Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 47
Le mouvement des planètes
Je sais appliquer les lois de Newton et de Kepler au mouvement des planètes pour calculer leurs vitesses, leurs périodes et la masse du Soleil.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Étudier le mouvement d'une planète dans le référentiel héliocentrique
- Utiliser la troisième loi de Kepler pour comparer les planètes et prévoir une période
- Déterminer la masse d'un astre à partir du mouvement d'un corps qui tourne autour de lui
- Exploiter la loi des aires pour une orbite elliptique
Avant de commencer : Les lois de Kepler, l'étude d'un satellite en orbite circulaire, la loi de la gravitation universelle et le mouvement circulaire uniforme.
1Je découvre
Au bord du fleuve Niger, à Kouroussa, Alpha observe le ciel du soir avec son grand-père. Celui-ci lui montre l'« étoile du berger », très brillante près de l'horizon juste après le coucher du soleil. Alpha, qui est en Terminale SM, sait que ce n'est pas une étoile mais la planète Vénus. Il remarque aussi, plus haut dans le ciel, un point lumineux qui ne scintille pas : c'est Jupiter.
Son grand-père lui explique qu'on voit Vénus le soir pendant des mois, puis le matin, puis de nouveau le soir. Alpha se dit que chaque planète a son propre rythme de voyage autour du Soleil. Mais comment le calculer ? Et comment peut-on connaître la masse du Soleil, alors que personne ne peut le peser ?
Comment les lois de Newton et de Kepler permettent-elles de décrire le mouvement des planètes et de « peser » le Soleil ?
2Je comprends
1. Le cadre : le référentiel héliocentrique
Le mouvement des planètes s'étudie dans le référentiel héliocentrique : son origine est le centre du Soleil et ses axes pointent vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes. On le suppose galiléen.
On fait les hypothèses suivantes :
- le Soleil (masse MS = 1,99 × 1030 kg) est à symétrie sphérique et beaucoup plus massif que chaque planète ;
- on néglige les attractions des planètes entre elles devant celle du Soleil ;
- on assimile en première approche les orbites à des cercles de rayon r centrés sur le Soleil (elles sont presque circulaires).
Unité astronomique. Pour les distances du système solaire, on utilise l'unité astronomique : 1 UA ≈ 1,496 × 1011 m, qui correspond à la distance moyenne Terre-Soleil.
2. Vitesse et période d'une planète
La planète, de masse m, n'est soumise qu'à l'attraction du Soleil, dirigée vers le centre du Soleil. Le raisonnement est exactement celui du satellite :
- deuxième loi de Newton : a = GMSr2 vers le Soleil (accélération centripète) ;
- la force est normale, donc at = 0 : le mouvement circulaire est uniforme ;
- v2r = GMSr2 donne :
v = √GMSr T = 2π√r3GMS T2r3 = 4π2GMS
Plus une planète est loin du Soleil, plus elle est lente et plus sa période est longue.
Exemple
Vitesse de la Terre sur son orbite : r = 1,496 × 10¹¹ m, G = 6,67 × 10⁻¹¹ SI, M_S = 1,99 × 10³⁰ kg.
GM_S = 6,67 × 10⁻¹¹ × 1,99 × 10³⁰ = 1,327 × 10²⁰ m³/s².
v = √(1,327 × 10²⁰ / 1,496 × 10¹¹) = √(8,87 × 10⁸) ≈ 2,98 × 10⁴ m/s.
La Terre file à près de 30 km/s, soit plus de 100 000 km/h autour du Soleil.
3. La troisième loi de Kepler pour les planètes
Le rapport T2a3 (avec a le demi-grand axe, égal au rayon pour un cercle) ne dépend que de la masse du Soleil : il est le même pour toutes les planètes. Si on exprime T en années et a en UA, la Terre donne 1213 = 1, donc pour toutes les planètes :
T(années)2 = a(UA)3 soit T = a3/2
| Planète | a (UA) | T (années) | T2a3 |
|---|---|---|---|
| Mercure | 0,387 | 0,241 | 1,00 |
| Vénus | 0,723 | 0,615 | 1,00 |
| Terre | 1,000 | 1,000 | 1,00 |
| Mars | 1,524 | 1,881 | 1,00 |
| Jupiter | 5,203 | 11,86 | 1,00 |
| Saturne | 9,537 | 29,45 | 1,00 |
Le calcul de la dernière colonne, fait avec les valeurs mesurées, donne 1,00 à mieux que 0,3 % près pour chaque planète : la troisième loi est remarquablement vérifiée.
