Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 22
Échelle et perspective
Je sais utiliser une échelle pour représenter le Soleil, la Terre et la Lune, et expliquer pourquoi un objet éloigné paraît plus petit.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et utiliser l'échelle d'une représentation
- Construire un modèle réduit du système Soleil-Terre-Lune
- Expliquer, avec la propagation rectiligne, pourquoi la taille apparente d'un objet dépend de sa distance
- Expliquer pourquoi la Lune peut cacher exactement le Soleil
Avant de commencer : La propagation rectiligne de la lumière ; les éclipses ; la proportionnalité et le théorème de Thalès ; les puissances de 10.
1Je découvre
Dans les leçons sur les éclipses et les phases de la Lune, tous les schémas portaient la mention « tailles et distances non respectées ». Sékou, élève de 9e à Nzérékoré, se demande pourquoi. Son professeur lui répond : « Si l'on dessinait la Terre de la taille d'une bille, le Soleil devrait être une grosse boule placée à plus de cent mètres de ton cahier ! »
Le soir, sur la route, Sékou observe autre chose : un poteau électrique tout proche paraît immense, alors que les poteaux lointains, pourtant identiques, paraissent minuscules. Et en fermant un œil, il arrive à cacher un camion lointain derrière son simple pouce.
Enfin, il se rappelle que pendant une éclipse totale, la petite Lune cache exactement l'immense Soleil.
Comment représenter correctement des objets immenses sur une feuille, et pourquoi la taille qu'un objet semble avoir dépend-elle de sa distance ?
2Je comprends
1. L'échelle d'une représentation
Pour représenter un objet trop grand (un terrain, un pays, le système solaire) ou trop petit (une cellule), on le dessine à l'échelle : toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre.
L'échelle d'une représentation est le rapport :
échelle = longueur sur le dessinlongueur réelle, les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.
Par exemple, sur une carte de la Guinée à l'échelle 12 000 000, 1 cm sur la carte représente 2 000 000 cm = 20 km dans la réalité.
On peut aussi écrire l'échelle sous forme d'une correspondance : « 1 cm représente 10 000 km ». C'est plus pratique pour les très grandes distances.
Deux formules à connaître (unités identiques) :
- longueur sur le dessin = longueur réelle × échelle ;
- longueur réelle = longueur sur le dessin ÷ échelle.
Méthode
Pour réaliser un dessin ou un modèle à l'échelle :
- Je choisis une correspondance simple, adaptée à la taille de ma feuille (par exemple 1 cm pour 10 000 km).
- Je divise chaque longueur réelle par la longueur représentée par 1 cm.
- Je vérifie que toutes les longueurs obtenues tiennent sur la feuille ; sinon, je change d'échelle.
- J'écris l'échelle sur le dessin.
2. Le système Soleil-Terre-Lune à l'échelle
Voici des valeurs moyennes, arrondies :
| Grandeur | Valeur réelle approchée |
|---|---|
| Diamètre de la Terre | 12 700 km |
| Diamètre de la Lune | 3 500 km |
| Diamètre du Soleil | 1 390 000 km |
| Distance Terre-Lune | 384 000 km |
| Distance Terre-Soleil | 150 000 000 km |
Exemple
On représente la Terre par une bille de 1 cm de diamètre. Calculer les autres dimensions du modèle.
Correspondance : 1 cm représente 12 700 km.
Lune : 3 500 / 12 700 ≈ 0,28 cm, soit environ 3 mm (un grain de riz).
Distance Terre-Lune : 384 000 / 12 700 ≈ 30 cm.
Soleil : 1 390 000 / 12 700 ≈ 109 cm, soit une boule d'environ 1,10 m de diamètre.
Distance Terre-Soleil : 150 000 000 / 12 700 ≈ 11 800 cm, soit environ 118 m.
Conclusion : si la Terre est une bille posée sur ton bureau, le Soleil est une boule plus haute qu'un enfant, placée au bout d'un terrain de football, à plus de 100 m.
