Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 47
Rappels de mathématiques
Je sais utiliser les outils mathématiques de la mécanique : projeter un vecteur, dériver, chercher une primitive avec des conditions initiales et résoudre une équation du second degré.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur, et projeter une force sur des axes
- Utiliser la trigonométrie et le produit scalaire
- Dériver une position pour obtenir vitesse et accélération, et intégrer dans l'autre sens avec les conditions initiales
- Résoudre une équation du second degré et reconnaître la solution de x'' + ω²x = 0
Avant de commencer : Les vecteurs, la trigonométrie du triangle rectangle, les dérivées usuelles et le second degré vus en mathématiques en 11e et en Terminale.
1Je découvre
Aïssatou, élève de Terminale SE à Labé, prépare le BAC avec son amie Hawa. Elles comprennent bien la physique : le poids est vertical, la réaction est perpendiculaire au plan… Mais dans l'exercice du plan incliné, elles bloquent sur « projeter le poids sur l'axe Ox ». Et dans l'exercice du ballon, elles trouvent l'équation 5t2 - 4t - 2 = 0 sans savoir laquelle des deux solutions garder.
Leur professeur leur dit : « En mécanique, la moitié des points se perd sur des outils mathématiques. Projeter, dériver, trouver une primitive, résoudre un second degré : si ces gestes sont automatiques, la physique devient simple. »
Cette leçon rassemble les outils dont tu auras besoin dans tout le chapitre de mécanique, puis en électricité.
Quels outils mathématiques faut-il maîtriser pour réussir la mécanique, et comment les utiliser sans se tromper ?
2Je comprends
1. Vecteurs : coordonnées, norme, projection
Dans un repère orthonormé (O, i, j), un vecteur s'écrit u = ux i + uy j. Sa norme est ‖u‖ = √ux2 + uy2.
Si u a pour norme u et fait un angle α avec l'axe Ox :
ux = ucosα et uy = usinα
Projection d'une force. On projette une force sur un axe en multipliant sa norme par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec cet axe, en tenant compte du signe (positif si la force « va » dans le sens de l'axe).
Cas classique du plan incliné d'angle α, avec l'axe Ox parallèle au plan et dirigé vers le bas de la pente, et l'axe Oy perpendiculaire au plan, vers le haut :
- poids : Px = Psinα et Py = -Pcosα ;
- réaction normale : Rx = 0 et Ry = R.
L'angle entre le poids (vertical) et la normale au plan est égal à α : c'est pour cela que le cosinus apparaît sur Oy.
2. Trigonométrie utile
| angle | 0 | 30° (π6) | 45° (π4) | 60° (π3) | 90° (π2) |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
| cos | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
Formules à connaître : cos2 x + sin2 x = 1 ; tan x = sin xcos x ; sin 2x = 2sin xcos x ; cos(π2 - x) = sin x ; 1 + tan2 x = 1cos2 x.
Pour un petit angle exprimé en radians : sinθ ≈ tanθ ≈ θ et cosθ ≈ 1. Conversion : θrad = θdeg × π180.
3. Produit scalaire
u · v = u vcos(u, v) = ux vx + uy vy
Il sert à calculer le travail d'une force : W = F · AB = F × AB × cosα, et à savoir si un mouvement est accéléré (a · v > 0) ou retardé.
4. Dériver : de la position à l'accélération
| fonction f(t) | dérivée f'(t) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| atn | n a tn-1 |
| cos(ω t + varphi) | -ωsin(ω t + varphi) |
| sin(ω t + varphi) | ωcos(ω t + varphi) |
| ekt | k ekt |
En physique, on note souvent la dérivée par rapport au temps avec un point : dotx = dxdt, ddotx = d2xdt2. Ainsi v = dotx et a = ddotx.
5. Primitives : remonter de l'accélération à la position
Quand on connaît l'accélération (grâce aux lois de Newton), on retrouve la vitesse et la position en cherchant des primitives. Chaque primitive fait apparaître une constante, qu'on détermine avec les conditions initiales (valeurs à t = 0).
- Si a est constante : v = at + v0, puis x = 12at2 + v0t + x0.
6. Équation du second degré
at2 + bt + c = 0 : on calcule Δ = b2 - 4ac.
- Si Δ > 0 : deux solutions t = -b ± √Δ2a.
- Si Δ = 0 : une solution t = -b2a.
- Si Δ < 0 : pas de solution réelle.
En physique, on garde seulement la solution qui a un sens : une date positive, postérieure au départ.
7. Une équation différentielle à reconnaître
L'équation ddotx + ω2 x = 0 (avec ω > 0) a pour solutions x(t) = Xmcos(ω t + varphi). Vérification : dotx = -Xmωsin(ω t + varphi), puis ddotx = -Xmω2cos(ω t + varphi) = -ω2 x. Elle reviendra dans les oscillations mécaniques et électriques.
Méthode
Pour passer de l'accélération aux équations horaires :
- Je projette la relation vectorielle sur chaque axe pour obtenir ax, ay.
- Je cherche une primitive : vx(t) = ... + constante ; je fixe la constante avec vx(0).
- Je cherche encore une primitive : x(t) = ... + constante ; je la fixe avec x(0).
- Je fais de même sur l'axe Oy.
- Je vérifie en redérivant que je retrouve bien ax et ay.
Exemple
Projection. Un sac de riz de 50 kg est posé sur une rampe inclinée de α = 30°. On prend g = 10 N/kg, donc P = 500 N.
