Karamö, le prof virtuelLeçon 21 sur 28
La racine carrée d'un nombre positif (notion)
Je sais ce qu'est la racine carrée d'un nombre positif, je connais les racines des carrés parfaits et je sais encadrer une racine carrée pour en donner une valeur approchée.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la définition de la racine carrée d'un nombre positif
- Connaître les carrés parfaits et leurs racines carrées
- Encadrer une racine carrée entre deux entiers ou deux décimaux et en donner une valeur approchée
- Résoudre une équation de la forme x² = a
Avant de commencer : Les puissances, en particulier les carrés (9e-maths-05), les nombres décimaux et les fractions, l'aire du carré.
1Je découvre
Kadiatou et son père veulent clôturer deux parcelles carrées près de Pita, dans le Fouta-Djallon, pour protéger leurs jeunes orangers. Le papier du géomètre donne seulement les aires : la première parcelle mesure 144 m², la seconde 50 m².
Pour la première, Kadiatou trouve vite : elle cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144. Comme 12 × 12 = 144, le côté mesure 12 m, et il faut 4 × 12 = 48 m de grillage.
Pour la seconde, c'est plus difficile. 7 × 7 = 49, c'est un peu moins que 50. 8 × 8 = 64, c'est beaucoup trop. Le côté est donc entre 7 m et 8 m, tout près de 7 m. Mais quel est ce nombre exactement ? Et avec quelle précision faut-il le connaître pour acheter le grillage ?
Quel est le nombre positif dont le carré vaut 50, comment le noter, et comment en trouver une bonne valeur approchée ?
2Je comprends
1. Carrés et carrés parfaits
Le carré d'un nombre a est a2 = a × a. Un carré n'est jamais négatif : 32 = 9 et (-3)2 = 9.
Les carrés des nombres entiers s'appellent des carrés parfaits. Il faut connaître les premiers par cœur :
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
2. Définition de la racine carrée
Définition. Soit a un nombre positif ou nul. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a. On la note √a.
Le symbole √ s'appelle le radical.
Autrement dit, pour a ≥ 0 : √a ≥ 0 et (√a)2 = a.
Exemple
Calculer √81, √0,25, √0 et √(4/9).
√81 = 9, car 9 est positif et 9² = 81.
√0,25 = 0,5, car 0,5 × 0,5 = 0,25.
√0 = 0, car 0² = 0.
√(4/9) = 2/3, car (2/3)² = 4/9.
Deux remarques importantes :
- La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas : aucun nombre n'a un carré négatif. √-9 n'a pas de sens.
- On a (-9)2 = 81, mais √81 = 9 et non -9 : par définition, la racine carrée est positive.
3. Le lien avec l'aire du carré
Si un carré a pour aire A, son côté mesure √A. C'est exactement la situation de Kadiatou : la seconde parcelle a pour côté √50 m.
4. Encadrer une racine carrée
Quand a n'est pas un carré parfait, √a n'est pas un nombre entier. On peut quand même l'encadrer. On utilise ce fait : entre deux nombres positifs, le plus grand a le plus grand carré (et inversement).
Exemple
Encadrer √50.
Entre deux entiers : 7² = 49 < 50 < 64 = 8², donc 7 < √50 < 8.
Au dixième : 7,0² = 49 et 7,1² = 50,41. Donc 7,0 < √50 < 7,1.
Au centième : 7,07² = 49,9849 et 7,08² = 50,1264. Donc 7,07 < √50 < 7,08.
√50 ≈ 7,07 à 0,01 près. Le côté de la parcelle mesure environ 7,07 m, et il faut environ 4 × 7,07 = 28,28 m de grillage (on en achète un peu plus, par exemple 29 m).
Exemple
Encadrer √30 et en donner l'arrondi au dixième.
5² = 25 < 30 < 36 = 6², donc 5 < √30 < 6.
5,4² = 29,16 et 5,5² = 30,25, donc 5,4 < √30 < 5,5.
Pour arrondir au dixième, on cherche le chiffre suivant : 5,47² = 29,9209 et 5,48² = 30,0304, donc 5,47 < √30 < 5,48.
Le chiffre des centièmes est 7 : l'arrondi au dixième est 5,5.
Avec une calculatrice, on utilise la touche √ : elle donne √50 ≈ 7,071 067 8. Ce nombre a une infinité de chiffres après la virgule, sans répétition : on ne peut jamais l'écrire exactement sous forme décimale. C'est pourquoi on garde souvent l'écriture exacte √50.
Une valeur à connaître : √2 ≈ 1,414.
- 1Je cherche les deux carrés parfaits qui entourent a : n² < a < (n + 1)².
- 2J'en déduis l'encadrement entre deux entiers : n < √a < n + 1.
