Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 41
Dérivée d'une fonction
Je sais calculer le nombre dérivé et la fonction dérivée d'une fonction, y compris d'une fonction composée, et écrire l'équation d'une tangente.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement et étudier la dérivabilité en un point
- Écrire l'équation de la tangente et utiliser l'approximation affine
- Calculer les dérivées avec les formules usuelles et les règles d'opérations
- Dériver une fonction composée, notamment u^n, √u, sin(ax + b) et cos(ax + b)
Avant de commencer : Les limites (leçon précédente), en particulier les formes indéterminées 0/0 ; dérivées des fonctions usuelles vues en Première ; équation réduite d'une droite.
1Je découvre
Alpha roule en moto de Mamou vers Labé. Au bout d'une heure, il a parcouru 60 km : sa vitesse moyenne est de 60 km/h. Mais le compteur de sa moto, lui, indique à chaque instant une vitesse différente : 30 km/h dans les virages de la montée, 80 km/h en ligne droite. C'est la vitesse instantanée.
Comment le compteur « calcule »-t-il cette vitesse ? L'idée est de mesurer la distance parcourue pendant un temps très court, par exemple une seconde, puis un dixième de seconde, puis un centième… et de diviser par ce temps. Plus l'intervalle est court, plus on se rapproche de la vitesse exacte à l'instant choisi.
En mathématiques, ce « rapport sur un intervalle de plus en plus petit » s'appelle le taux d'accroissement, et sa limite s'appelle le nombre dérivé. En Première, tu as appris des formules de dérivation. Cette année, tu vas les compléter, surtout pour les fonctions composées qui apparaissent dans tous les sujets du BAC.
Comment définir et calculer la dérivée d'une fonction, et à quoi sert-elle ?
2Je comprends
1. Nombre dérivé en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Pour h ≠ 0 tel que a + h ∈ I, le taux d'accroissement de f entre a et a + h est :
tau(h) = f(a + h) - f(a)h.
Définition. f est dérivable en a si tau(h) admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) :
f'(a) = limh → 0 f(a + h) - f(a)h.
Géométriquement, tau(h) est le coefficient directeur de la sécante qui passe par les points d'abscisses a et a + h. Quand h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à la courbe au point A(a ; f(a)).
Exemple
Montrer que f(x) = x² est dérivable en 3 et calculer f'(3).
τ(h) = [(3 + h)² − 9]/h = (9 + 6h + h² − 9)/h = (6h + h²)/h = 6 + h.
Quand h tend vers 0, τ(h) tend vers 6, qui est un nombre fini.
Donc f est dérivable en 3 et f'(3) = 6.
2. Tangente et approximation affine
Si f est dérivable en a, la tangente à mathcalCf au point d'abscisse a est la droite qui passe par A(a ; f(a)) et qui a pour coefficient directeur f'(a). Son équation est :
y = f'(a)(x - a) + f(a).
Pour h proche de 0, la courbe est très proche de sa tangente, d'où l'approximation affine :
f(a + h) ≈ f(a) + f'(a) h.
3. Dérivabilité et continuité
Propriété. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse.
On peut aussi étudier une dérivabilité à droite (h → 0^+) ou à gauche (h → 0^-). Si ces deux limites sont finies mais différentes, la courbe présente un point anguleux (deux demi-tangentes). Si le taux d'accroissement tend vers ± ∞, la fonction n'est pas dérivable et la courbe a une demi-tangente verticale.
Exemple
La fonction racine carrée est-elle dérivable en 0 ?
Pour h > 0 : τ(h) = (√h − √0)/h = √h/h = 1/√h.
Quand h tend vers 0⁺, 1/√h tend vers +∞ : ce n'est pas une limite finie.
La fonction √ n'est donc pas dérivable en 0 (elle y est pourtant continue).
Sa courbe admet au point O une demi-tangente verticale.
