Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 47
Notions de cinématique
Je sais décrire le mouvement d'un point dans un référentiel choisi, à l'aide de son vecteur position, de son vecteur vitesse et de son vecteur accélération.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Choisir un référentiel et un repère adaptés à l'étude d'un mouvement
- Écrire les équations horaires et en déduire l'équation de la trajectoire
- Calculer les vecteurs vitesse et accélération par dérivation
- Reconnaître si un mouvement est uniforme, accéléré ou retardé
Avant de commencer : Les vecteurs et leurs coordonnées dans un repère, le calcul des dérivées (polynômes), les unités SI de longueur et de temps.
1Je découvre
Mamadou voyage en taxi-brousse de Kindia vers Mamou. À côté de lui, sa cousine Hawa dort tranquillement : pour Mamadou, elle ne bouge pas du tout. Pourtant, une vendeuse d'oranges assise au bord de la route voit passer Hawa à grande vitesse, avec tout le taxi.
Mamadou se pose alors une question : « Hawa est-elle immobile ou en mouvement ? » Les deux réponses sont vraies… selon l'observateur. Et quand le chauffeur accélère à la sortie d'un village ou freine avant un virage, Mamadou sent son corps poussé vers l'arrière ou vers l'avant : la vitesse change, mais comment le mesurer ?
En physique, on ne peut pas se contenter de dire « ça va vite » ou « ça tourne ». Il faut des outils précis, les mêmes pour le taxi, pour un ballon de football ou pour un satellite.
Comment décrire complètement le mouvement d'un objet : par rapport à quoi, avec quelles grandeurs et quels calculs ?
2Je comprends
La cinématique est la partie de la mécanique qui décrit les mouvements, sans chercher leurs causes (les causes, ce sont les forces : elles seront étudiées avec les lois de Newton).
1. Le référentiel : « par rapport à quoi ? »
Un référentiel est un objet (solide) de référence par rapport auquel on étudie le mouvement, muni d'une horloge pour mesurer le temps. Le mouvement est relatif : il dépend du référentiel choisi. Hawa est immobile dans le référentiel du taxi, mais en mouvement dans le référentiel de la route.
Trois référentiels reviennent souvent :
| Référentiel | Solide de référence | Utilisation |
|---|---|---|
| terrestre | le sol, un bâtiment, la route | mouvements de la vie courante |
| géocentrique | centre de la Terre et trois étoiles lointaines | satellites, Lune |
| héliocentrique | centre du Soleil et trois étoiles lointaines | planètes |
2. Le repère d'espace et le repère de temps
Pour faire des calculs, on associe au référentiel :
- un repère d'espace (O, i, j, k) orthonormé, d'origine O fixe dans le référentiel ;
- un repère de temps : une origine des dates (t = 0, souvent le début de l'expérience) et une unité, la seconde (s).
On étudie en général le mouvement d'un point M (un petit objet, ou le centre d'inertie d'un solide). L'ensemble des positions successives de M est sa trajectoire : droite, cercle, parabole…
3. Le vecteur position et les équations horaires
La position de M à la date t est donnée par le vecteur position :
OM = x i + y j + z k
Les fonctions x(t), y(t), z(t) sont les équations horaires du mouvement. Pour obtenir l'équation de la trajectoire, on élimine le temps entre ces équations : on exprime t en fonction de x dans une équation, puis on remplace dans l'autre.
4. Le vecteur vitesse
La vitesse moyenne entre deux dates est vm = dΔ t où d est la distance parcourue sur la trajectoire pendant la durée Δ t.
Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
v = dOMdt, de coordonnées vx = dxdt = dotx ; vy = doty ; vz = dotz.
Ses caractéristiques : il est tangent à la trajectoire au point M, orienté dans le sens du mouvement, et sa norme est v = √vx2 + vy2 + vz2, en m/s.
On peut aussi repérer M par son abscisse curviligne s, mesurée le long de la trajectoire orientée à partir d'un point origine. La vitesse algébrique est alors v = dsdt.
Rappel utile : 1 m/s = 3,6 km/h. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6.