- 3J'essaie les dixièmes n,1 ; n,2 ; ... en calculant leurs carrés, jusqu'à dépasser a.
- 4Je recommence avec les centièmes si je veux plus de précision.
- 5J'écris l'encadrement final et la valeur approchée demandée.
5. Les équations x² = a
Chercher les nombres dont le carré vaut a, c'est résoudre l'équation x2 = a.
- Si a > 0 : il y a deux solutions, √a et -√a, car (√a)2 = a et (-√a)2 = a.
- Si a = 0 : une seule solution, 0.
- Si a < 0 : aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.
Exemple
Résoudre x² = 49, x² = 13 et x² = −4.
x² = 49 : x = 7 ou x = −7.
x² = 13 : x = √13 ou x = −√13 (13 n'est pas un carré parfait, on garde l'écriture exacte).
x² = −4 : aucune solution.
Dans un problème de longueur, on ne garde que la solution positive : le côté de la parcelle est √50 m, pas -√50 m.
6. Une règle qui n'existe pas
La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées :
√9 + 16 = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Les règles de calcul sur les racines carrées (produits, quotients, simplifications) seront étudiées en 10e. Cette année, tu utiliseras surtout la racine carrée pour calculer des longueurs avec le théorème de Pythagore.
3Je retiens
Je retiens
Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré est a : √a ≥ 0 et (√a)² = a.
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
Carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.
Un carré d'aire A a pour côté √A.
Encadrer √a : on cherche n tel que n² < a < (n + 1)², puis on affine avec les dixièmes et les centièmes.
x² = a : deux solutions √a et −√a si a > 0 ; 0 si a = 0 ; aucune si a < 0.
√(a + b) n'est pas égal à √a + √b.
4Erreurs fréquentes
- Écrire √81 = −9 ou √81 = ±9 : la racine carrée est toujours positive, √81 = 9.
- Diviser par 2 au lieu de chercher la racine : √36 = 6, pas 18.
- Écrire √(9 + 16) = √9 + √16 = 7 : c'est faux, √25 = 5.
- Oublier la solution négative de x² = 49 : il y a deux solutions, 7 et −7 (sauf dans un problème de longueur).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule sans calculatrice.
a) √64 ; b) √121 ; c) √1 ; d) √0,09 ; e) √400 ; f) √116.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) √64 = 8 ; b) √121 = 11 ; c) √1 = 1 ; d) √0,09 = 0,3 car 0,32 = 0,09 ; e) √400 = 20 car 202 = 400 ; f) √116 = 14 car (14)2 = 116.
2Exercice 2
Encadre chaque racine carrée entre deux entiers consécutifs.
a) √20 ; b) √90 ; c) √3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 16 < 20 < 25, donc 4 < √20 < 5.
b) 81 < 90 < 100, donc 9 < √90 < 10.
c) 1 < 3 < 4, donc 1 < √3 < 2.
3Exercice 3
Résous les équations.
a) x2 = 36 ; b) x2 = 7 ; c) x2 + 5 = 5 ; d) x2 = -25.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x = 6 ou x = -6.
b) x = √7 ou x = -√7.
c) x2 = 5 - 5 = 0, donc x = 0 (une seule solution).
d) Un carré n'est jamais négatif : aucune solution.
4Exercice 4
Vrai ou faux ? Justifie.
a) √16 + 9 = √16 + √9. b) (√5)2 = 5. c) √-4 = -2. d) √32 = 3.
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a) Faux : √16 + 9 = √25 = 5, alors que √16 + √9 = 4 + 3 = 7.
b) Vrai : par définition, le carré de √5 est 5.
c) Faux : la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas (et une racine carrée n'est jamais négative).
d) Vrai : √32 = √9 = 3.
5Exercice 5
(Type examen) Un champ carré de Mariama, près de Mamou, a une aire de 200 m².
a) Écris la valeur exacte de son côté.
b) Encadre ce côté entre deux entiers, puis donne une valeur approchée au centième.
c) Mariama veut entourer le champ d'une clôture. Calcule une valeur approchée du périmètre au dixième de mètre.
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a) Le côté mesure √200 m.
b) 142 = 196 < 200 < 225 = 152, donc 14 < √200 < 15.
Au dixième : 14,12 = 198,81 et 14,22 = 201,64, donc 14,1 < √200 < 14,2.
Au centième : 14,142 = 199,939 6 et 14,152 = 200,222 5, donc 14,14 < √200 < 14,15.
√200 ≈ 14,14 m.
c) Périmètre = 4√200. Comme 14,14 < √200 < 14,15, on a 56,56 < 4√200 < 56,6. La calculatrice donne 4√200 ≈ 56,57. Le périmètre vaut environ 56,6 m.
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6Je vérifie
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