Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 41
Fonction exponentielle
Je sais utiliser la fonction exponentielle (réciproque de ln) : règles de calcul, équations et inéquations, dérivées, primitives, limites et étude complète d'une fonction qui contient e^x.
- 2 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir exp comme réciproque de ln et utiliser les règles de calcul sur les puissances de e
- Résoudre des équations et inéquations contenant e^x
- Dériver e^u, trouver des primitives de u'e^u et calculer des intégrales
- Connaître les limites de référence et croissances comparées et étudier une fonction de type BAC
Avant de commencer : Fonction logarithme népérien ; limites, dérivées, étude de fonctions ; primitives et intégrales (y compris l'intégration par parties).
1Je découvre
Ibrahima aide son oncle, boulanger à Kindia. Chaque matin, l'oncle prépare un levain : une petite quantité de levure qui se multiplie dans la pâte. Il explique : « Plus il y a de levure, plus elle grossit vite. » Autrement dit, la vitesse d'augmentation de la quantité de levure est proportionnelle à la quantité elle-même.
En langage mathématique, si f(t) est la quantité de levure au temps t, cela donne, dans le cas le plus simple, f'(t) = f(t) : une fonction égale à sa propre dérivée. Aucune des fonctions que tu connais (polynômes, fractions, racines, sin, cos, ln) n'a cette propriété, à part la fonction nulle.
La leçon précédente a introduit la fonction ln, qui transforme les produits en sommes. Sa fonction réciproque va justement vérifier f' = f. On l'appelle la fonction exponentielle. Elle décrit la croissance des populations, la désintégration radioactive, la charge d'un condensateur, le refroidissement d'une boisson…
Comment définir la fonction exponentielle, et quelles sont ses propriétés ?
2Je comprends
1. Définition
La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0 ; +∞[, avec des limites -∞ en 0 et +∞ en +∞. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel x, l'équation ln y = x a une unique solution y > 0.
Définition. La fonction exponentielle, notée exp, associe à tout réel x l'unique réel y > 0 tel que ln y = x :
y = exp(x) ⇔ x = ln y (x ∈ ℝ, y > 0).
Conséquences.
- exp(x) > 0 pour tout réel x.
- ln(exp x) = x pour tout réel x ; exp(ln y) = y pour tout y > 0.
- exp(0) = 1 (car ln 1 = 0) ; exp(1) = e, où e est le nombre tel que ln e = 1 (e ≈ 2,718).
Notation. Pour tout entier n, ln(en) = nln e = n, donc exp(n) = en. On étend cette notation à tout réel : on écrit exp(x) = ex.
Les courbes de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
2. Règles de calcul
Pour tous réels a et b et tout entier relatif n :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | ea+b = ea × eb |
| Inverse | e-a = 1ea |
| Quotient | ea-b = eaeb |
| Puissance | (ea)n = ena |
Preuve de la première : ln(ea × eb) = ln ea + ln eb = a + b = ln(ea+b), et ln est injective.
Exemple
Simplifier A = e^(2x) × e^(−x) / e^(x+1).
A = e^(2x − x) / e^(x+1) = e^x / e^(x+1) = e^(x − x − 1) = e^(−1) = 1/e.
3. Équations et inéquations
Comme exp est strictement croissante (paragraphe 4), pour tous réels a et b :
ea = eb ⇔ a = b ea < eb ⇔ a < b.
Et pour k > 0 : ex = k ⇔ x = ln k. Si k ≤ 0, l'équation ex = k n'a aucune solution.
Méthode
Pour résoudre une équation avec des exponentielles :
- Je me ramène à e^A = e^B (alors A = B) ou à e^A = k (alors A = ln k si k > 0, aucune solution si k ≤ 0).
- Si l'équation contient e^(2x) et e^x, je pose X = e^x (avec X > 0) : e^(2x) = X².
- Je résous l'équation en X, je rejette les valeurs X ≤ 0, puis je reviens à x = ln X.
- Pour une inéquation, je garde le même sens (exp et ln sont croissantes).