Exemple
Prévoir une période. Une comète a une orbite de demi-grand axe a = 17,8 UA.
T = a^(3/2) = 17,8 × √17,8 ≈ 17,8 × 4,219 ≈ 75,1 ans.
Elle revient donc près du Soleil tous les 75 ans environ.
4. Peser le Soleil (et les autres astres)
La troisième loi fournit une méthode pour déterminer la masse d'un astre : il suffit de connaître la période T et le rayon r de l'orbite d'un corps qui tourne autour de lui :
M = 4π2 r3GT2
Exemple
Masse du Soleil à partir du mouvement de la Terre : r = 1,496 × 10¹¹ m ; T = 365,25 jours = 3,156 × 10⁷ s.
r³ = (1,496 × 10¹¹)³ ≈ 3,348 × 10³³ m³ ; T² ≈ 9,960 × 10¹⁴ s².
M_S = 4π² r³ / (G T²) = 39,48 × 3,348 × 10³³ / (6,67 × 10⁻¹¹ × 9,960 × 10¹⁴)
M_S ≈ 1,322 × 10³⁵ / 6,643 × 10⁴ ≈ 1,99 × 10³⁰ kg.
Le Soleil est environ 333 000 fois plus massif que la Terre.
La même méthode donne la masse de Jupiter à partir de l'orbite d'un de ses satellites, ou celle de la Terre à partir de l'orbite de la Lune.
5. Les orbites elliptiques et la loi des aires
En réalité, les orbites sont des ellipses peu aplaties. La distance Terre-Soleil varie d'environ 1,471 × 1011 m au périhélie (début janvier) à environ 1,521 × 1011 m à l'aphélie (début juillet). Le demi-grand axe est la moyenne de ces deux distances : a = 1,471 + 1,5212 × 1011 = 1,496 × 1011 m.
Remarque : la Terre est plus proche du Soleil en janvier. Les saisons ne sont donc pas dues à la distance au Soleil, mais à l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre.
D'après la loi des aires, pendant une très courte durée Δ t, l'aire balayée au périhélie et à l'aphélie est celle d'un triangle fin : 12rP vP Δ t = 12rA vA Δ t, donc :
rP vP = rA vA ⇒ vPvA = rArP
Pour la Terre : vPvA = 1,5211,471 ≈ 1,034. La Terre va environ 3,4 % plus vite en janvier qu'en juillet.
Méthode
Pour résoudre un exercice sur les planètes :
- Je me place dans le référentiel héliocentrique galiléen ; une seule force : l'attraction du Soleil.
- Orbite circulaire : mouvement uniforme, v = √(GM_S/r), T = 2π√(r³/GM_S).
- Pour comparer deux planètes : T₁²/a₁³ = T₂²/a₂³ (en années et en UA, T² = a³).
- Pour trouver la masse de l'astre central : M = 4π²r³/(GT²), avec T en secondes et r en mètres.
- Pour une ellipse : a = (r_P + r_A)/2 et r_P v_P = r_A v_A.
3Je retiens
Je retiens
Référentiel héliocentrique : centré sur le Soleil, axes vers des étoiles lointaines, supposé galiléen.
Orbite circulaire : mouvement uniforme, v = √(GM_S/r), T = 2π√(r³/GM_S).
Troisième loi : T²/a³ = 4π²/(GM_S), identique pour toutes les planètes ; en années et en UA : T² = a³.
Masse d'un astre central : M = 4π²r³/(GT²).
1 UA ≈ 1,496 × 10¹¹ m ; M_S ≈ 1,99 × 10³⁰ kg.
Ellipse : a = (r_P + r_A)/2 ; loi des aires : r_P v_P = r_A v_A, la planète est plus rapide au périhélie.
