Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 41
Fonctions puissances
Je sais définir et manipuler les puissances à exposant réel (a^x et x^α), les dériver, résoudre des équations comme 2^x = 5 et comparer les croissances de ln, des puissances et de l'exponentielle.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir a^x = e^(x ln a) et x^α = e^(α ln x) et appliquer les règles de calcul sur les puissances réelles
- Étudier les fonctions x ↦ a^x et x ↦ x^α (dérivée, variations, limites)
- Résoudre des équations et inéquations avec des exposants réels, y compris avec la racine n-ième
- Utiliser les croissances comparées pour lever des indéterminations
Avant de commencer : Fonction logarithme népérien, logarithme décimal et fonction exponentielle (leçons précédentes) ; dérivée d'une fonction composée.
1Je découvre
Alpha et Mariama discutent de la croissance d'une coopérative de maraîchères près de Dalaba. Alpha affirme : « Si le nombre de membres double chaque année, en 2 ans il est multiplié par 22 = 4, en 3 ans par 23 = 8. » Mariama pose une question plus fine : « Et en un an et demi ? Par combien le nombre de membres est-il multiplié ? » Il faudrait calculer 21,5, et même 2√2 si l'on voulait.
Or, jusqu'ici, 2n n'avait de sens que pour n entier : « 2 multiplié par lui-même n fois ». Que veut dire multiplier 2 par lui-même « une fois et demie » ?
Grâce au logarithme et à l'exponentielle, on peut donner un sens précis à ax pour tout réel x, et à x^α pour tout exposant réel α. Ce sont les fonctions puissances. Elles permettent aussi de résoudre des équations comme 2x = 5 (« en combien de temps le nombre de membres est-il multiplié par 5 ? ») et de comparer les vitesses de croissance.
Comment définir une puissance à exposant réel, et comment étudier les fonctions qui en découlent ?
2Je comprends
1. Puissance à exposant réel
Pour a > 0 et n entier, on sait que ln(an) = nln a, donc an = enln a. On prolonge cette égalité à tout exposant réel.
Définition. Pour tout réel a > 0 et tout réel x :
ax = exln a.
On a en particulier ln(ax) = xln a, et ex est bien la puissance x-ième du nombre e (car ln e = 1).
Règles de calcul. Pour a > 0, b > 0 et x, y réels, les règles connues pour les exposants entiers restent vraies :
| Règle | Formule |
|---|---|
| Produit de puissances | ax × ay = ax+y |
| Quotient | axay = ax-y et a-x = 1ax |
| Puissance de puissance | (ax)y = axy |
| Produit de bases | (ab)x = ax bx |
Racine n-ième. Pour a > 0 et n entier ≥ 2, a1/n est l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut a : c'est la racine n-ième de a, notée aussi sqrt[n]a. En effet, (a1/n)n = an/n = a. Par exemple a1/2 = √a, 81/3 = 2, 811/4 = 3.
Exemple
Calculer 8^(2/3), 16^(−3/4) et 2^1,5.
8^(2/3) = (8^(1/3))² = 2² = 4.
16^(−3/4) = 1/(16^(1/4))³ = 1/2³ = 1/8.
2^1,5 = 2^1 × 2^0,5 = 2√2 ≈ 2,83. Le nombre de membres de la coopérative serait multiplié par environ 2,83 en un an et demi.
2. Fonction exponentielle de base a
Pour a > 0, la fonction f : x mapsto ax = exln a est définie et dérivable sur ℝ, et :
(ax)' = ln a × ax.
- Si a > 1 : ln a > 0, la fonction est strictement croissante ; ax → +∞ en +∞ et ax → 0 en -∞.
- Si 0 < a < 1 : ln a < 0, elle est strictement décroissante ; ax → 0 en +∞ et ax → +∞ en -∞.
- Si a = 1 : 1x = 1, fonction constante.
On retrouve, pour x = n entier, le comportement des suites géométriques qn.
Équation ax = b (avec a > 0, a ≠ 1, b > 0) : on prend le logarithme népérien, xln a = ln b, donc x = ln bln a.
Exemple
Résoudre 2^x = 5, puis (1/2)^x < 0,001.
