Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 41
Géométrie du plan complexe
Je sais écrire en nombres complexes une translation, une homothétie et une rotation, et reconnaître la transformation qui correspond à une écriture z' = az + b.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Donner l'écriture complexe d'une translation, d'une homothétie et d'une rotation
- Reconnaître la nature et les éléments caractéristiques d'une transformation d'écriture z' = az + b
- Calculer l'image d'un point et construire des figures (triangle équilatéral, carré)
- Composer deux transformations simples (similitude directe en plus pour SM)
Avant de commencer : Forme exponentielle d'un nombre complexe ; nombres complexes et géométrie (affixe d'un vecteur, quotient et angle orienté) ; translations, homothéties et rotations vues au collège et en Seconde.
1Je découvre
Au marché de Madina, Kadiatou observe un vendeur de tissus qui plie un grand pagne décoré de motifs. Les motifs se répètent de trois façons : certains sont décalés le long du tissu, d'autres sont tournés d'un quart de tour autour d'un point, d'autres encore sont des agrandissements d'un petit motif.
En classe, son professeur explique que ces trois mouvements sont des transformations : la translation, la rotation et l'homothétie. Dessiner l'image d'un point par une rotation, avec un compas et un rapporteur, demande du soin. Mais dans le plan complexe, chaque transformation devient une formule qui donne l'affixe z' de l'image à partir de l'affixe z du point de départ.
Par exemple, tourner d'un quart de tour autour de l'origine revient simplement à multiplier par i : le point 3 + i devient i(3 + i) = -1 + 3i.
Quelle est l'écriture complexe de chaque transformation, et comment reconnaître une transformation à partir de sa formule ?
2Je comprends
1. Écriture complexe d'une transformation
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u, v). Une transformation f associe à tout point M d'affixe z un point M' d'affixe z'. On appelle écriture complexe de f la relation qui exprime z' en fonction de z.
Un point Ω est invariant (ou fixe) par f si f(Ω) = Ω : son affixe ω vérifie ω' = ω.
2. La translation
La translation de vecteur w d'affixe b transforme M en M' tel que overrightarrowMM' = w, soit z' - z = b :
z' = z + b.
3. L'homothétie
L'homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k (réel non nul) transforme M en M' tel que overrightarrowΩ M' = k overrightarrowΩ M :
z' - ω = k(z - ω).
Pour k = -1, c'est la symétrie centrale de centre Ω.
4. La rotation
La rotation de centre Ω(ω) et d'angle θ transforme M ≠ Ω en M' tel que Ω M' = Ω M et (overrightarrowΩ M, overrightarrowΩ M') = θ [2π]. D'après la leçon précédente, cela signifie que z' - ωz - ω a pour module 1 et pour argument θ, c'est-à-dire z' - ωz - ω = eiθ :
z' - ω = eiθ(z - ω).
Cas particuliers : un quart de tour direct (θ = π2) correspond à la multiplication par i ; un demi-tour (θ = π) à la multiplication par -1.
Exemple
Écriture complexe de la rotation r de centre Ω(1 + i) et d'angle π/2, puis image de A(3 + i).
z' − (1 + i) = e^{iπ/2}(z − (1 + i)) = i(z − 1 − i).
z' = iz − i − i² + 1 + i = iz + 2.
Image de A : z_{A'} = i(3 + i) + 2 = 3i − 1 + 2 = 1 + 3i.
Contrôle : ΩA a pour affixe 2 et ΩA' a pour affixe 2i = i × 2 : même longueur, angle droit.
5. Reconnaître une transformation d'écriture z' = az + b
Les trois transformations précédentes s'écrivent toutes z' = az + b avec a ≠ 0. Inversement, face à une telle écriture :
| Coefficient a | Transformation | Éléments caractéristiques |
|---|---|---|
| a = 1 | translation | vecteur d'affixe b |
| a réel, a ≠ 1 | homothétie | rapport a, centre ω = b1 - a |
| lvert arvert = 1, a ≠ 1 | rotation | angle arg a, centre ω = b1 - a |
Le centre est le point invariant : on résout ω = aω + b, ce qui donne ω = b1 - a (possible car a ≠ 1).
