Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 41
Les limites
Je sais calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini, lever les formes indéterminées courantes et en déduire les asymptotes de sa courbe.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les limites des fonctions de référence et les règles d'opérations sur les limites
- Reconnaître et lever les formes indéterminées (polynômes, fractions rationnelles, racines)
- Utiliser les théorèmes de comparaison et la limite de référence de sin x / x
- Interpréter une limite par une asymptote horizontale, verticale ou oblique
Avant de commencer : Fonctions de référence (x², 1/x, √x, sin, cos) vues en Seconde et en Première ; factorisation et quantité conjuguée ; notion intuitive de limite vue en Première.
1Je découvre
Mariama vend de l'eau fraîche en sachets au marché Madina. Elle calcule le prix de revient moyen d'un sachet : elle a payé un congélateur d'occasion et d'autres frais fixes, puis chaque sachet lui coûte un peu d'eau et de plastique. Si elle produit x sachets, le coût moyen d'un sachet s'écrit sous la forme C(x) = a + bx, où a est le coût de fabrication d'un sachet et b le total des frais fixes.
Plus elle produit, plus les frais fixes sont partagés entre de nombreux sachets. Le terme bx devient minuscule, et le coût moyen se rapproche de a sans jamais l'atteindre. Son frère Ibrahima, en Terminale SE, lui dit : « En mathématiques, on dit que la limite de C(x) quand x tend vers +∞ est a. »
Mais que se passe-t-il pour des fonctions plus compliquées, par exemple quand le numérateur et le dénominateur deviennent tous les deux très grands ? Et que veut dire exactement « se rapprocher » ?
Comment calculer rigoureusement la limite d'une fonction, et que nous apprend-elle sur l'allure de sa courbe ?
2Je comprends
1. Les différents types de limites
On étudie le comportement de f(x) quand x se rapproche d'une valeur a (un nombre réel, ou +∞, ou -∞).
- Limite finie en l'infini. limx → +∞ f(x) = ell signifie que f(x) devient aussi proche de ell qu'on veut, dès que x est assez grand. La droite d'équation y = ell est alors asymptote horizontale à la courbe mathcalCf en +∞.
- Limite infinie en l'infini. limx → +∞ f(x) = +∞ signifie que f(x) dépasse n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, dès que x est assez grand.
- Limite infinie en un réel a. limx → a f(x) = +∞ (ou -∞) : la droite d'équation x = a est asymptote verticale à mathcalCf.
- Limite finie en un réel a. limx → a f(x) = ell. Si f est définie et continue en a, alors ell = f(a) : on remplace simplement x par a.
On parle aussi de limite à droite (x → a^+, avec x > a) et de limite à gauche (x → a^-, avec x < a). Elles peuvent être différentes, surtout quand le dénominateur s'annule en a.
2. Les limites de référence
| Fonction | en +∞ | en -∞ | en 0 |
|---|---|---|---|
| xn (n ≥ 1) | +∞ | +∞ si n pair, -∞ si n impair | 0 |
| 1x | 0 | 0 | +∞ en 0^+, -∞ en 0^- |
| 1x2 | 0 | 0 | +∞ |
| √x | +∞ | non définie | 0 |
Les fonctions sin et cos n'ont pas de limite en +∞ : elles oscillent entre -1 et 1.
3. Opérations sur les limites
On connaît les limites de f et de g ; on veut celle de f + g, f × g ou fg. Les règles sont intuitives, sauf quatre cas appelés formes indéterminées (FI), où l'on ne peut pas conclure directement :
∞ - ∞ 0 × ∞ ∞∞ 00
Quelques règles à connaître :
- somme : ell + (+∞) = +∞ ; (+∞) + (+∞) = +∞ ; mais (+∞) + (-∞) est une FI ;
- produit : ell × (+∞) = +∞ si ell > 0, -∞ si ell < 0 ; 0 × ∞ est une FI ;
- quotient : ell ± ∞ = 0 ; ell0 avec ell ≠ 0 donne un infini dont le signe dépend du signe de ell et du signe du dénominateur (d'où l'étude de 0^+ et 0^-).
Limite d'une composée. Si limx → a u(x) = b et limX → b g(X) = c, alors limx → a g(u(x)) = c. Par exemple, limx → +∞ √4 + 1x = √4 = 2.
4. Lever une forme indéterminée
Polynômes et fractions rationnelles en l'infini. En +∞ ou -∞ :
- un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
- une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Cette règle se démontre en factorisant par le terme de plus haut degré. Attention : elle ne vaut qu'en l'infini, jamais en un réel a.
En un réel, la forme 00. On factorise le numérateur et le dénominateur par (x - a), puis on simplifie.
Avec des racines carrées. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée : √A - B a pour conjuguée √A + B, car (√A - B)(√A + B) = A - B2.