Exemple
Résoudre e^(2x − 1) = 3, puis e^(2x) − 3e^x + 2 = 0.
e^(2x − 1) = 3 ⇔ 2x − 1 = ln 3 ⇔ x = (1 + ln 3)/2.
Pour la seconde, on pose X = e^x > 0 : X² − 3X + 2 = 0 ⇔ (X − 1)(X − 2) = 0 ⇔ X = 1 ou X = 2.
e^x = 1 ⇔ x = 0 ; e^x = 2 ⇔ x = ln 2. S = {0 ; ln 2}.
4. Dérivée, primitives et variations
Théorème. La fonction exp est dérivable sur ℝ et exp' = exp : (ex)' = ex.
(On l'obtient en dérivant ln(ex) = x : (ex)'ex = 1.)
Comme ex > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Composée. Si u est dérivable sur I : (eu)' = u'eu. Exemple : (e3x2)' = 6x e3x2.
Primitives. Une primitive de u'eu est eu ; une primitive de eax+b (a ≠ 0) est 1aeax+b.
Exemple : ∫01 e2x dx = [12e2x]01 = e2 - 12.
5. Limites
| Limites de référence | Croissances comparées |
|---|---|
| limx → +∞ ex = +∞ | limx → +∞ exx = +∞ |
| limx → -∞ ex = 0 | limx → -∞ x ex = 0 |
| limx → 0 ex - 1x = 1 | limx → +∞ exxn = +∞ (n ≥ 1) |
La limite en -∞ montre que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de exp en -∞. La limite ex - 1x → 1 est le nombre dérivé de exp en 0. Les croissances comparées se retiennent ainsi : en l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.
Exemple
Calculer les limites de e^x − x en +∞ et de (e^(2x) − 1)/x en 0.
e^x − x : forme ∞ − ∞. On factorise : e^x − x = e^x(1 − x/e^x). Or x/e^x → 0, donc la parenthèse tend vers 1 et la limite est +∞.
(e^(2x) − 1)/x = 2 × (e^(2x) − 1)/(2x). En posant X = 2x → 0, (e^X − 1)/X → 1. La limite est 2.
6. Une étude complète
Exemple
Étudier f(x) = (x − 1)e^x sur ℝ.
Dérivée : f'(x) = 1 × e^x + (x − 1)e^x = x e^x. Comme e^x > 0, f' a le signe de x.
f est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ ; minimum f(0) = −1.
En +∞ : (x − 1) → +∞ et e^x → +∞, donc f(x) → +∞.
En −∞ : f(x) = x e^x − e^x, et x e^x → 0, e^x → 0, donc f(x) → 0 : asymptote y = 0 en −∞.
Intersection avec l'axe des abscisses : f(x) = 0 ⇔ x = 1 (car e^x ≠ 0).
3Je retiens
Je retiens
y = e^x ⇔ x = ln y (y > 0). e^x > 0 pour tout x ; e^0 = 1 ; e^1 = e ≈ 2,718 ; ln(e^x) = x ; e^(ln y) = y.
e^(a+b) = e^a e^b ; e^(−a) = 1/e^a ; e^(a−b) = e^a/e^b ; (e^a)ⁿ = e^(na).
e^a = e^b ⇔ a = b ; e^a < e^b ⇔ a < b ; e^x = k ⇔ x = ln k (k > 0).
(e^x)' = e^x ; (e^u)' = u'e^u ; primitive de u'e^u : e^u ; de e^(ax+b) : (1/a)e^(ax+b).
e^x → +∞ en +∞ ; e^x → 0 en −∞ ; (e^x − 1)/x → 1 en 0.
Croissances comparées : e^x/xⁿ → +∞ en +∞ ; x e^x → 0 en −∞.
4Erreurs fréquentes
- Écrire e^(a+b) = e^a + e^b : c'est un produit, e^a × e^b.
- Chercher une solution à e^x = −2 : une exponentielle est toujours strictement positive, il n'y a pas de solution.
- Oublier u' en dérivant : (e^(x²))' = 2x e^(x²), pas e^(x²) ni x² e^(x² − 1).