Symétries axiales à connaître. z' = z est la symétrie par rapport à l'axe réel ; z' = -z est la symétrie par rapport à l'axe imaginaire. Elles ne sont pas de la forme z' = az + b (on dit qu'elles sont « indirectes » : elles changent l'orientation des angles).
Méthode
Pour reconnaître la transformation d'écriture z' = az + b :
- Si a = 1 : c'est la translation de vecteur d'affixe b. C'est fini.
- Sinon, je cherche le centre en résolvant ω = aω + b, soit ω = b/(1 − a).
- Si a est réel : homothétie de centre Ω(ω) et de rapport a (symétrie centrale si a = −1).
- Si |a| = 1 : rotation de centre Ω(ω) et d'angle arg a (j'écris a = e^{iθ}).
- Sinon (en plus pour SM) : similitude directe de centre Ω(ω), de rapport |a| et d'angle arg a.
Exemple
Reconnaître f : z' = −2z + 3i.
a = −2 est réel et différent de 1 : f est une homothétie de rapport −2.
Centre : ω = 3i/(1 − (−2)) = 3i/3 = i. Contrôle : −2i + 3i = i.
f est l'homothétie de centre Ω(i) et de rapport −2.
Exemple
Reconnaître g : z' = (1/2 + i√3/2) z + 1.
a = 1/2 + i√3/2 = e^{iπ/3} : |a| = 1 et a ≠ 1, donc g est une rotation d'angle π/3.
1 − a = 1/2 − i√3/2 = e^{−iπ/3}, donc ω = 1/e^{−iπ/3} = e^{iπ/3} = 1/2 + i√3/2.
g est la rotation de centre Ω(1/2 + i√3/2) et d'angle π/3.
6. Composer des transformations
Pour composer g ° f (on applique d'abord f, puis g), on remplace z par l'expression de f dans l'écriture de g. La composée de deux transformations d'écriture z' = az + b est encore de cette forme ; on la reconnaît avec la méthode ci-dessus.
Exemple
r est la rotation de centre O et d'angle π/2, t la translation de vecteur d'affixe 3. Reconnaître t ∘ r.
r : z₁ = iz ; t : z' = z₁ + 3. Donc t ∘ r : z' = iz + 3.
a = i : |a| = 1, arg a = π/2 : c'est une rotation d'angle π/2.
Centre : ω = 3/(1 − i) = 3(1 + i)/2 = 3/2 + (3/2)i.
7. En plus pour SM : la similitude directe
Si a n'est ni réel ni de module 1, z' = az + b est une similitude directe de centre Ω(ω) avec ω = b1 - a, de rapport |a| et d'angle arg a : c'est la composée de la rotation de centre Ω et d'angle arg a et de l'homothétie de centre Ω et de rapport |a|. Par exemple z' = (1 + i)z + 2 a pour rapport √2, pour angle π4 et pour centre ω = 2-i = 2i. Tu étudieras cette transformation en détail dans la leçon sur les similitudes.
3Je retiens
Je retiens
Translation de vecteur w(b) : z' = z + b.
Homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k (réel non nul) : z' − ω = k(z − ω).
Rotation de centre Ω(ω) et d'angle θ : z' − ω = e^{iθ}(z − ω). Quart de tour direct autour de O : z' = iz.
z' = az + b : a = 1 translation ; a réel ≠ 1 homothétie de rapport a ; |a| = 1, a ≠ 1 rotation d'angle arg a.
Centre (point invariant) : ω = b/(1 − a).
Symétrie d'axe (Ox) : z' = z̄ ; symétrie d'axe (Oy) : z' = −z̄.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le centre dans l'écriture d'une rotation : z' = e^{iθ}z est la rotation de centre O seulement. Avec un autre centre, il faut z' − ω = e^{iθ}(z − ω).