2^x = 5 ⇔ x ln 2 = ln 5 ⇔ x = ln 5 / ln 2 ≈ 2,32. Le nombre de membres est multiplié par 5 en environ 2,32 ans.
(1/2)^x < 0,001 ⇔ x ln(1/2) < ln 0,001 ⇔ −x ln 2 < −ln 1 000 ⇔ x > ln 1 000 / ln 2 ≈ 9,97.
3. Fonction puissance x mapsto x^α
Pour α réel fixé, la fonction g : x mapsto x^α = eαln x est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, et :
(x^α)' = α xα - 1.
En effet, (eαln x)' = αxeαln x = α x^α x-1 = α xα-1. C'est la même formule que pour les exposants entiers.
| Exposant | Variations sur ]0 ; +∞[ | Limite en 0^+ | Limite en +∞ |
|---|---|---|---|
| α > 0 | strictement croissante | 0 | +∞ |
| α < 0 | strictement décroissante | +∞ | 0 |
Par exemple, x1/3 est croissante ; x-1/2 = 1√x est décroissante.
Composée. Si u > 0 est dérivable : (u^α)' = α u' uα-1 et (au)' = ln a × u' × au.
Méthode
Pour dériver ou étudier une fonction où la variable est dans l'exposant :
- Je réécris la puissance sous forme exponentielle : a^u = e^(u ln a) ; u^v = e^(v ln u) (avec u > 0).
- Je dérive avec (e^w)' = w' e^w.
- Je reviens si possible à l'écriture en puissance pour simplifier.
- Comme e^w > 0, le signe de la dérivée est celui de w'.
Exemple
Dériver f(x) = 3^x, g(x) = x^√2 et h(x) = x^x sur ]0 ; +∞[.
f'(x) = ln 3 × 3^x.
g'(x) = √2 × x^(√2 − 1).
h(x) = e^(x ln x), donc h'(x) = (ln x + x × 1/x) e^(x ln x) = (ln x + 1) x^x.
h' s'annule en changeant de signe quand ln x = −1, soit x = 1/e : h admet un minimum en 1/e.
4. Croissances comparées
Pour tout réel α > 0 :
limx → +∞ ln xx^α = 0 limx → 0^+ x^α ln x = 0 limx → +∞ exx^α = +∞.
En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance (d'exposant positif) l'emporte sur le logarithme. On le résume par :
ln x ll x^α ll ex en +∞.
Exemple
Calculer la limite de ln x/√x en +∞ et de x^x en 0⁺.
ln x/√x = ln x / x^(1/2), avec α = 1/2 > 0 : la limite est 0.
x^x = e^(x ln x) et x ln x → 0 quand x → 0⁺ (croissances comparées avec α = 1).
Donc x^x → e^0 = 1.
3Je retiens
Je retiens
Pour a > 0 et x réel : a^x = e^(x ln a) ; ln(a^x) = x ln a.
a^x a^y = a^(x+y) ; a^x/a^y = a^(x−y) ; (a^x)^y = a^(xy) ; (ab)^x = a^x b^x.
Racine n-ième : a^(1/n), l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut a.
(a^x)' = ln a × a^x : croissante si a > 1, décroissante si 0 < a < 1. a^x = b ⇔ x = ln b / ln a.
(x^α)' = α x^(α−1) sur ]0 ; +∞[ : croissante si α > 0, décroissante si α < 0.
Croissances comparées (α > 0) : ln x / x^α → 0 et e^x / x^α → +∞ en +∞ ; x^α ln x → 0 en 0⁺.
4Erreurs fréquentes
- Dériver a^x comme x^n : la dérivée de 2^x n'est pas x × 2^(x−1), c'est ln 2 × 2^x.
- Utiliser x^α avec x négatif et α non entier : x^α n'est défini que pour x > 0 (on n'écrit pas (−8)^(1/3)).
- Écrire (a + b)^x = a^x + b^x : la règle concerne le produit (ab)^x.