4Erreurs fréquentes
- Mélanger les unités dans M = 4π²r³/(GT²) : T doit être en secondes et r en mètres, pas en jours ni en UA.
- Utiliser T² = a³ avec des unités autres que les années et les UA : cette forme simplifiée n'est valable qu'avec la Terre comme référence.
- Croire que l'été vient de ce que la Terre est plus près du Soleil : c'est l'inclinaison de l'axe qui crée les saisons.
- Appliquer la même constante T²/a³ à la Lune et aux planètes : la constante dépend de l'astre central (Terre ou Soleil).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Mars est à 1,524 UA du Soleil. Calcule sa période de révolution en années, puis en jours.
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T = a3/2 = 1,524 × √1,524 ≈ 1,524 × 1,2345 ≈ 1,881 an, soit 1,881 × 365,25 ≈ 687 jours.
2Exercice 2
Vénus a une période de 224,7 jours. Calcule le rayon de son orbite en UA (période de la Terre : 365,25 jours).
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T = 224,7365,25 ≈ 0,6152 an. a3 = T2 ≈ 0,3785, donc a = sqrt[3]0,3785 ≈ 0,723 UA.
3Exercice 3
Calcule la vitesse orbitale de Mars (r = 1,524 UA, 1 UA = 1,496 × 1011 m, GMS = 1,327 × 1020 SI). Compare-la à celle de la Terre (29,8 km/s).
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r = 1,524 × 1,496 × 1011 ≈ 2,280 × 1011 m. v = √1,327 × 10202,280 × 1011 = √5,82 × 108 ≈ 2,41 × 104 m/s, soit 24,1 km/s. Mars, plus éloignée, est plus lente que la Terre.
4Exercice 4
Io, un satellite de Jupiter, tourne sur une orbite pratiquement circulaire de rayon 4,217 × 108 m en 1,769 jour. Calcule la masse de Jupiter (G = 6,67 × 10-11 SI).
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T = 1,769 × 86 400 ≈ 1,528 × 105 s ; T2 ≈ 2,336 × 1010 s². r3 = (4,217 × 108)3 ≈ 7,499 × 1025 m³. MJ = 4π2 r3GT2 = 39,48 × 7,499 × 10256,67 × 10-11 × 2,336 × 1010 = 2,961 × 10271,558 ≈ 1,90 × 1027 kg.
5Exercice 5
(Type BAC) On étudie le mouvement de la Terre autour du Soleil.
a) Précise le référentiel d'étude et la force qui s'exerce sur la Terre.
b) En supposant l'orbite circulaire de rayon r, montre que le mouvement est uniforme et établis l'expression de la période T en fonction de G, MS et r.
c) Déduis-en l'expression de la masse du Soleil et calcule-la avec r = 1,496 × 1011 m, T = 365,25 jours et G = 6,67 × 10-11 SI.
d) En réalité, l'orbite est une ellipse : la distance Terre-Soleil vaut 1,471 × 1011 m au périhélie et 1,521 × 1011 m à l'aphélie. En utilisant la loi des aires, calcule le rapport des vitesses au périhélie et à l'aphélie.
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a) Référentiel héliocentrique, supposé galiléen. La Terre n'est soumise (en négligeant les autres planètes) qu'à l'attraction du Soleil, F = GMSmr2, dirigée vers le centre du Soleil.
b) Newton : a = Fm est centripète ; at = dvdt = 0, donc le mouvement est uniforme. v2r = GMSr2 donne v = √GMSr et T = 2π rv = 2π√r3GMS.
c) MS = 4π2 r3GT2. Avec T = 3,156 × 107 s : MS = 39,48 × 3,348 × 10336,67 × 10-11 × 9,960 × 1014 ≈ 1,99 × 1030 kg.
d) Loi des aires : rP vP = rA vA, donc vPvA = rArP = 1,5211,471 ≈ 1,034. La Terre est environ 3,4 % plus rapide au périhélie.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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