Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 47
Mouvement rectiligne uniforme
Je sais reconnaître un mouvement rectiligne uniforme, écrire son équation horaire et l'utiliser pour résoudre des problèmes de rencontre ou de poursuite.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le mouvement rectiligne uniforme par ses vecteurs vitesse et accélération
- Établir l'équation horaire x = v(t − t0) + x0 à partir des conditions initiales
- Exploiter les graphes x(t) et v(t)
- Résoudre un problème de rencontre ou de poursuite entre deux mobiles
Avant de commencer : Notions de cinématique (référentiel, repère, vecteurs position, vitesse et accélération) ; résolution d'une équation du premier degré.
1Je découvre
Un matin de saison sèche, Sékou quitte son village à moto pour rejoindre le marché hebdomadaire, sur une longue route droite. Il roule à vitesse constante : le compteur reste bloqué sur 54 km/h. Au même moment, son oncle Lansana, parti du marché, vient à sa rencontre avec son camion, lui aussi à vitesse constante.
Sékou veut téléphoner à son oncle pour lui dire où l'attendre. Il connaît la distance entre le village et le marché, et les deux vitesses. « Si je savais écrire nos positions en fonction du temps, je pourrais calculer l'heure et l'endroit exact où nous nous croiserons », se dit-il.
Ce type de mouvement, en ligne droite et à vitesse constante, est le plus simple de tous. Il sert aussi à mesurer des distances grâce au son ou à la lumière, qui se propagent à vitesse constante.
Qu'est-ce qu'un mouvement rectiligne uniforme, et comment calculer où et quand deux mobiles se rencontrent ?
2Je comprends
1. Définition
Un point M est animé d'un mouvement rectiligne uniforme (MRU) dans un référentiel donné si :
- sa trajectoire est une droite ;
- la valeur de sa vitesse est constante.
Autrement dit, le vecteur vitesse est constant (même direction, même sens, même norme). Par conséquent, le vecteur accélération est nul : a = 0.
On choisit l'axe Ox le long de la trajectoire. La vitesse algébrique v est positive si le mobile se déplace dans le sens de l'axe, négative sinon.
2. L'équation horaire
Comme v = dxdt est constante, x est une primitive d'une constante :
x(t) = v (t - t0) + x0
où x0 est l'abscisse à la date t0. Très souvent, on choisit t0 = 0 et l'équation devient :
x(t) = v t + x0
Ces deux données, x0 et v, sont les conditions initiales. Elles se lisent dans l'énoncé : « à la date t = 0, le mobile passe au point d'abscisse… avec la vitesse… ».
La distance parcourue pendant une durée Δ t est d = |v| Δ t.
3. Les graphes du MRU
- Le graphe v(t) est une droite horizontale ; l'aire du rectangle sous cette droite, entre deux dates, est égale au déplacement.
- Le graphe x(t) est une droite de coefficient directeur v et d'ordonnée à l'origine x0.
Ainsi, pour trouver v sur un graphe x(t), on calcule la pente : v = x2 - x1t2 - t1.
4. Rencontre et poursuite de deux mobiles
Pour deux mobiles A et B sur la même droite :
- on choisit un seul repère (même origine, même sens, même origine des dates) pour les deux ;
- on écrit xA(t) et xB(t) ;
- les mobiles se rencontrent quand xA(t) = xB(t) ;
- on calcule la date tR, puis la position xR en remplaçant dans l'une des équations.
Si un mobile part plus tard, à la date t0, son équation contient (t - t0) et elle n'est valable que pour t ≥ t0.
Méthode
Pour résoudre un problème de rencontre :
- Je fais un schéma : axe, origine, sens positif, positions de départ.
- Je convertis les vitesses en m/s (ou je travaille en km et en h, mais sans mélanger).
- J'écris l'équation horaire de chaque mobile (signe de v selon le sens de marche).
- J'écris xA = xB et je résous pour trouver la date de rencontre.
- Je calcule la position de rencontre et je vérifie avec l'autre équation.
- 1Choisir l'origine O, le sens de l'axe et la date t = 0
- 2Écrire xA(t) avec sa vitesse et son abscisse de départ
- 3Écrire xB(t), avec (t − t0) s'il part plus tard
- 4Poser xA(t) = xB(t) et trouver la date de rencontre
- 5Remplacer t dans une équation pour trouver le lieu
Exemple
Un mobile se déplace à vitesse constante v = 3 m/s. À la date t = 2 s, il passe à l'abscisse x = 5 m.
Équation horaire : x = v(t − t0) + x0 = 3(t − 2) + 5 = 3t − 1.
Vérification : x(2) = 6 − 1 = 5 m. À t = 0, le mobile était à x = −1 m.
Exemple
Rencontre. Une moto A part de l'origine O à t = 0 à 15 m/s. Au même instant, une charrette B part d'un point situé à 900 m de O et vient vers A à 10 m/s.
xA = 15t ; xB = −10t + 900 (B va dans le sens négatif).
xA = xB : 15t = −10t + 900, donc 25t = 900 et t = 36 s.
Position : xA = 15 × 36 = 540 m. Vérification : xB = −360 + 900 = 540 m.
Ils se croisent à 540 m de O, 36 s après le départ.