Méthode
Pour calculer une limite :
- Je remplace x par la valeur visée et j'applique les règles d'opérations.
- Si j'obtiens une forme déterminée, je conclus (attention au signe de 0 au dénominateur).
- Si j'obtiens une forme indéterminée, je transforme l'écriture : terme de plus haut degré (en l'infini), factorisation par (x − a) (forme 0/0 en a), quantité conjuguée (racines).
- Je recalcule la limite sur la nouvelle écriture et je conclus.
- J'interprète graphiquement si on le demande (asymptote).
Exemple
Calculer la limite en +∞ de f(x) = (2x³ − 5x + 1)/(x³ + 4).
Le numérateur et le dénominateur tendent vers +∞ : forme ∞/∞.
En l'infini, une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré :
lim f(x) = lim 2x³/x³ = 2.
Donc la droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe en +∞.
Exemple
Calculer la limite en 1 de g(x) = (x² − 1)/(x − 1).
En remplaçant x par 1 : 0/0, forme indéterminée.
On factorise : x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Pour x ≠ 1, g(x) = x + 1.
Donc lim g(x) quand x tend vers 1 vaut 1 + 1 = 2.
Exemple
Calculer la limite en +∞ de h(x) = √(x² + 1) − x.
√(x² + 1) tend vers +∞ et x aussi : forme ∞ − ∞.
On multiplie par la quantité conjuguée :
h(x) = [(x² + 1) − x²] / [√(x² + 1) + x] = 1 / [√(x² + 1) + x].
Le dénominateur tend vers +∞, donc lim h(x) = 0.
Exemple
Étudier la limite de k(x) = (x + 1)/(x − 2) quand x tend vers 2.
Le numérateur tend vers 3, le dénominateur vers 0 : il faut étudier le signe de x − 2.
Si x → 2⁺, x − 2 > 0, donc k(x) → +∞.
Si x → 2⁻, x − 2 < 0, donc k(x) → −∞.
La droite d'équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe.
5. Théorèmes de comparaison
Quand une fonction contient sin ou cos, les règles d'opérations ne suffisent pas. On encadre.
- Théorème des gendarmes. Si, pour x assez grand, u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si u et v ont la même limite ell en +∞, alors limx → +∞ f(x) = ell.
- Comparaison. Si f(x) ≥ u(x) pour x assez grand et limx → +∞ u(x) = +∞, alors limx → +∞ f(x) = +∞.
Ces théorèmes restent vrais en -∞ et en un réel a.
Exemple
Calculer la limite en +∞ de f(x) = (sin x)/x.
Pour tout x > 0 : −1 ≤ sin x ≤ 1, donc −1/x ≤ (sin x)/x ≤ 1/x.
Or −1/x et 1/x tendent vers 0 en +∞.
D'après le théorème des gendarmes, lim (sin x)/x = 0 en +∞.
Une limite de référence en 0. On admet (ou on démontre avec le nombre dérivé de sin en 0) que :
limx → 0 sin xx = 1.
Par exemple, sin(3x)x = 3 × sin(3x)3x ; en posant X = 3x, qui tend vers 0, on obtient limx → 0 sin(3x)x = 3 × 1 = 3.
6. Asymptote oblique
La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à mathcalCf en +∞ si limx → +∞ [f(x) - (ax + b)] = 0. Le signe de f(x) - (ax + b) donne la position de la courbe par rapport à la droite : au-dessus si ce signe est positif, en dessous s'il est négatif.
Exemple
Soit f(x) = (x² + x + 1)/(x − 1), pour x ≠ 1.
On vérifie que f(x) = x + 2 + 3/(x − 1) :
(x + 2)(x − 1) + 3 = x² + x − 2 + 3 = x² + x + 1. C'est juste.
Donc f(x) − (x + 2) = 3/(x − 1), qui tend vers 0 en +∞ et en −∞.
La droite D : y = x + 2 est asymptote oblique à la courbe en +∞ et en −∞.
Position : si x > 1, 3/(x − 1) > 0, la courbe est au-dessus de D ; si x < 1, elle est en dessous.
3Je retiens
Je retiens
Formes indéterminées : ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞/∞ ; 0/0. Il faut transformer l'écriture pour conclure.
En ±∞, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle, celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
Forme 0/0 en a : factoriser par (x − a). Racines : quantité conjuguée.
ℓ/0 (ℓ ≠ 0) : limite infinie, signe donné par l'étude de 0⁺ ou 0⁻.
Gendarmes : u ≤ f ≤ v et lim u = lim v = ℓ entraînent lim f = ℓ. Référence : sin x / x tend vers 1 en 0.
lim f = ℓ en ±∞ : asymptote horizontale y = ℓ ; lim f = ±∞ en a : asymptote verticale x = a.
lim [f(x) − (ax + b)] = 0 en ±∞ : asymptote oblique y = ax + b.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser la règle du terme de plus haut degré en un réel : elle ne vaut qu'en +∞ ou −∞. En 1, on factorise.
