Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 28
Le triangle rectangle et son cercle circonscrit
Je sais que le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse, et je sais utiliser cette propriété et ses réciproques pour calculer une longueur ou démontrer qu'un triangle est rectangle.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Savoir que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse
- Savoir que la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse
- Démontrer qu'un triangle est rectangle quand il est inscrit dans un demi-cercle
- Démontrer qu'un triangle est rectangle à l'aide de la longueur d'une médiane
Avant de commencer : Les médiatrices et le cercle circonscrit d'un triangle, les médianes, le rectangle et ses diagonales, la somme des angles d'un triangle, le triangle isocèle (8e).
1Je découvre
Sékou est maçon à Labé. Pour tracer les fondations d'une maison, il doit obtenir des angles parfaitement droits, mais il a oublié sa grande équerre au chantier voisin.
Son vieux maître, Elhadj Alpha, lui montre une astuce. Il plante un piquet, y attache une corde et trace au sol un grand cercle. Il tend ensuite une deuxième corde qui passe par le piquet et coupe le cercle en deux points, B et C : c'est un diamètre. Enfin, il choisit un point A n'importe où sur le cercle et tend les cordes [AB] et [AC]. « Voilà ton angle droit, en A », dit-il.
Sékou vérifie avec une petite équerre : c'est juste. Il recommence avec un autre point A sur le cercle : l'angle est encore droit !
Pourquoi un triangle dont un côté est un diamètre du cercle et dont le troisième sommet est sur le cercle est-il toujours rectangle ? Et que sait-on, inversement, du cercle qui passe par les sommets d'un triangle rectangle ?
2Je comprends
1. Rappels
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est le plus long : c'est l'hypoténuse.
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Son centre est le point de concours des trois médiatrices du triangle (8e).
Une médiane d'un triangle est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
2. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse
Propriété 1. Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse. L'hypoténuse est donc un diamètre de ce cercle.
Pourquoi ? Soit ABC un triangle rectangle en A et O le milieu de [BC]. Construisons le point D, symétrique de A par rapport à O.
- Les diagonales [BC] et [AD] du quadrilatère ABDC ont le même milieu O : ABDC est un parallélogramme.
- Ce parallélogramme a un angle droit en A : c'est un rectangle.
- Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu. Donc OA = OB = OC (chacune vaut la moitié de la diagonale).
Le point O est à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit, et son rayon vaut BC2.
3. La médiane issue de l'angle droit
La propriété 1 se traduit aussi avec la médiane. Dans le triangle ABC rectangle en A, le segment [AO] joint le sommet A au milieu O du côté opposé : c'est la médiane issue de A. Comme OA = BC2 :
Propriété 2. Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
Exemple
ABC est rectangle en A, avec BC = 10 cm. M est le milieu de [BC].
D'après la propriété 1, le cercle circonscrit à ABC a pour centre M et pour rayon BC ÷ 2 = 5 cm.
D'après la propriété 2, la médiane [AM] mesure 5 cm.
On a donc MA = MB = MC = 5 cm.
4. La réciproque : le triangle inscrit dans un demi-cercle
C'est l'astuce d'Elhadj Alpha.
Propriété 3. Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est au sommet opposé au diamètre.
Pourquoi ? Soit un cercle de centre O, un diamètre [BC] et un point A du cercle (différent de B et C). On a OA = OB = OC (ce sont des rayons).
- Le triangle OAB est isocèle en O : ses angles à la base sont égaux, OBA = OAB. Notons x cette mesure.
- Le triangle OAC est isocèle en O : OCA = OAC. Notons y cette mesure.
- Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180° : x + (x + y) + y = 180°, soit 2x + 2y = 180°, donc x + y = 90°.
Or BAC = x + y = 90° : le triangle est rectangle en A.
Exemple
Un cercle de centre O a pour diamètre [EF]. G est un point du cercle, distinct de E et F. Quelle est la nature du triangle EFG ?
Le triangle EFG est inscrit dans le cercle, et son côté [EF] est un diamètre.
D'après la propriété 3, le triangle EFG est rectangle en G.
5. La réciproque avec la médiane
Propriété 4. Si, dans un triangle, la médiane issue d'un sommet mesure la moitié du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet.
En effet, si I est le milieu de [BC] et IA = BC2, alors IA = IB = IC : le point A est sur le cercle de diamètre [BC], et on applique la propriété 3.
Exemple
Dans le triangle RST, I est le milieu de [ST], ST = 9 cm et RI = 4,5 cm. Démontrer que RST est rectangle.
[RI] est la médiane issue de R, et RI = 4,5 cm = 9 ÷ 2 = ST ÷ 2.