5. Le vecteur accélération
Le vecteur accélération mesure la variation du vecteur vitesse :
a = dvdt = d2OMdt2, de coordonnées ax = dotvx = ddotx, ay = ddoty, az = ddotz, en m/s².
Attention : il y a accélération dès que le vecteur vitesse change, en norme ou en direction. Une moto qui prend un virage à vitesse constante a une accélération, car la direction de sa vitesse change.
Repère de Frenet (utilisé pour les mouvements courbes, en particulier circulaires) : on place en M un vecteur unitaire T tangent à la trajectoire (sens du mouvement) et un vecteur unitaire N perpendiculaire, dirigé vers l'intérieur de la courbe. Alors :
a = dvdt T + v2ρ N
où ρ est le rayon de courbure (ρ = R pour un cercle). La composante tangentielle at = dvdt traduit le changement de la valeur de la vitesse ; la composante normale an = v2ρ traduit le changement de direction.
6. Nature du mouvement
- Trajectoire : rectiligne (droite), circulaire, curviligne quelconque.
- Vitesse : le mouvement est uniforme si la norme v est constante.
- Si v varie, on regarde le signe du produit scalaire a · v :
- a · v > 0 : mouvement accéléré (v augmente) ;
- a · v < 0 : mouvement retardé ou décéléré (v diminue) ;
- a · v = 0 à chaque instant : mouvement uniforme.
En mouvement rectiligne selon l'axe Ox, cela revient à comparer les signes de vx et ax : mêmes signes, accéléré ; signes contraires, retardé.
Méthode
Pour étudier un mouvement donné par ses équations horaires :
- Je précise le référentiel et le repère.
- J'élimine t entre x(t) et y(t) pour obtenir l'équation de la trajectoire, et je reconnais sa forme.
- Je dérive x(t) et y(t) pour obtenir les coordonnées de la vitesse, puis sa norme.
- Je dérive encore pour obtenir l'accélération.
- Je calcule a·v = ax·vx + ay·vy pour conclure : accéléré, retardé ou uniforme.
Exemple
Dans un repère (O, i, j) lié au sol, un point M a pour équations horaires (unités SI) :
x(t) = 2t et y(t) = t² − 1.
Trajectoire : t = x/2, donc y = (x/2)² − 1 = x²/4 − 1. C'est une parabole (portion x ≥ 0 si t ≥ 0).
Vitesse : vx = 2 et vy = 2t. À t = 2 s : vx = 2 m/s, vy = 4 m/s,
v = √(2² + 4²) = √20 ≈ 4,47 m/s.
Accélération : ax = 0 et ay = 2 m/s², donc a = 2 m/s² (constante).
Nature à t = 2 s : a·v = 0 × 2 + 2 × 4 = 8 > 0, le mouvement est accéléré.
Exemple
Sur une route rectiligne, le taxi-brousse de Mamadou parcourt 36 km en 30 min.
Vitesse moyenne : vm = 36 km ÷ 0,5 h = 72 km/h.
En m/s : 72 ÷ 3,6 = 20 m/s.
Vérification avec les unités SI : 36 000 m ÷ 1 800 s = 20 m/s.
3Je retiens
Je retiens
Le mouvement est relatif : on précise toujours le référentiel (terrestre, géocentrique, héliocentrique).
Vecteur position : OM = x i + y j + z k ; x(t), y(t), z(t) sont les équations horaires.
Équation de la trajectoire : on élimine t entre les équations horaires.
Vitesse : v = dOM/dt, tangente à la trajectoire ; v = √(vx² + vy² + vz²) en m/s ; 1 m/s = 3,6 km/h.
Accélération : a = dv/dt ; dans le repère de Frenet, at = dv/dt et an = v²/ρ.
a·v > 0 : accéléré ; a·v < 0 : retardé ; v constant : uniforme.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de préciser le référentiel : dire « la voiture est immobile » n'a pas de sens sans dire par rapport à quoi.
- Confondre la trajectoire y = f(x) et une équation horaire y = f(t) : la trajectoire ne contient jamais t.
- Croire qu'une vitesse constante en valeur signifie une accélération nulle : dans un virage, a n'est pas nul.