Exemple
Poursuite. Un bus quitte une gare à t = 0 à 20 m/s. Une moto part de la même gare 60 s plus tard, dans le même sens, à 25 m/s.
xbus = 20t ; xmoto = 25(t − 60) = 25t − 1500, valable pour t ≥ 60 s.
20t = 25t − 1500 donne 5t = 1500, donc t = 300 s (5 min).
Position : x = 20 × 300 = 6000 m = 6 km de la gare.
5. Une application : mesurer une distance par l'écho
Le son se propage dans l'air à vitesse constante, environ 340 m/s. Si Ousmane crie face à une falaise du Fouta-Djallon et entend l'écho au bout d'une durée Δ t, le son a fait l'aller-retour : 2d = v Δ t, donc d = v Δ t2.
3Je retiens
Je retiens
MRU : trajectoire droite et vecteur vitesse constant ; donc a = 0.
Équation horaire : x = v(t − t0) + x0 ; si t0 = 0, x = vt + x0.
Graphe x(t) : droite de pente v ; graphe v(t) : droite horizontale.
Distance parcourue : d = |v| × Δt.
Rencontre de deux mobiles : même repère pour les deux, puis xA(t) = xB(t).
Écho : d = v Δt / 2 (aller-retour).
4Erreurs fréquentes
- Donner une vitesse positive à un mobile qui roule dans le sens contraire de l'axe : sa vitesse algébrique est négative.
- Choisir deux origines différentes pour les deux mobiles : l'égalité xA = xB n'a alors plus de sens.
- Oublier le retard de départ : un mobile parti à t0 = 60 s a pour équation x = v(t − 60) + x0, pas vt + x0.
- Oublier de diviser par 2 dans le calcul de l'écho : le son fait l'aller et le retour.
5Je m’exerce
1Exercice 1
a) Convertis 72 km/h en m/s et 15 m/s en km/h.
b) Combien de temps faut-il pour parcourir 1,2 km à 72 km/h ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 72 ÷ 3,6 = 20 m/s ; 15 × 3,6 = 54 km/h.
b) Δ t = dv = 120020 = 60 s, soit 1 min.
2Exercice 2
Ousmane se place face à une falaise et frappe dans ses mains. Il entend l'écho 1,2 s plus tard. La vitesse du son dans l'air est 340 m/s. À quelle distance de la falaise se trouve-t-il ?
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Le son fait l'aller-retour : 2d = v Δ t = 340 × 1,2 = 408 m, donc d = 204 m.
3Exercice 3
Le graphe x(t) d'un mobile est une droite qui passe par les points (0 s ; -10 m) et (5 s ; 15 m).
a) Calcule la vitesse du mobile.
b) Écris son équation horaire.
c) À quelle date passe-t-il à l'origine ?
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a) v = 15 - (-10)5 - 0 = 255 = 5 m/s.
b) x0 = -10 m, donc x = 5t - 10.
c) x = 0 ⇔ 5t = 10 ⇔ t = 2 s.
4Exercice 4
Deux villes A et B sont distantes de 120 km sur une route droite. Un taxi part de A vers B à 8 h, à 60 km/h. Un minibus part de B vers A à 8 h 30, à 90 km/h. On prend l'origine en A, l'axe orienté de A vers B, et l'origine des dates à 8 h (t en heures).
a) Écris les équations horaires xT(t) et xM(t) en km.
b) Détermine l'heure et le lieu de la rencontre.
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a) Taxi : xT = 60t. Minibus : il part de x = 120 km à t0 = 0,5 h et roule dans le sens négatif : xM = -90(t - 0,5) + 120 = -90t + 165, valable pour t ≥ 0,5 h.
b) 60t = -90t + 165 ⇔ 150t = 165 ⇔ t = 1,1 h = 1 h 6 min. La rencontre a lieu à 9 h 06. Lieu : xT = 60 × 1,1 = 66 km de A. Vérification : xM = -99 + 165 = 66 km. (Et t = 1,1 h ≥ 0,5 h : la solution est valable.)
5Exercice 5
(Type BAC) Un camion transportant de la bauxite roule à vitesse constante 54 km/h sur une route droite. À la date t = 0, il passe devant un poste de contrôle. Une moto part de ce poste à la date t = 20 s, dans le même sens, à vitesse constante 72 km/h. L'origine des abscisses est le poste.
a) Écris les équations horaires du camion et de la moto (unités SI).
b) Détermine la date et la position où la moto rattrape le camion.
c) Quelle est la distance entre les deux véhicules à t = 40 s ?
d) Représente sur un même graphe l'allure de xC(t) et xM(t) pour 0 ≤ t ≤ 100 s.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 54 km/h = 15 m/s et 72 km/h = 20 m/s. Camion : xC = 15t. Moto : xM = 20(t - 20) = 20t - 400, pour t ≥ 20 s.
b) 15t = 20t - 400 ⇔ 5t = 400 ⇔ t = 80 s. Position : x = 15 × 80 = 1200 m. Vérification : 20 × 80 - 400 = 1200 m. La moto rattrape le camion à 1,2 km du poste, 80 s après le passage du camion.
c) À t = 40 s : xC = 600 m et xM = 800 - 400 = 400 m. Distance : 600 - 400 = 200 m.
d) Deux demi-droites : xC part de l'origine avec une pente 15 m/s ; xM vaut 0 jusqu'à t = 20 s puis monte avec une pente plus forte, 20 m/s. Les deux droites se coupent au point (80 s $; 1200$ m).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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