La médiane issue de R mesure la moitié du côté opposé [ST].
D'après la propriété 4, le triangle RST est rectangle en R.
Méthode
Pour rédiger une démonstration avec ces propriétés :
- J'écris les données utiles (« ABC est rectangle en A », « [BC] est un diamètre », « I est le milieu de... »).
- Je cite la propriété exacte, en commençant par « Or, si ... alors ... » ou « D'après la propriété ... ».
- J'écris la conclusion en précisant le sommet de l'angle droit ou le centre du cercle.
- Pour un calcul de longueur, je n'oublie pas l'unité.
3Je retiens
Je retiens
Si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse (l'hypoténuse est un diamètre).
Si un triangle est rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.
Si, dans un triangle, une médiane mesure la moitié du côté qu'elle coupe en son milieu, alors le triangle est rectangle au sommet d'où elle part.
Rayon du cercle circonscrit à un triangle rectangle = hypoténuse ÷ 2.
4Erreurs fréquentes
- Placer l'angle droit au mauvais sommet : l'angle droit est au sommet qui n'est PAS une extrémité du diamètre.
- Oublier de vérifier que le côté est un diamètre : si [BC] est seulement une corde qui ne passe pas par le centre, le triangle n'est pas rectangle.
- Prendre la médiane d'un autre sommet : seule la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
- Confondre rayon et diamètre : si l'hypoténuse mesure 13 cm, le rayon du cercle circonscrit est 6,5 cm, pas 13 cm.
5Je m’exerce
1Exercice 1
ABC est un triangle rectangle en B avec AC = 13 cm. M est le milieu de [AC].
a) Où se trouve le centre du cercle circonscrit à ABC ? Quel est son rayon ?
b) Quelle est la longueur de la médiane [BM] ?
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a) ABC est rectangle en B, donc son hypoténuse est [AC]. Le centre du cercle circonscrit est le milieu M de [AC], et le rayon vaut 132 = 6,5 cm.
b) [BM] est la médiane issue de l'angle droit : elle mesure la moitié de l'hypoténuse, soit 6,5 cm.
2Exercice 2
Un cercle a pour centre O et pour rayon 4 cm. [MN] est un diamètre et P est un point du cercle, distinct de M et de N.
a) Quelle est la nature du triangle MNP ? Justifie.
b) Quelle est la mesure de l'angle MPN ? Quelle est la longueur de [MN] ?
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a) Le triangle MNP est inscrit dans le cercle et son côté [MN] est un diamètre. Donc MNP est rectangle en P.
b) MPN = 90°. Le diamètre mesure le double du rayon : MN = 2 × 4 = 8 cm.
3Exercice 3
Dans le triangle KLM, I est le milieu de [LM], LM = 12 cm et KI = 6 cm. Démontre que KLM est un triangle rectangle et précise en quel sommet.
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[KI] est la médiane issue de K dans le triangle KLM, et KI = 6 cm = 122 = LM2.
Or, si dans un triangle la médiane issue d'un sommet mesure la moitié du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Donc KLM est rectangle en K.
4Exercice 4
(Type examen) ABC est un triangle rectangle en A tel que ABC = 35°. M est le milieu de [BC].
a) Démontre que MA = MB = MC.
b) Déduis-en la nature des triangles AMB et AMC.
c) Calcule les angles BAM, AMB, AMC et MAC.
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a) ABC est rectangle en A et M est le milieu de l'hypoténuse [BC]. Donc M est le centre du cercle circonscrit à ABC, et MA = MB = MC.
b) MA = MB : le triangle AMB est isocèle en M. MA = MC : le triangle AMC est isocèle en M.
c) Dans le triangle isocèle AMB, les angles à la base sont égaux : BAM = ABM = 35°.
Donc AMB = 180° - 35° - 35° = 110°.
Les points B, M, C sont alignés : AMC = 180° - 110° = 70°.
Dans ABC : ACB = 180° - 90° - 35° = 55°. Le triangle AMC est isocèle en M, donc MAC = MCA = 55°.
Vérification : 55° + 55° + 70° = 180° et BAM + MAC = 35° + 55° = 90°.
5Exercice 5
(Problème) Hawa veut vérifier qu'un coin de sa case rectangulaire est bien droit. Elle mesure les deux côtés du coin, [CA] et [CB], puis la diagonale [AB] : AB = 5 m. Elle place le milieu I de [AB] et mesure CI = 2,5 m. Le coin est-il droit ? Justifie.
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Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB], donc [CI] est la médiane issue de C.
CI = 2,5 m = 52 = AB2.
La médiane issue de C mesure la moitié du côté opposé : le triangle ABC est rectangle en C. Le coin de la case est bien droit.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