- Dans a^x < b avec 0 < a < 1, oublier que ln a < 0 et que le sens de l'inégalité change en divisant.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule sans calculatrice.
a) 43/2 b) 321/5 c) 9-1/2 d) (21/3)6 e) 250,5 × 81/3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 43/2 = (41/2)3 = 23 = 8.
b) 32 = 25, donc 321/5 = 2.
c) 9-1/2 = 1√9 = 13.
d) (21/3)6 = 26/3 = 22 = 4.
e) 250,5 = 5 et 81/3 = 2 : le produit vaut 10.
2Exercice 2
Simplifie, pour tout réel x :
a) A = (2x)2 × 4-x
b) B = 3x+1 - 3x
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a) (2x)2 = 22x et 4-x = (22)-x = 2-2x. Donc A = 22x - 2x = 20 = 1.
b) B = 3 × 3x - 3x = 2 × 3x.
3Exercice 3
Résous.
a) 3x = 12 (valeur exacte, puis approchée à 10-2)
b) 22x - 3 × 2x - 4 = 0
c) 0,8x ≥ 0,5
d) x1,5 = 8 sur ]0 ; +∞[
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) xln 3 = ln 12, donc x = ln 12ln 3 ≈ 2,26.
b) On pose X = 2x > 0 ; alors 22x = X2 et X2 - 3X - 4 = 0 ⇔ (X - 4)(X + 1) = 0. On rejette X = -1 ; 2x = 4 ⇔ x = 2. S = {2}.
c) xln 0,8 ≥ ln 0,5. Comme ln 0,8 < 0, on divise en changeant le sens : x ≤ ln 0,5ln 0,8 ≈ 3,11. S = ]-∞ ; ln 0,5ln 0,8].
d) Pour x > 0 : x3/2 = 8 ⇔ x = 82/3 = (81/3)2 = 4. Vérification : 43/2 = 23 = 8.
4Exercice 4
Calcule la dérivée de chaque fonction.
a) f(x) = 5x - x5 sur ℝ
b) g(x) = x3/2 sur ]0 ; +∞[
c) h(x) = 2x2 sur ℝ
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f'(x) = ln 5 × 5x - 5x4.
b) g'(x) = 32x1/2 = 32√x.
c) h(x) = ex2ln 2, donc h'(x) = 2xln 2 × ex2ln 2 = 2xln 2 × 2x2.
5Exercice 5
Calcule les limites.
a) limx → +∞ x0,1ln x
b) limx → 0^+ √xln x
c) limx → +∞ 0,5x
d) limx → +∞ exx100
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ln xx0,1 → 0^+ (croissances comparées, et c'est positif pour x > 1), donc son inverse x0,1ln x → +∞.
b) √xln x = x1/2ln x → 0 (croissances comparées avec α = 12).
c) 0 < 0,5 < 1 : 0,5x → 0.
d) Croissances comparées : exx100 → +∞.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x1/x = eln xx.
a) Calcule les limites de f en 0^+ et en +∞. Interprète la limite en +∞.
b) Montre que f'(x) = 1 - ln xx2 f(x) et dresse le tableau de variation de f.
c) En comparant f(e) et f(π), montre que e^π > πe.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En 0^+ : ln x → -∞ et 1x → +∞, donc ln xx → -∞ et f(x) → 0.
En +∞ : ln xx → 0 (croissances comparées), donc f(x) → e0 = 1. La droite y = 1 est asymptote horizontale à la courbe en +∞.
b) Avec w(x) = ln xx : w'(x) = 1x × x - ln xx2 = 1 - ln xx2. Donc f'(x) = w'(x)ew(x) = 1 - ln xx2f(x).
Comme f(x) > 0 et x2 > 0, f' a le signe de 1 - ln x : positif si x < e, négatif si x > e. f(e) = e1/e ≈ 1,44.
| x | 0 | e | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | ||
| f(x) | 0 | croît | e1/e | décroît | 1 |
c) f est strictement décroissante sur [e ; +∞[ et π > e, donc f(π) < f(e) : π1/π < e1/e.
La fonction t mapsto teπ est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ (exposant positif). En élevant à la puissance eπ : πe < eπ. (Valeurs : e^π ≈ 23,14 et πe ≈ 22,46.)
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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