Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 47
Mouvement circulaire uniforme
Je sais décrire un mouvement circulaire uniforme avec la vitesse angulaire, la période et la fréquence, et calculer son accélération centripète.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Repérer un point sur un cercle par son abscisse angulaire et son abscisse curviligne
- Utiliser les relations v = Rω, T = 2π/ω et f = 1/T
- Écrire l'équation horaire θ = ωt + θ0
- Caractériser le vecteur accélération centripète a = v²/R
Avant de commencer : Notions de cinématique (vitesse, accélération, repère de Frenet) ; le radian et la trigonométrie ; les dérivées de cos et sin.
1Je découvre
Au quartier, le moulin à céréales de Mariama tourne toute la journée : on y moud le maïs et le fonio. Sur la plaque du moteur, elle lit « 1 500 tr/min ». Son petit frère Alpha, lui, fait tourner la roue de son vélo retourné et observe la valve : elle revient toujours au même endroit, à intervalles réguliers.
Alpha demande : « La valve va toujours à la même vitesse, alors son accélération est nulle, non ? » Mariama n'en est pas sûre : si la valve allait tout droit, elle quitterait la roue ! Quelque chose la force à tourner.
Ventilateurs, roues, moulins, aiguilles d'une montre, satellites : les mouvements circulaires sont partout. Pour les décrire, la distance parcourue ne suffit plus ; il faut aussi parler d'angles et de tours.
Comment décrire un mouvement circulaire à vitesse constante, et pourquoi a-t-il quand même une accélération ?
2Je comprends
1. Définition
Un point M a un mouvement circulaire uniforme (MCU) si :
- sa trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R ;
- la valeur de sa vitesse v est constante.
Attention : le vecteur vitesse, lui, n'est pas constant, car sa direction change sans cesse (il reste tangent au cercle).
2. Repérer le point sur le cercle
- Abscisse angulaire θ : angle (OM0, OM) en radians (rad), mesuré à partir d'une position de référence M0.
- Abscisse curviligne s : longueur de l'arc oversetfrownM0M, en mètres.
Ces deux abscisses sont liées par : s = R θ (avec θ en radians).
Rappel : un tour complet correspond à 2π rad, soit 360°.
3. Vitesse angulaire, période, fréquence
La vitesse angulaire est ω = dθdt, en rad/s. En dérivant s = Rθ :
v = R ω
Dans le MCU, ω est constante. On en déduit :
- l'équation horaire : θ(t) = ω t + θ0 (et s = vt + s0) ;
- la période T, durée d'un tour : T = 2πω, en secondes ;
- la fréquence f, nombre de tours par seconde : f = 1T = ω2π, en hertz (Hz).
Conversion importante : si un moteur tourne à N tours par minute, ω = 2π N60 rad/s.
4. L'accélération centripète
Dans le repère de Frenet, a = dvdtT + v2RN. Comme v est constante, dvdt = 0 :
a = v2R N, soit a = v2R = R ω2
Le vecteur accélération est normal (perpendiculaire à la vitesse) et dirigé vers le centre du cercle : on dit qu'il est centripète. C'est la réponse à la question d'Alpha : la valve a une accélération, car la direction de sa vitesse change à chaque instant.
5. Projection sur un axe : un lien avec les oscillations
Dans un repère d'origine O, les coordonnées de M sont x = Rcos(ω t + θ0) et y = Rsin(ω t + θ0). La projection de M sur un diamètre fait donc un mouvement de va-et-vient sinusoïdal. On retrouvera cette forme dans l'étude des oscillations.
En dérivant deux fois : ddotx = -ω2 x et ddoty = -ω2 y, donc a = -ω2 OM : on retrouve une accélération dirigée vers le centre, de norme Rω2.
| Grandeur | Formule | Unité |
|---|---|---|
| abscisse curviligne | s = Rθ | m |
| vitesse angulaire | ω = dθdt | rad/s |
| vitesse linéaire | v = Rω | m/s |
| période | T = 2πω | s |
| fréquence | f = 1T | Hz |
| accélération | a = v2R = Rω2 | m/s² |
Méthode
Pour exploiter un mouvement circulaire uniforme :
- Je convertis la vitesse de rotation en rad/s : ω = 2πN/60 si N est en tr/min.
- Je calcule T = 2π/ω et f = 1/T.
- Je calcule v = Rω avec R en mètres.
- Je calcule a = v²/R = Rω² et je précise que a est centripète.
- Pour une position à une date donnée, j'utilise θ = ωt + θ0.
Exemple
Roue de vélo de rayon R = 0,35 m tournant à 120 tr/min.
ω = 2π × 120 / 60 = 4π ≈ 12,57 rad/s.
T = 2π / ω = 0,5 s ; f = 2 Hz.
Vitesse de la valve (au bord) : v = Rω = 0,35 × 4π = 1,4π ≈ 4,40 m/s.
Accélération : a = Rω² = 0,35 × 16π² = 5,6π² ≈ 55,3 m/s², dirigée vers l'axe de la roue.
