Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 47
Mouvement circulaire non uniforme
Je sais étudier un mouvement circulaire dont la vitesse varie, en calculant l'accélération angulaire et les composantes tangentielle et normale de l'accélération.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'accélération angulaire et distinguer mouvement circulaire uniforme et non uniforme
- Calculer les composantes tangentielle et normale de l'accélération dans le repère de Frenet
- Utiliser les équations du mouvement circulaire uniformément varié
- Déterminer la nature (accéléré ou retardé) d'un mouvement circulaire
Avant de commencer : Mouvement circulaire uniforme (θ, ω, v = Rω, a = v²/R) ; mouvement rectiligne uniformément varié ; repère de Frenet.
1Je découvre
Quand Fatoumata met en marche le moulin du quartier, la meule ne tourne pas tout de suite à pleine vitesse : pendant quelques secondes, elle accélère. Le soir, quand on coupe le courant, la meule continue de tourner en ralentissant, puis s'arrête.
Son grand frère Ibrahima, en Terminale SM, observe un grain de maïs collé sur le bord de la meule. « Pendant le démarrage, ce grain tourne en rond, mais de plus en plus vite. Son accélération ne peut pas être seulement dirigée vers le centre, comme dans le mouvement circulaire uniforme. Il y a forcément une partie qui fait augmenter la vitesse. »
Il se demande aussi combien de tours la meule fait avant de s'arrêter, et comment le calculer sans compter à l'œil.
Comment décrire un mouvement circulaire dont la vitesse varie, et comment calculer son accélération ?
2Je comprends
1. Définitions
Un mouvement est circulaire non uniforme si la trajectoire est un cercle de rayon R mais la valeur de la vitesse varie. La vitesse angulaire ω = dotθ n'est plus constante.
On définit l'accélération angulaire :
ddotθ = dωdt = d2θdt2, en rad/s².
Les relations s = Rθ et v = Rω restent vraies à chaque instant.
2. Accélération dans le repère de Frenet
Dans le repère de Frenet (M, T, N), l'accélération a deux composantes :
- accélération tangentielle : at = dvdt = R ddotθ ; elle traduit la variation de la valeur de la vitesse ;
- accélération normale (centripète) : an = v2R = R ω2 ; elle traduit le changement de direction, toujours dirigée vers le centre.
a = at T + an N et a = √at2 + an2
L'angle varphi entre a et la normale N vérifie tanvarphi = atan.
| Mouvement circulaire uniforme | Mouvement circulaire non uniforme | |
|---|---|---|
| vitesse angulaire | ω constante | ω variable |
| accélération angulaire | ddotθ = 0 | ddotθ ≠ 0 |
| accélération tangentielle | at = 0 | at = Rddotθ ≠ 0 |
| accélération normale | an = Rω2 constante | an = Rω2 variable |
3. Accéléré ou retardé ?
- Si ω et ddotθ ont le même signe (donc at et v aussi) : le mouvement est accéléré.
- S'ils sont de signes contraires : le mouvement est retardé.
4. Le mouvement circulaire uniformément varié
C'est le cas le plus étudié : l'accélération angulaire est constante. Les formules ressemblent exactement à celles du MRUV, en remplaçant x par θ, v par ω et a par ddotθ :
| MRUV | Circulaire uniformément varié |
|---|---|
| v = at + v0 | ω = ddotθ t + ω0 |
| x = 12at2 + v0t + x0 | θ = 12ddotθ t2 + ω0 t + θ0 |
| v2 - v02 = 2a(x - x0) | ω2 - ω02 = 2ddotθ(θ - θ0) |
Dans ce cas, at = Rddotθ est constante, mais an = Rω2 augmente (ou diminue) avec la vitesse : le vecteur accélération n'est donc pas constant.
Il existe aussi des mouvements circulaires non uniformes où ddotθ n'est pas constante : c'est le cas de la masse d'un pendule simple, qui va plus vite en bas qu'aux extrémités de sa course.
Méthode
Pour étudier un mouvement circulaire non uniforme :
- J'écris ou je lis θ(t) (angles en radians, vitesses de rotation en rad/s).
- Je dérive : ω = dθ/dt, puis θ'' = dω/dt.
- À la date demandée, je calcule v = Rω, at = Rθ'' et an = Rω².
- Je calcule a = √(at² + an²).
- Je compare les signes de ω et θ'' pour conclure : accéléré ou retardé.
Exemple
Démarrage d'une meule. Partant du repos, la meule du moulin atteint 600 tr/min en 10 s, avec une accélération angulaire constante.
ωf = 2π × 600/60 = 20π rad/s.
θ'' = (20π − 0)/10 = 2π ≈ 6,28 rad/s².
Angle parcouru : θ = ½ × 2π × 10² = 100π rad, soit 100π/2π = 50 tours.
Pour un grain au bord, à R = 0,10 m, à t = 10 s :
at = Rθ'' = 0,10 × 2π ≈ 0,63 m/s² ; an = Rω² = 0,10 × 400π² = 40π² ≈ 395 m/s².
L'accélération normale est très grande devant l'accélération tangentielle.
Exemple
Arrêt d'un ventilateur. Un ventilateur tourne à 900 tr/min, soit ω0 = 30π rad/s. On le coupe : il s'arrête après 60 tours, avec une décélération angulaire constante.