4. Les dérivées usuelles
| f(x) | f'(x) | Dérivable sur |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| xn (n entier, n ≥ 1) | nxn-1 | ℝ |
| 1x | -1x2 | ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| 1xn | -nxn+1 | ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| √x | 12√x | ]0 ; +∞[ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | -sin x | ℝ |
5. Opérations sur les dérivées
Soient u et v dérivables sur I, et k un réel.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| u + v | u' + v' |
| ku | ku' |
| uv | u'v + uv' |
| 1v (v ≠ 0) | -v'v2 |
| uv (v ≠ 0) | u'v - uv'v2 |
6. Dérivée d'une fonction composée
Théorème. Si u est dérivable sur I et g dérivable sur un intervalle contenant u(I), alors g ° u est dérivable sur I et :
(g ° u)' = u' × (g' ° u), c'est-à-dire [g(u(x))]' = u'(x) g'(u(x)).
On en déduit les formules les plus utilisées :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| un (n entier ≥ 1) | n u' un-1 | |
| 1un | -n u'un+1 | u ≠ 0 |
| √u | u'2√u | u > 0 |
| sin(ax + b) | acos(ax + b) | |
| cos(ax + b) | -asin(ax + b) | |
| f(ax + b) | a f'(ax + b) |
Méthode
Pour dériver une fonction :
- Je repère sa forme générale : somme, produit, quotient, puissance, racine ou composée.
- J'écris l'ensemble sur lequel elle est dérivable (dénominateur non nul, expression sous la racine strictement positive).
- J'identifie u et v (ou la fonction « intérieure » u) et je calcule u' et v' à part.
- J'applique la formule, puis je simplifie ; je factorise le numérateur si je dois étudier le signe ensuite.
Exemple
Dériver f(x) = (2x + 1)/(x − 3) sur ]3 ; +∞[.
u(x) = 2x + 1, u'(x) = 2 ; v(x) = x − 3, v'(x) = 1.
f'(x) = [2(x − 3) − (2x + 1) × 1]/(x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)² = −7/(x − 3)².
Exemple
Dériver g(x) = (x² + 1)³ et h(x) = √(4x − 3).
g = u³ avec u(x) = x² + 1 et u'(x) = 2x : g'(x) = 3 × 2x × (x² + 1)² = 6x(x² + 1)².
h = √u avec u(x) = 4x − 3, strictement positif sur ]3/4 ; +∞[ et u'(x) = 4 :
h'(x) = 4/(2√(4x − 3)) = 2/√(4x − 3).
Exemple
Dériver k(x) = x sin x et m(x) = cos(3x − π/4).
k est un produit : k'(x) = 1 × sin x + x × cos x = sin x + x cos x.
m est de la forme cos(ax + b) avec a = 3 : m'(x) = −3 sin(3x − π/4).
7. Dérivée seconde et utilité de la dérivée
Si f' est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde de f, notée f''. En physique, si x(t) est la position d'un mobile, x'(t) est sa vitesse et x''(t) son accélération.
La dérivée sert surtout à étudier le sens de variation : si f' > 0 sur un intervalle (sauf en des points isolés), f y est strictement croissante ; si f' < 0, elle est strictement décroissante. C'est l'objet de la leçon suivante, « Étude de fonctions ».
3Je retiens
Je retiens
f'(a) = lim quand h → 0 de [f(a + h) − f(a)]/h, si cette limite est finie.
Tangente au point d'abscisse a : y = f'(a)(x − a) + f(a). Approximation : f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h.
Dérivable en a entraîne continue en a (la réciproque est fausse : √ en 0).
(uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (1/v)' = −v'/v².
(u^n)' = n u' u^(n−1) ; (√u)' = u'/(2√u) ; (g∘u)' = u' × g'∘u.
(sin(ax + b))' = a cos(ax + b) ; (cos(ax + b))' = −a sin(ax + b).
4Erreurs fréquentes
- Oublier u' dans une composée : la dérivée de (3x − 2)⁵ est 5 × 3 × (3x − 2)⁴, pas 5(3x − 2)⁴.
- Écrire (uv)' = u'v' : c'est faux, la bonne formule est u'v + uv'.
- Inverser l'ordre dans le quotient : le numérateur est u'v − uv', dans cet ordre, sinon le signe est faux.
- Oublier que √u n'est dérivable que là où u > 0 (et non u ≥ 0).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la dérivée de chaque fonction.
a) f(x) = 4x3 - 5x2 + 2x - 7
b) g(x) = 3x2 sur ]0 ; +∞[
c) h(x) = x2 - 1x2 + 1 sur ℝ
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f'(x) = 12x2 - 10x + 2.
b) g(x) = 3 × 1x2, donc g'(x) = 3 × (-2x3) = -6x3.
c) u = x2 - 1, u' = 2x, v = x2 + 1, v' = 2x :
h'(x) = 2x(x2 + 1) - (x2 - 1) × 2x(x2 + 1)2 = 2x3 + 2x - 2x3 + 2x(x2 + 1)2 = 4x(x2 + 1)2.
