x_K = (−3 + 5) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1 ; y_K = (4 + (−2)) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1.
Donc K(1 ; 1).
5. Retrouver une extrémité
Si l'on connaît une extrémité A et le milieu I, on retrouve l'autre extrémité B grâce aux formules : xB = 2xI - xA et yB = 2yI - yA. (On les obtient en résolvant xA + xB2 = xI.)
Exemple
I(3 ; 1) est le milieu de [AB], avec A(1 ; −2). Trouver B.
x_B = 2 × 3 − 1 = 5 ; y_B = 2 × 1 − (−2) = 2 + 2 = 4.
Donc B(5 ; 4). Vérification : (1 + 5) ÷ 2 = 3 et (−2 + 4) ÷ 2 = 1.
Cela sert aussi à trouver le symétrique d'un point par rapport à un point Ω : Ω est le milieu du segment formé par le point et son symétrique.
6. Le milieu et le parallélogramme
Tu sais depuis la 8e qu'un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu. Dans un repère, il suffit donc de calculer deux milieux.
Exemple
A(1 ; 1), B(5 ; 2), C(6 ; 5). Trouver D pour que ABCD soit un parallélogramme.
Le milieu J de [AC] : ((1 + 6) ÷ 2 ; (1 + 5) ÷ 2) = (3,5 ; 3).
ABCD est un parallélogramme si J est aussi le milieu de [BD] :
x_D = 2 × 3,5 − 5 = 2 ; y_D = 2 × 3 − 2 = 4. Donc D(2 ; 4).
Vérification : milieu de [BD] = ((5 + 2) ÷ 2 ; (2 + 4) ÷ 2) = (3,5 ; 3).
Méthode
Pour calculer le milieu I d'un segment [AB] dans un repère :
- J'écris les coordonnées de A et de B.
- J'additionne les abscisses et je divise par 2 : c'est x_I.
- J'additionne les ordonnées et je divise par 2 : c'est y_I.
- J'écris I(x_I ; y_I) et je vérifie que le point est bien « entre » A et B sur la figure.
3Je retiens
Je retiens
Dans un repère, un point M a pour coordonnées (x ; y) : x est l'abscisse (lue en premier), y l'ordonnée.
Sur l'axe des abscisses : y = 0 ; sur l'axe des ordonnées : x = 0 ; l'origine est O(0 ; 0).
Symétrique de (x ; y) : par rapport à O, (−x ; −y) ; à l'axe des abscisses, (x ; −y) ; à l'axe des ordonnées, (−x ; y).
Milieu I de [AB] : x_I = (x_A + x_B)/2 et y_I = (y_A + y_B)/2.
Extrémité manquante : x_B = 2x_I − x_A et y_B = 2y_I − y_A.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si [AC] et [BD] ont le même milieu.
4Erreurs fréquentes
- Inverser abscisse et ordonnée : (3 ; 2) se place à 3 vers la droite et 2 vers le haut, pas l'inverse.
- Soustraire au lieu d'additionner dans la formule du milieu : on fait (x_A + x_B)/2, jamais (x_B − x_A)/2.
- Oublier les parenthèses avec les négatifs : (4 + (−2)) ÷ 2 = 1, et non (4 + 2) ÷ 2.
- Pour un parallélogramme ABCD, prendre le milieu de [AB] et de [CD] : ce sont les diagonales [AC] et [BD] qui comptent.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Sans placer les points, dis où se trouve chaque point (en haut à droite, en bas à gauche, sur un axe...).
A(4 ; -3), B(-1 ; -6), C(0 ; 5), D(-2,5 ; 1), E(7 ; 0).
Voir le corrigéCacher le corrigé
A(4 ; -3) : en bas à droite (x > 0, y < 0).
B(-1 ; -6) : en bas à gauche.
C(0 ; 5) : sur l'axe des ordonnées (abscisse nulle), au-dessus de O.
D(-2,5 ; 1) : en haut à gauche.
E(7 ; 0) : sur l'axe des abscisses (ordonnée nulle), à droite de O.
2Exercice 2
Donne les coordonnées des symétriques de P(-5 ; 2) par rapport à l'origine, à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Par rapport à O : (5 ; -2). Par rapport à l'axe des abscisses : (-5 ; -2). Par rapport à l'axe des ordonnées : (5 ; 2).
3Exercice 3
Calcule les coordonnées du milieu de chaque segment.
a) [AB] avec A(0 ; 6) et B(8 ; 2).
b) [CD] avec C(-7 ; 3) et D(1 ; -5).
c) [EF] avec E(-2,5 ; 4) et F(1,5 ; -1).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (0 + 82 ; 6 + 22) = (4 ; 4).
b) (-7 + 12 ; 3 + (-5)2) = (-62 ; -22) = (-3 ; -1).
c) (-2,5 + 1,52 ; 4 + (-1)2) = (-12 ; 32) = (-0,5 ; 1,5).
4Exercice 4
Trouve les coordonnées du point A', symétrique de A(2 ; -3) par rapport au point Ω(-1 ; 2).
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Ω est le milieu de [AA']. Donc xA' = 2 × (-1) - 2 = -4 et yA' = 2 × 2 - (-3) = 4 + 3 = 7. A'(-4 ; 7).
Vérification : 2 + (-4)2 = -1 et -3 + 72 = 2.
5Exercice 5
(Type examen) Dans un repère orthonormé, on donne A(-2 ; 1), B(4 ; 3), C(6 ; -1) et D(0 ; -3).
a) Place ces points.
b) Calcule les coordonnées du milieu K de [AC] et du milieu L de [BD].
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On place chaque point en lisant d'abord l'abscisse sur l'axe horizontal, puis l'ordonnée sur l'axe vertical.
b) K : (-2 + 62 ; 1 + (-1)2) = (2 ; 0).
L : (4 + 02 ; 3 + (-3)2) = (2 ; 0).
c) Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu, le point (2 ; 0). Or un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 9e
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