Angle : Δθ = 60 × 2π = 120π rad.
0 − ω0² = 2θ''Δθ, donc θ'' = −900π²/(240π) = −3,75π ≈ −11,8 rad/s².
Durée : 0 = θ''t + ω0, donc t = 30π/(3,75π) = 8 s.
Vérification : vitesse angulaire moyenne 15π rad/s pendant 8 s donne 120π rad.
Exemple
Équation donnée. Un point décrit un cercle de rayon R = 2 m selon θ = 0,5t² + 2t (SI).
ω = t + 2 et θ'' = 1 rad/s² (constante : mouvement uniformément varié, accéléré car ω et θ'' sont positifs).
À t = 2 s : ω = 4 rad/s ; v = 8 m/s ; at = 2 × 1 = 2 m/s² ; an = 2 × 16 = 32 m/s².
a = √(2² + 32²) = √1028 ≈ 32,1 m/s².
3Je retiens
Je retiens
Mouvement circulaire non uniforme : cercle de rayon R, ω variable ; accélération angulaire θ'' = dω/dt (rad/s²).
Repère de Frenet : at = dv/dt = Rθ'' (tangentielle) ; an = v²/R = Rω² (normale, vers le centre).
a = √(at² + an²).
Uniformément varié (θ'' constante) : ω = θ''t + ω0 ; θ = ½θ''t² + ω0t + θ0 ; ω² − ω0² = 2θ''(θ − θ0).
ω et θ'' de même signe : accéléré ; de signes contraires : retardé.
4Erreurs fréquentes
- Oublier l'accélération normale : même si la vitesse augmente, il y a toujours an = v²/R dans un virage.
- Additionner at et an comme des nombres : il faut utiliser a = √(at² + an²), car les deux composantes sont perpendiculaires.
- Compter des tours dans les formules : θ doit être en radians (1 tour = 2π rad).
- Croire que le vecteur accélération est constant quand θ'' l'est : an change avec ω.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une roue passe du repos à la vitesse angulaire de 120 rad/s en 4 s, avec une accélération angulaire constante.
a) Calcule l'accélération angulaire.
b) Calcule l'angle parcouru pendant ces 4 s et le nombre de tours correspondant.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ddotθ = 120 - 04 = 30 rad/s².
b) θ = 12 × 30 × 42 = 240 rad, soit 2402π ≈ 38,2 tours.
2Exercice 2
L'abscisse angulaire d'un point sur un cercle est θ = 2t2 - 8t + 1 (SI).
a) Calcule ω(t) et ddotθ.
b) À quelle date le point change-t-il de sens de rotation ?
c) Précise la nature du mouvement avant et après cette date.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ω = dθdt = 4t - 8 et ddotθ = 4 rad/s².
b) ω = 0 ⇔ t = 2 s : le point change de sens de rotation à cette date.
c) Pour t < 2 s : ω < 0 et ddotθ > 0, mouvement retardé. Pour t > 2 s : ω > 0 et ddotθ > 0, mouvement accéléré. Dans les deux cas, il est uniformément varié.
3Exercice 3
Un point décrit un cercle de rayon 0,5 m. Il part du repos avec une accélération angulaire constante de 4 rad/s². À la date t = 1,5 s, calcule :
a) la vitesse angulaire et la vitesse linéaire ;
b) les accélérations tangentielle et normale ;
c) la norme de l'accélération.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ω = ddotθ t = 4 × 1,5 = 6 rad/s ; v = Rω = 0,5 × 6 = 3 m/s.
b) at = Rddotθ = 0,5 × 4 = 2 m/s² ; an = Rω2 = 0,5 × 36 = 18 m/s².
c) a = √22 + 182 = √328 ≈ 18,1 m/s².
4Exercice 4
Sur un cercle, un mobile a, à un instant donné, une vitesse de 4 m/s et une accélération de norme 5 m/s² qui fait un angle de 60° avec le vecteur vitesse.
a) Calcule at et an.
b) Déduis-en le rayon du cercle.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La composante tangentielle est la projection sur la direction de la vitesse : at = acos 60° = 5 × 0,5 = 2,5 m/s². La composante normale : an = asin 60° = 5 × 0,866 ≈ 4,33 m/s².
b) an = v2R, donc R = v2an = 164,33 ≈ 3,70 m.
5Exercice 5
(Type BAC) Une moto démarre sans vitesse initiale sur une piste circulaire de rayon R = 100 m. Son accélération tangentielle est constante : at = 2 m/s².
a) Calcule l'accélération angulaire.
b) Au bout de combien de temps la moto atteint-elle 20 m/s ? Quelle distance a-t-elle parcourue sur la piste ?
c) À cet instant, calcule an et la norme de l'accélération.
d) Quelle fraction de tour a-t-elle effectuée ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ddotθ = atR = 2100 = 0,02 rad/s².
b) v = at t donc t = 202 = 10 s. Distance : s = 12at t2 = 12 × 2 × 100 = 100 m.
c) an = v2R = 400100 = 4 m/s² ; a = √22 + 42 = √20 ≈ 4,47 m/s².
d) Un tour mesure 2π R ≈ 628 m. Fraction : 100628 ≈ 0,16 tour. (Ou : θ = sR = 1 rad, et 12π ≈ 0,16.)
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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