Satellites et planètes : lois de Kepler

1. Les référentiels

• Le mouvement des planètes s'étudie dans le référentiel héliocentrique : centré sur le Soleil, avec trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines.
• Le mouvement des satellites de la Terre s'étudie dans le référentiel géocentrique : centré sur la Terre, avec trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines. Il ne tourne pas avec la Terre.

On considère ces référentiels comme galiléens pour les durées étudiées.

2. Les trois lois de Kepler

À partir des observations très précises de Tycho Brahe, l'astronome allemand Johannes Kepler a énoncé trois lois (les deux premières publiées en 1609, la troisième en 1619).

Première loi (loi des orbites). Dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Une ellipse est caractérisée par son demi-grand axe a. Le point le plus proche du Soleil est le périhélie, le plus éloigné l'aphélie. Un cercle est une ellipse particulière dont les deux foyers sont confondus au centre ; les orbites de la plupart des planètes sont presque circulaires.

Deuxième loi (loi des aires). Le segment qui relie le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Conséquence : la planète va plus vite près du Soleil (périhélie) et plus lentement loin du Soleil (aphélie). Pour une orbite circulaire, la vitesse est constante.

Troisième loi (loi des périodes). Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport du carré de la période de révolution T au cube du demi-grand axe a est le même :

T²a³ = constante

Ces lois s'appliquent aussi aux satellites d'une même planète (la Lune et les satellites artificiels autour de la Terre, par exemple), avec une autre constante.

3. Étude d'un satellite en orbite circulaire

On étudie un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon r = R_T + h autour de la Terre (masse M_T), dans le référentiel géocentrique galiléen.

Force : la seule force est l'attraction gravitationnelle de la Terre, dirigée vers le centre O :

F = GM_Tmr²

Deuxième loi de Newton : F = ma, donc a = mathcalG : l'accélération est centripète, d'intensité GM_Tr², et ne dépend pas de la masse du satellite.

Le mouvement est uniforme. Dans la base de Frenet, l'accélération tangentielle a_t = dvdt est nulle, car la force est entièrement normale. Donc v est constante : le mouvement circulaire est uniforme.

Vitesse. L'accélération normale vaut v²r : v²r = GM_Tr², d'où :

v = √GM_Tr = √GM_TR_T + h

Avec GM_T = g₀R_T², on peut aussi écrire v = R_T√g₀R_T + h.

Période. Un tour de longueur 2π r est parcouru à vitesse constante : T = 2π rv, d'où :

T = 2π√r³GM_T

Troisième loi de Kepler retrouvée. En élevant au carré : T²r³ = 4π²GM_T. Le rapport ne dépend que de la masse de l'astre attracteur : c'est la troisième loi de Kepler, démontrée par la loi de Newton.

4. Le satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire reste en permanence au-dessus du même point de l'équateur. Il faut donc :

• une orbite circulaire, dans le plan de l'équateur ;
• un sens de rotation identique à celui de la Terre ;
• une période égale à la période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique : le jour sidéral, T = 86 164 s (environ 23 h 56 min).

5. L'impesanteur dans un satellite

Dans la station spatiale, le champ gravitationnel vaut encore environ 8,7 N/kg. Pourtant les astronautes flottent. En effet, la station et les astronautes ont exactement la même accélération a = mathcalG, quelle que soit leur masse : ils « tombent » ensemble autour de la Terre, en chute libre permanente. Aucun objet ne presse sur le plancher : c'est l'état d'impesanteur. Il ne signifie pas absence de gravitation.