C'est pour cela qu'on ne peut pas respecter à la fois les tailles et les distances sur une page de cahier : avec des distances à l'échelle, la Terre et la Lune deviendraient des points invisibles. Les schémas d'éclipses exagèrent les tailles et raccourcissent les distances pour rester lisibles.
3. La perspective : pourquoi un objet lointain paraît petit
La lumière se propage en ligne droite. Les rayons qui partent du haut et du bas d'un objet et arrivent dans l'œil forment un angle, appelé angle de vision (ou diamètre apparent). Plus cet angle est grand, plus l'objet paraît grand.
- Un même objet paraît d'autant plus petit qu'il est plus loin.
- Deux objets différents paraissent de la même taille s'ils sont vus sous le même angle, c'est-à-dire si leur rapport taille / distance est le même.
Si l'objet 1 (taille h1, distance d1) cache exactement l'objet 2 (taille h2, distance d2), alors les rayons limites passent par les bords des deux objets et, d'après Thalès :
h1d1 = h2d2.
C'est ce qui permet au pouce de Sékou de cacher un camion lointain : le pouce est petit mais très proche.
C'est aussi la base de la perspective en dessin : pour donner l'impression de profondeur, on dessine les objets éloignés plus petits, et les lignes parallèles qui s'éloignent (les bords d'une route droite, les rails d'une voie ferrée) semblent se rejoindre en un point à l'horizon, appelé point de fuite.
4. Pourquoi la Lune cache exactement le Soleil
Calculons le rapport taille / distance pour chaque astre :
- Soleil : 1 390 000150 000 000 ≈ 0,0093 ;
- Lune : 3 500384 000 ≈ 0,0091.
Les deux rapports sont presque égaux : vus de la Terre, le Soleil et la Lune ont presque le même diamètre apparent. Le Soleil est environ 400 fois plus large que la Lune, mais aussi environ 400 fois plus loin. Voilà pourquoi la Lune peut juste couvrir le Soleil lors d'une éclipse totale. Quand la Lune est un peu plus loin que d'habitude, son diamètre apparent devient légèrement plus petit que celui du Soleil : c'est l'éclipse annulaire.
Exemple
Kadiatou tient une règle verticale à 50 cm de son œil. Elle constate qu'une hauteur de 10 cm sur la règle cache exactement un poteau situé à 40 m. Quelle est la hauteur du poteau ?
Même angle de vision : h1 / d1 = h2 / d2.
h1 = 10 cm = 0,10 m ; d1 = 50 cm = 0,50 m ; d2 = 40 m.
h2 = h1 × d2 / d1 = 0,10 × 40 / 0,50 = 4 / 0,50 = 8 m.
Le poteau mesure 8 m de haut.
3Je retiens
Je retiens
Échelle = longueur sur le dessin / longueur réelle (même unité).
Longueur sur le dessin = longueur réelle × échelle ; longueur réelle = longueur sur le dessin ÷ échelle.
Le système Soleil-Terre-Lune ne peut pas être dessiné en respectant à la fois tailles et distances : le Soleil est à environ 150 millions de km et 109 fois plus large que la Terre.
Un objet paraît d'autant plus petit qu'il est loin : c'est l'angle de vision qui compte.
Deux objets ont la même taille apparente si h1 / d1 = h2 / d2.
Le Soleil est environ 400 fois plus large que la Lune et environ 400 fois plus loin : ils ont presque la même taille apparente.
4Erreurs fréquentes
- Calculer une échelle avec des unités différentes : 1 cm pour 20 km donne l'échelle 1/2 000 000, pas 1/20.
- Croire que les schémas d'éclipses sont à l'échelle : ils exagèrent toujours les tailles des astres.
- Confondre taille réelle et taille apparente : le Soleil et la Lune paraissent aussi grands, mais le Soleil est environ 400 fois plus large.