- Confondre le rapport d'une homothétie et le module : z' = −2z + 3i a pour rapport −2 (pas 2), et le signe compte.
- Chercher le centre d'une translation : si a = 1, il n'y a aucun point invariant (sauf si b = 0).
- Se tromper de sens de composition : t ∘ r veut dire « r d'abord, puis t ».
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne l'écriture complexe de :
a) la translation de vecteur w d'affixe 2 - 3i ;
b) l'homothétie de centre Ω(1 - i) et de rapport 3 ;
c) la rotation de centre O et d'angle 2π3 ;
d) la rotation de centre Ω(2) et d'angle -π2.
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a) z' = z + 2 - 3i.
b) z' - (1 - i) = 3(z - (1 - i)), soit z' = 3z - 3 + 3i + 1 - i = 3z - 2 + 2i.
c) z' = ei2π3z = (-12 + i√32)z.
d) e-iπ2 = -i : z' - 2 = -i(z - 2), soit z' = -iz + 2 + 2i.
2Exercice 2
Reconnais chaque transformation et donne ses éléments caractéristiques.
a) z' = z + 4i b) z' = 3z - 6 c) z' = -z + 2 + 2i d) z' = iz + 1 - i
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a) a = 1 : translation de vecteur d'affixe 4i.
b) a = 3 réel : homothétie de rapport 3, de centre ω = -61 - 3 = 3.
c) a = -1 : homothétie de rapport -1, c'est-à-dire symétrie centrale, de centre ω = 2 + 2i1 - (-1) = 1 + i.
d) a = i, |i| = 1 et arg i = π2 : rotation d'angle π2, de centre ω = 1 - i1 - i = 1. Contrôle : i × 1 + 1 - i = 1.
3Exercice 3
On note h l'homothétie de centre O et de rapport 2, et t la translation de vecteur d'affixe -3i.
a) Donne l'écriture complexe de t ° h.
b) Reconnais t ° h.
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a) h : z1 = 2z puis t : z' = z1 - 3i. Donc t ° h : z' = 2z - 3i.
b) a = 2 réel : homothétie de rapport 2, de centre ω = -3i1 - 2 = 3i. Contrôle : 2 × 3i - 3i = 3i.
4Exercice 4
(Type BAC) On donne A(1 + i) et B(3 + i).
a) Donne l'écriture complexe de la rotation r de centre A et d'angle π3.
b) Calcule l'affixe du point C = r(B).
c) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie.
d) Calcule l'affixe du centre de gravité G du triangle ABC.
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a) z' - (1 + i) = eiπ3(z - (1 + i)), avec eiπ3 = 12 + i√32.
b) zB - zA = 2, donc zC = (1 + i) + 2eiπ3 = 1 + i + 1 + i√3 = 2 + i(1 + √3).
c) Par définition de la rotation : AC = AB et (overrightarrowAB, overrightarrowAC) = π3. Un triangle isocèle en A dont l'angle en A mesure 60° a ses deux autres angles égaux à 180° - 60°2 = 60° : le triangle ABC est équilatéral (direct).
d) zG = zA + zB + zC3 = (1 + i) + (3 + i) + (2 + i + i√3)3 = 6 + i(3 + √3)3 = 2 + i(1 + √33).
5Exercice 5
(En plus pour SM) On considère s : z' = (1 + i√3)z - i√3.
a) Détermine le point invariant de s.
b) Donne le rapport et l'angle de s.
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a) ω = (1 + i√3)ω - i√3 ⇔ -i√3 ω = -i√3 ⇔ ω = 1. Le point invariant est Ω(1).
b) a = 1 + i√3 : |a| = √1 + 3 = 2 et a = 2(12 + i√32) = 2eiπ3. C'est la similitude directe de centre Ω(1), de rapport 2 et d'angle π3.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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