Axe Ox parallèle à la rampe vers le bas, Oy perpendiculaire vers le haut :
Px = P sin 30° = 500 × 0,5 = 250 N ;
Py = −P cos 30° = −500 × 0,866 ≈ −433 N.
Contrôle : √(250² + 433²) ≈ √(62 500 + 187 489) ≈ √249 989 ≈ 500 N.
Exemple
Dérivées. x = 3t² − 2t + 5 donne v = 6t − 2 puis a = 6.
x = 0,2 cos(5t + π/3) donne v = −0,2 × 5 sin(5t + π/3) = −sin(5t + π/3), puis a = −5 cos(5t + π/3) = −25x.
Exemple
Primitives. Un caillou est lancé vers le haut : az = −10 m/s², vz(0) = 4 m/s, z(0) = 2 m.
vz = −10t + 4 ; z = −5t² + 4t + 2.
Il touche le sol quand z = 0 : 5t² − 4t − 2 = 0. Δ = 16 + 40 = 56 ; √56 ≈ 7,48.
t = (4 + 7,48)/10 ≈ 1,15 s ou t = (4 − 7,48)/10 ≈ −0,35 s.
La date négative est rejetée : le caillou touche le sol à t ≈ 1,15 s.
Exemple
Travail. Mamadou tire une charrette avec une force de 20 N faisant un angle de 60° avec le déplacement, sur 5 m.
W = F × AB × cos 60° = 20 × 5 × 0,5 = 50 J.
3Je retiens
Je retiens
Coordonnées d'un vecteur de norme u faisant l'angle α avec Ox : ux = u cos α ; uy = u sin α ; u = √(ux² + uy²).
Plan incliné (Ox le long du plan, vers le bas) : Px = P sin α ; Py = −P cos α.
cos²x + sin²x = 1 ; sin 2x = 2 sin x cos x ; petits angles en rad : sin θ ≈ θ.
Produit scalaire : u·v = uv cos(u, v) = ux vx + uy vy ; travail W = F·AB.
Dérivées : (cos(ωt + φ))' = −ω sin(ωt + φ) ; (sin(ωt + φ))' = ω cos(ωt + φ).
Primitives : chaque constante se fixe avec les conditions initiales.
Second degré : Δ = b² − 4ac ; on garde la solution qui a un sens physique.
ẍ + ω²x = 0 a pour solutions x = Xm cos(ωt + φ).
4Erreurs fréquentes
- Mettre sin à la place de cos (ou l'inverse) dans une projection : trace toujours l'angle sur le schéma avant d'écrire.
- Calculer avec la calculatrice en mode radian alors que l'angle est en degrés (ou l'inverse).
- Oublier la constante d'intégration : v = −10t est faux si la vitesse initiale n'est pas nulle.
- Garder une date négative ou une longueur négative parmi les solutions d'un second degré.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un ballon part avec une vitesse de 10 m/s faisant un angle de 30° au-dessus de l'horizontale. Calcule les coordonnées vx et vy de sa vitesse initiale.
Voir le corrigéCacher le corrigé
vx = 10cos 30° = 10 × 0,866 ≈ 8,66 m/s ; vy = 10sin 30° = 5 m/s.
2Exercice 2
Calcule la vitesse et l'accélération (dérivées première et seconde) de chaque fonction :
a) y = -4,9t2 + 12t
b) x = 5sin(2t)
c) θ = 3t2 + t
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a) doty = -9,8t + 12 ; ddoty = -9,8.
b) dotx = 10cos(2t) ; ddotx = -20sin(2t).
c) dotθ = 6t + 1 ; ddotθ = 6.
3Exercice 3
Un mobile a une accélération constante a = 2 m/s². À t = 0, sa vitesse est -3 m/s et son abscisse 1 m. Établis v(t) puis x(t).
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v(t) = 2t + C1 et v(0) = -3, donc C1 = -3 : v = 2t - 3. Puis x(t) = t2 - 3t + C2 avec x(0) = 1, donc x = t2 - 3t + 1. Vérification : dotx = 2t - 3 et ddotx = 2.
4Exercice 4
Résous 5t2 + 10t - 40 = 0 et donne la seule solution qui peut être une date.
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On divise par 5 : t2 + 2t - 8 = 0. Δ = 4 + 32 = 36, √Δ = 6. t = -2 + 62 = 2 ou t = -2 - 62 = -4. Seule t = 2 s peut être une date (après le départ).
5Exercice 5
(Type BAC)
a) Calcule la norme du vecteur a = 3 i - 4 j et l'angle qu'il fait avec l'axe Ox.
b) On donne u = 2i + j et v = i + 3j. Calcule u · v, puis l'angle entre les deux vecteurs.
c) Vérifie que x = 0,1cos(10t) est solution de ddotx + 100x = 0.
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a) a = √9 + 16 = 5. cosα = 35 = 0,6 et ay < 0, donc le vecteur est sous l'axe : α ≈ -53,1°.
b) u · v = 2 × 1 + 1 × 3 = 5. u = √5, v = √10, donc cosθ = 5√50 = 55√2 = √22 et θ = 45°.
c) dotx = -sin(10t) ; ddotx = -10cos(10t). Or 100x = 10cos(10t). Donc ddotx + 100x = -10cos(10t) + 10cos(10t) = 0. C'est bien une solution (avec ω = 10 rad/s).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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