- Écrire « ℓ/0 = ∞ » sans signe : il faut étudier le signe du dénominateur à gauche et à droite.
- Conclure « ∞ − ∞ = 0 » ou « ∞/∞ = 1 » : ce sont des formes indéterminées, on ne peut rien dire sans transformer.
- Affirmer que sin x tend vers une valeur en +∞ : sin n'a pas de limite en l'infini ; on encadre.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule les limites suivantes.
a) limx → -∞ (3x4 - 2x3 + 7)
b) limx → +∞ 4x2 - 12x2 + x
c) limx → -∞ 5x + 2x2 + 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré : limx → -∞ 3x4 = +∞ (puissance paire). Donc la limite est +∞.
b) limx → +∞ 4x22x2 = 2. La limite est 2.
c) limx → -∞ 5xx2 = limx → -∞ 5x = 0. La limite est 0.
2Exercice 2
Calcule limx → 3 x2 - 9x2 - 3x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
En 3 : 00, forme indéterminée. On factorise : x2 - 9 = (x - 3)(x + 3) et x2 - 3x = x(x - 3). Pour x ≠ 3 et x ≠ 0 : x2 - 9x2 - 3x = x + 3x. Donc la limite vaut 3 + 33 = 2.
3Exercice 3
Soit f(x) = 2x - 1x + 3.
a) Donne l'ensemble de définition de f.
b) Calcule les limites de f en -3^- et en -3^+, puis en +∞.
c) Interprète graphiquement ces résultats.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ -3 : Df = ℝ setminus {-3} = ]-∞ ; -3[ ∪ ]-3 ; +∞[.
b) En -3, le numérateur tend vers 2 × (-3) - 1 = -7 et le dénominateur vers 0.
- Si x → -3^- : x + 3 < 0, donc -70^- = +∞.
- Si x → -3^+ : x + 3 > 0, donc -70^+ = -∞.
- En +∞ : lim 2xx = 2.
c) La droite x = -3 est asymptote verticale à la courbe ; la droite y = 2 est asymptote horizontale en +∞ (et aussi en -∞, par le même calcul).
4Exercice 4
Calcule limx → +∞ (√x + 4 - √x).
Voir le corrigéCacher le corrigé
Forme ∞ - ∞. On multiplie par la quantité conjuguée :
√x + 4 - √x = (x + 4) - x√x + 4 + √x = 4√x + 4 + √x.
Le dénominateur tend vers +∞, donc la limite est 0.
5Exercice 5
Calcule limx → +∞ x + cos xx en encadrant cos x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour tout x > 0 : -1 ≤ cos x ≤ 1, donc x - 1 ≤ x + cos x ≤ x + 1, et en divisant par x > 0 :
1 - 1x ≤ x + cos xx ≤ 1 + 1x.
Les deux fonctions qui encadrent tendent vers 1 en +∞. D'après le théorème des gendarmes, la limite est 1.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit f la fonction définie sur ℝ setminus {2} par f(x) = x2 - 3x + 4x - 2, et mathcalC sa courbe.
a) Calcule les limites de f en -∞, en +∞, en 2^- et en 2^+.
b) Détermine les réels a, b, c tels que f(x) = ax + b + cx - 2.
c) Montre que la droite D : y = x - 1 est asymptote oblique à mathcalC et étudie leur position relative.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En ± ∞ : f a la limite de x2x = x, donc limx → -∞ f(x) = -∞ et limx → +∞ f(x) = +∞.
En 2 : le numérateur tend vers 4 - 6 + 4 = 2 > 0 et le dénominateur vers 0. Si x → 2^-, x - 2 < 0 : f(x) → -∞. Si x → 2^+ : f(x) → +∞. La droite x = 2 est asymptote verticale.
b) ax + b + cx - 2 = (ax + b)(x - 2) + cx - 2 = ax2 + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2.
Par identification avec x2 - 3x + 4 : a = 1 ; b - 2a = -3 donc b = -1 ; c - 2b = 4 donc c = 2.
Ainsi f(x) = x - 1 + 2x - 2.
Vérification : (x - 1)(x - 2) + 2 = x2 - 3x + 2 + 2 = x2 - 3x + 4. Juste.
c) f(x) - (x - 1) = 2x - 2, qui tend vers 0 en +∞ et en -∞. Donc D est asymptote oblique à mathcalC en +∞ et en -∞.
Position : si x > 2, 2x - 2 > 0 : mathcalC est au-dessus de D ; si x < 2, mathcalC est en dessous de D.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