- Mélanger les unités : on convertit les km/h en m/s (÷ 3,6) et les minutes en secondes avant tout calcul.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Ibrahima parcourt à moto 4,5 km en 6 min. Calcule sa vitesse moyenne en km/h, puis en m/s.
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6 min = 0,1 h, donc vm = 4,50,1 = 45 km/h. En m/s : 453,6 = 12,5 m/s. (Vérification : 4500 m360 s = 12,5 m/s.)
2Exercice 2
Kadiatou est assise dans une pirogue qui descend le fleuve. Elle est immobile par rapport à la pirogue.
a) Est-elle immobile par rapport à la berge ? Justifie.
b) Quel référentiel faut-il choisir pour étudier le mouvement de la pirogue par rapport au fleuve et aux rives ?
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a) Non : par rapport à la berge, elle se déplace avec la pirogue. Le mouvement dépend du référentiel.
b) Le référentiel terrestre (lié aux rives, au sol).
3Exercice 3
Un mobile a pour équations horaires x = 3t + 1 et y = -2t + 4 (unités SI).
a) Détermine l'équation de la trajectoire et sa nature.
b) Calcule les coordonnées et la norme du vecteur vitesse.
c) Calcule l'accélération. Quelle est la nature du mouvement ?
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a) t = x - 13, donc y = -2 × x - 13 + 4 = -23x + 143. C'est une droite : la trajectoire est rectiligne.
b) vx = 3 m/s et vy = -2 m/s ; v = √9 + 4 = √13 ≈ 3,61 m/s.
c) ax = 0 et ay = 0 : a = 0. Le vecteur vitesse est constant : le mouvement est rectiligne uniforme.
4Exercice 4
Un point se déplace sur un axe Ox selon x(t) = t2 - 4t (unités SI), pour t ≥ 0.
a) Calcule v(t) et a(t).
b) À quelle date le point change-t-il de sens ? Quelle est alors sa position ?
c) Précise la nature du mouvement pour 0 < t < 2 s, puis pour t > 2 s.
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a) v = dxdt = 2t - 4 et a = dvdt = 2 m/s².
b) Le point change de sens quand v = 0 : 2t - 4 = 0, soit t = 2 s. Position : x(2) = 4 - 8 = -4 m.
c) Pour 0 < t < 2 s : v < 0 et a > 0, signes contraires, mouvement retardé. Pour t > 2 s : v > 0 et a > 0, mouvement accéléré.
5Exercice 5
(Type BAC) Dans un repère (O, i, j) lié au sol, les équations horaires d'un ballon sont x = 2t et y = -5t2 + 4t (unités SI), pour t ≥ 0.
a) Établis l'équation de la trajectoire. Quelle est sa nature ?
b) Exprime le vecteur vitesse. Calcule sa norme à t = 0.
c) Détermine la date et les coordonnées du sommet de la trajectoire (point où vy = 0).
d) Calcule le vecteur accélération. Est-il constant ?
e) À quelle date et à quelle abscisse le ballon revient-il à l'altitude y = 0 ?
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a) t = x2, donc y = -5x24 + 4 × x2 = -54x2 + 2x. C'est une parabole.
b) vx = 2 m/s et vy = -10t + 4. À t = 0 : vy = 4 m/s, donc v0 = √4 + 16 = √20 ≈ 4,47 m/s.
c) vy = 0 ⇔ t = 0,4 s. Alors x = 2 × 0,4 = 0,8 m et y = -5 × 0,16 + 4 × 0,4 = -0,8 + 1,6 = 0,8 m. Sommet : S(0,8 m ; 0,8 m).
d) ax = 0 et ay = -10 m/s² : a = -10 j, vecteur constant, vertical, dirigé vers le bas, de norme 10 m/s².
e) y = 0 ⇔ t(-5t + 4) = 0, soit t = 0 (départ) ou t = 0,8 s. Abscisse : x = 2 × 0,8 = 1,6 m. Vérification avec la trajectoire : -54 × 2,56 + 3,2 = -3,2 + 3,2 = 0.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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