2Exercice 2
Dérive les fonctions composées suivantes.
a) f(x) = (3x - 2)5
b) g(x) = √x2 + 5
c) h(x) = sin2 x
d) k(x) = 1(2x + 1)2 sur ]-12 ; +∞[
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a) f'(x) = 5 × 3 × (3x - 2)4 = 15(3x - 2)4.
b) u = x2 + 5 > 0 sur ℝ, u' = 2x : g'(x) = 2x2√x2 + 5 = x√x2 + 5.
c) h = u2 avec u = sin x : h'(x) = 2cos x sin x (qui s'écrit aussi sin(2x)).
d) k = 1u2 avec u = 2x + 1, u' = 2 : k'(x) = -2 × 2(2x + 1)3 = -4(2x + 1)3.
3Exercice 3
Soit f(x) = 1x. En utilisant la définition (taux d'accroissement), calcule f'(2), puis écris l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
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Pour h ≠ 0 proche de 0 :
tau(h) = 12 + h - 12h = 2 - (2 + h)2h(2 + h) = -h2h(2 + h) = -12(2 + h).
Quand h → 0, tau(h) → -14. Donc f'(2) = -14.
Tangente : y = -14(x - 2) + 12, soit y = -14x + 1.
4Exercice 4
Soit f(x) = x3 - 3x.
a) Écris l'équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 2.
b) En quels points la courbe admet-elle une tangente horizontale ?
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a) f(2) = 8 - 6 = 2 ; f'(x) = 3x2 - 3 donc f'(2) = 12 - 3 = 9.
T : y = 9(x - 2) + 2, soit y = 9x - 16.
b) Tangente horizontale ⇔ f'(x) = 0 ⇔ 3(x2 - 1) = 0 ⇔ x = -1 ou x = 1.
f(-1) = -1 + 3 = 2 et f(1) = 1 - 3 = -2. Les points sont (-1 ; 2) et (1 ; -2).
5Exercice 5
À l'aide de l'approximation affine de x mapsto √x en 4, donne une valeur approchée de √4,1.
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f(x) = √x, f(4) = 2, f'(x) = 12√x donc f'(4) = 14.
√4 + h ≈ 2 + h4. Avec h = 0,1 : √4,1 ≈ 2 + 0,025 = 2,025. (La calculatrice donne 2,02485… : l'approximation est très bonne.)
6Exercice 6
(Type BAC) Soit f définie sur ℝ setminus {1} par f(x) = x2 + 3x - 1 et mathcalC sa courbe.
a) Montre que f'(x) = (x - 3)(x + 1)(x - 1)2.
b) Détermine les points de mathcalC où la tangente est horizontale.
c) Écris l'équation de la tangente T au point d'abscisse 0.
d) Existe-t-il un autre point de mathcalC où la tangente est parallèle à T ? Si oui, donne l'équation de cette tangente.
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a) u = x2 + 3, u' = 2x, v = x - 1, v' = 1 :
f'(x) = 2x(x - 1) - (x2 + 3)(x - 1)2 = x2 - 2x - 3(x - 1)2.
Or (x - 3)(x + 1) = x2 + x - 3x - 3 = x2 - 2x - 3. D'où le résultat.
b) f'(x) = 0 ⇔ x = 3 ou x = -1. f(3) = 122 = 6 et f(-1) = 4-2 = -2. Points : (3 ; 6) et (-1 ; -2).
c) f(0) = 3-1 = -3 et f'(0) = -31 = -3. T : y = -3x - 3.
d) On cherche x ≠ 0 tel que f'(x) = -3 :
x2 - 2x - 3 = -3(x - 1)2 = -3x2 + 6x - 3 ⇔ 4x2 - 8x = 0 ⇔ 4x(x - 2) = 0.
Donc x = 0 (le point déjà connu) ou x = 2. f(2) = 71 = 7.
Tangente en ce point : y = -3(x - 2) + 7, soit y = -3x + 13.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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