- Oublier de rejeter les valeurs X ≤ 0 quand on pose X = e^x.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Simplifie.
a) A = e3 × e-5
b) B = (e2)3e4
c) C = (ex + e-x)2 - (ex - e-x)2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A = e3 - 5 = e-2.
b) B = e6e4 = e2.
c) (ex + e-x)2 = e2x + 2 + e-2x (car ex × e-x = e0 = 1) et (ex - e-x)2 = e2x - 2 + e-2x. Donc C = 4.
2Exercice 2
Résous dans ℝ.
a) e3x + 1 = ex - 5
b) ex = -2
c) e2x + ex - 6 = 0
d) e1 - x ≤ 1
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a) 3x + 1 = x - 5 ⇔ 2x = -6 ⇔ x = -3. S = {-3}.
b) ex > 0 pour tout x : S = ∅.
c) On pose X = ex > 0 : X2 + X - 6 = 0 ⇔ (X + 3)(X - 2) = 0. X = -3 est rejeté ; X = 2 donne x = ln 2. S = {ln 2}.
d) e1 - x ≤ e0 ⇔ 1 - x ≤ 0 ⇔ x ≥ 1. S = [1 ; +∞[.
3Exercice 3
Calcule la dérivée de chaque fonction sur ℝ.
a) f(x) = ex2 - 3x
b) g(x) = x2 e-x
c) h(x) = exex + 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f'(x) = (2x - 3)ex2 - 3x.
b) g'(x) = 2x e-x + x2 × (-e-x) = (2x - x2)e-x = x(2 - x)e-x.
c) h'(x) = ex(ex + 1) - ex × ex(ex + 1)2 = ex(ex + 1)2.
4Exercice 4
Calcule les limites.
a) limx → +∞ (x - ex)
b) limx → +∞ ex + 1ex - 1
c) limx → -∞ (x + 2)ex
d) limx → 0 e3x - 1x
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x - ex = ex(xex - 1) ; la parenthèse tend vers -1 et ex → +∞ : la limite est -∞.
b) On divise par ex : 1 + e-x1 - e-x, et e-x → 0 : la limite est 1.
c) (x + 2)ex = x ex + 2ex ; x ex → 0 et ex → 0 : la limite est 0.
d) e3x - 1x = 3 × e3x - 13x → 3 × 1 = 3.
5Exercice 5
Calcule les intégrales.
a) ∫0ln 2 ex dx
b) ∫01 x ex2 dx
c) ∫01 x ex dx (par parties)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) [ex]0ln 2 = eln 2 - e0 = 2 - 1 = 1.
b) x ex2 = 12 × 2x ex2, de primitive 12ex2. L'intégrale vaut 12(e - 1).
c) u = x, u' = 1, v' = ex, v = ex : [x ex]01 - ∫01 ex dx = e - (e - 1) = 1.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit f(x) = x e-x sur ℝ, et mathcalC sa courbe dans un repère orthonormé.
a) Calcule les limites de f en -∞ et en +∞. Interprète la seconde.
b) Calcule f'(x) et dresse le tableau de variation de f.
c) Écris l'équation de la tangente T à mathcalC au point d'abscisse 0.
d) Calcule, à l'aide d'une intégration par parties, l'aire mathcalA du domaine compris entre mathcalC, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En -∞ : x → -∞ et e-x → +∞, donc f(x) → -∞.
En +∞ : f(x) = xex et exx → +∞, donc f(x) → 0. L'axe des abscisses est asymptote à mathcalC en +∞.
b) f'(x) = e-x + x(-e-x) = (1 - x)e-x, du signe de 1 - x. f(1) = e-1 = 1e.
| x | -∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | ||
| f(x) | -∞ | croît | 1e | décroît | 0 |
c) f(0) = 0 et f'(0) = 1 : T : y = x.
d) Sur [0 ; 1], f(x) ≥ 0, donc mathcalA = ∫01 x e-x dx. On pose u = x, u' = 1 ; v' = e-x, v = -e-x :
mathcalA = [-x e-x]01 + ∫01 e-x dx = -e-1 + [-e-x]01 = -1e + 1 - 1e = 1 - 2e ≈ 0,26 u.a.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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