Exemple
Une moto aborde un virage circulaire de rayon 50 m à la vitesse constante de 36 km/h.
v = 10 m/s ; a = v²/R = 100 / 50 = 2 m/s² ; ω = v/R = 0,2 rad/s.
Durée pour parcourir un quart de tour (θ = π/2) : t = θ/ω = (π/2)/0,2 ≈ 7,85 s.
Exemple
Aiguille des minutes d'une horloge, longue de 10 cm.
T = 1 h = 3600 s, donc ω = 2π/3600 ≈ 1,75 × 10⁻³ rad/s.
Vitesse de la pointe : v = 0,10 × 1,75 × 10⁻³ ≈ 1,75 × 10⁻⁴ m/s. Un mouvement très lent, mais bien circulaire uniforme.
3Je retiens
Je retiens
MCU : trajectoire circulaire et valeur de la vitesse constante (le vecteur vitesse change de direction).
s = Rθ (θ en rad) ; ω = dθ/dt ; v = Rω.
Équation horaire : θ = ωt + θ0.
T = 2π/ω ; f = 1/T ; si N est en tr/min : ω = 2πN/60.
Accélération centripète : a = v²/R = Rω², dirigée vers le centre.
x = R cos(ωt + θ0) : la projection d'un MCU est un mouvement sinusoïdal.
4Erreurs fréquentes
- Dire que l'accélération est nulle parce que la vitesse est constante en valeur : dans un MCU, a = v²/R ≠ 0.
- Utiliser des degrés dans s = Rθ ou v = Rω : les angles doivent être en radians.
- Oublier de convertir les tours par minute en rad/s (multiplier par 2π et diviser par 60).
- Laisser le rayon en centimètres : v = Rω et a = Rω² exigent R en mètres.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Les pales d'un ventilateur tournent à 900 tr/min. Calcule la vitesse angulaire, la fréquence et la période du mouvement.
Voir le corrigéCacher le corrigé
ω = 2π × 90060 = 30π ≈ 94,2 rad/s. f = 90060 = 15 Hz. T = 115 ≈ 0,067 s.
2Exercice 2
Un point situé sur une pale de ce ventilateur, à 20 cm de l'axe, a un mouvement circulaire uniforme. Calcule sa vitesse linéaire et son accélération. Précise la direction et le sens de l'accélération.
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R = 0,20 m. v = Rω = 0,20 × 30π = 6π ≈ 18,8 m/s. a = Rω2 = 0,20 × 900π2 = 180π2 ≈ 1 776 m/s². L'accélération est normale à la trajectoire, dirigée vers l'axe de rotation (centripète).
3Exercice 3
Un point décrit un cercle de rayon R = 0,5 m selon l'équation horaire θ = 4t + π6 (θ en rad, t en s).
a) Donne la vitesse angulaire et l'abscisse angulaire initiale.
b) Calcule la vitesse linéaire et l'accélération.
c) Combien de tours le point fait-il en 10 s ?
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a) Par identification avec θ = ω t + θ0 : ω = 4 rad/s et θ0 = π6 rad.
b) v = Rω = 0,5 × 4 = 2 m/s ; a = Rω2 = 0,5 × 16 = 8 m/s².
c) En 10 s, l'angle parcouru est Δθ = 4 × 10 = 40 rad, soit 402π ≈ 6,37 tours.
4Exercice 4
On considère un point de l'équateur terrestre dans le référentiel géocentrique. On prend le rayon de la Terre égal à 6 400 km et la durée d'un tour égale à 24 h.
a) Calcule la vitesse angulaire de la Terre.
b) Calcule la vitesse de ce point, puis son accélération centripète.
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a) T = 24 × 3600 = 86 400 s ; ω = 2π86 400 ≈ 7,27 × 10-5 rad/s.
b) v = Rω = 6,4 × 106 × 7,27 × 10-5 ≈ 465 m/s. a = v2R = 46526,4 × 106 ≈ 3,4 × 10-2 m/s². Cette accélération est très faible devant g.
5Exercice 5
(Type BAC) Deux mobiles A et B parcourent un même cercle de rayon R = 2 m, dans le même sens. À t = 0, A est en θA = 0 et B en θB = π rad. Leurs vitesses angulaires constantes sont ωA = π2 rad/s et ωB = π3 rad/s.
a) Écris les équations horaires θA(t) et θB(t).
b) Détermine la date de la première rencontre et la position correspondante.
c) Au bout de combien de temps a lieu la rencontre suivante ?
d) Calcule les vitesses linéaires de A et B.
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a) θA = π2t et θB = π3t + π.
b) A, plus rapide, rattrape B quand il a fait un demi-tour de plus : θA = θB, soit π2t - π3t = π, donc π6t = π et t = 6 s. Position : θA = 3π rad, c'est-à-dire le point d'abscisse angulaire π (diamétralement opposé au point de départ de A). Vérification : θB = 2π + π = 3π.
c) Entre deux rencontres, A doit faire un tour de plus que B : π6Δ t = 2π, donc Δ t = 12 s. La rencontre suivante a lieu à t = 18 s.
d) vA = RωA = 2 × π2 = π ≈ 3,14 m/s ; vB = 2 × π3 ≈ 2,09 m/s.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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