- Oublier de convertir les distances dans la même unité avant d'écrire h1 / d1 = h2 / d2.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une carte de la région de Boké est à l'échelle 1500 000.
a) Que représente 1 cm sur la carte, en km ?
b) Deux villages sont distants de 7 cm sur la carte. Quelle est la distance réelle ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 1 cm sur la carte représente 500 000 cm = 5 000 m = 5 km.
b) Distance réelle : 7 × 5 = 35 km.
2Exercice 2
On veut dessiner la Terre et la Lune à l'échelle « 1 cm représente 20 000 km ».
a) Calcule le diamètre de la Terre et celui de la Lune sur le dessin (prends 12 700 km et 3 500 km).
b) Calcule la distance Terre-Lune sur le dessin (384 000 km).
c) Ce dessin tient-il sur une page de cahier ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Terre : 12 700 / 20 000 = 0,635 cm, soit environ 6 mm. Lune : 3 500 / 20 000 = 0,175 cm, soit environ 2 mm.
b) Distance Terre-Lune : 384 000 / 20 000 = 19,2 cm.
c) Oui : 19,2 cm tient sur la largeur ou la longueur d'une page de cahier. En revanche, le Soleil serait à 150 000 000 / 20 000 = 7 500 cm, soit 75 m : impossible sur la page.
3Exercice 3
Réponds par vrai ou faux et justifie.
a) Deux poteaux identiques paraissent de la même taille, quelles que soient leurs distances.
b) Un objet petit mais proche peut cacher un objet très grand mais lointain.
c) Le Soleil paraît aussi grand que la Lune parce qu'il a la même taille qu'elle.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Faux : le plus éloigné est vu sous un angle plus petit, il paraît plus petit.
b) Vrai : il suffit que le rapport taille / distance soit le même (exemple du pouce qui cache un camion).
c) Faux : le Soleil est environ 400 fois plus large que la Lune, mais aussi environ 400 fois plus loin ; seule leur taille apparente est la même.
4Exercice 4
Un élève fixe une pièce de monnaie de 2 cm de diamètre sur un piquet, à 2 m de son œil. Elle cache exactement un château d'eau situé à 1 km. Calcule la hauteur réelle du château d'eau.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Même angle de vision : h1d1 = h2d2.
h1 = 2 cm = 0,02 m ; d1 = 2 m ; d2 = 1 km = 1 000 m.
h2 = h1 × d2d1 = 0,02 × 1 0002 = 0,02 × 500 = 10 m. Le château d'eau mesure 10 m de haut.
5Exercice 5
(Type examen) On donne : diamètre du Soleil DS = 1,39 × 106 km ; distance Terre-Soleil dS = 1,5 × 108 km ; diamètre de la Lune DL = 3,5 × 103 km.
a) Calcule le rapport DSdS.
b) À quelle distance dL de la Terre la Lune devrait-elle se trouver pour avoir exactement la même taille apparente que le Soleil ?
c) La distance réelle Terre-Lune varie entre environ 363 000 km et 405 000 km. Explique pourquoi on observe tantôt des éclipses totales, tantôt des éclipses annulaires.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) DSdS = 1,39 × 1061,5 × 108 ≈ 0,927 × 10-2 ≈ 9,3 × 10-3.
b) On veut DLdL = DSdS, donc dL = DL × dSDS = 3,5 × 103 × 1,5 × 1081,39 × 106.
1,5 × 1081,39 × 106 ≈ 107,9, donc dL ≈ 3 500 × 107,9 ≈ 377 700 km, soit environ 378 000 km.
c) Quand la Lune est plus proche que cette distance (par exemple vers 363 000 km), elle paraît un peu plus grande que le Soleil et peut le cacher entièrement : éclipse totale possible. Quand elle est plus loin (vers 405 000 km), elle paraît un peu plus petite que le Soleil et laisse voir un anneau lumineux : éclipse annulaire.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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