Karamö, le prof virtuelLeçon 42 sur 47
Quelques cas particuliers de circuits
Je sais reconnaître et traiter les cas particuliers des circuits en courant sinusoïdal : dipôles purs, circuit LC série, résonance d'intensité et circuit LC parallèle (circuit bouchon).
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Retrouver rapidement Z et φ pour un dipôle purement résistif, inductif ou capacitif
- Traiter un circuit LC série idéal
- Obtenir et exploiter la résonance d'intensité (choix de C, surtension, puissance maximale)
- Expliquer le fonctionnement d'un circuit LC parallèle à sa fréquence propre
Avant de commencer : Les circuits parcourus par des courants sinusoïdaux (construction de Fresnel), les caractéristiques du circuit (Z, cos φ, P = UI cos φ), les oscillations forcées (résonance, facteur de qualité).
1Je découvre
Au lycée de Boké, Sékou et Mariama préparent le BAC en refaisant d'anciens sujets. Dans chaque exercice sur le courant alternatif, ils retrouvent les mêmes situations : « le circuit ne contient pas de résistance », « on choisit C pour que la tension et l'intensité soient en phase », « les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur sont égales »…
Mariama remarque qu'on peut répondre très vite à ces questions si l'on reconnaît le cas particulier, sans refaire tout le calcul de l'impédance. Sékou, lui, bute sur un sujet où le condensateur et la bobine sont branchés en parallèle, et où l'intensité fournie par le générateur devient presque nulle pour une certaine fréquence, alors que chaque branche est traversée par un courant important.
Quels sont les cas particuliers de circuits à connaître, et comment les traiter rapidement et sans erreur ?
2Je comprends
1. Les dipôles « purs »
Ce sont les briques de base. L'intensité est prise en référence.
| Dipôle | Z | varphi | cosvarphi | Puissance active |
|---|---|---|---|---|
| purement résistif (R) | R | 0 | 1 | P = UI = RI2 |
| purement inductif (bobine idéale) | Lω | +π2 | 0 | P = 0 |
| purement capacitif | 1Cω | -π2 | 0 | P = 0 |
Un appareil de chauffage (fer à repasser, bouilloire, lampe à incandescence) se comporte comme un dipôle purement résistif.
2. Le circuit LC série idéal (sans résistance)
Les vecteurs de Fresnel des tensions de la bobine (Lω Im, vers le haut) et du condensateur (ImCω, vers le bas) sont opposés en direction. Leur somme est verticale :
Z = |Lω - 1Cω| et varphi = +π2 si Lω > 1Cω, varphi = -π2 si Lω < 1Cω.
La tension totale vaut la différence des tensions efficaces : U = |UL - UC|. Le circuit ne consomme aucune puissance active. Si Lω = 1Cω, on aurait Z = 0 : l'intensité ne serait limitée que par les résistances inévitables des fils et de la bobine (cas théorique, dangereux en pratique).
3. La résonance d'intensité du circuit RLC série
C'est le cas particulier le plus important au BAC. Il se produit quand :
Lω = 1Cω, soit LCω2 = 1.
On peut l'obtenir de trois façons :
- en réglant la fréquence du générateur : f0 = 12π√LC ;
- en choisissant la capacité, à fréquence et inductance fixées : C = 1Lω2 ;
- en choisissant l'inductance : L = 1Cω2.
Conséquences, toutes équivalentes
- Z = R (minimale) et I0 = UR (maximale) ;
- varphi = 0, cosvarphi = 1 : tension et intensité en phase ;
- UR = U : toute la tension du générateur se retrouve aux bornes de la résistance ;
- UL = UC (tensions efficaces égales, vecteurs opposés qui s'annulent) ;
- puissance active maximale : P0 = U2R ;
- surtension si Q = Lω0R > 1 : UC = UL = QU.
Réciproquement, si l'énoncé dit que « u et i sont en phase », que « UL = UC » ou que « le facteur de puissance vaut 1 », tu sais que le circuit est à la résonance.
Cas d'une bobine réelle (r, L) en série avec un condensateur : à la résonance, Z = r (plus R s'il y en a une). La tension aux bornes de la bobine n'est plus égale à UC : elle vaut I0√r2 + L2ω02, un peu plus que UC.
4. Le circuit LC parallèle (circuit bouchon)
Une bobine idéale et un condensateur sont branchés en parallèle sous la tension u = Umcos(ω t). Cette fois, c'est la tension qui est commune : on la prend comme référence, et la loi des nœuds donne i = iL + iC.
- Dans la bobine : ILm = UmLω, intensité en retard de π2 sur u.
- Dans le condensateur : ICm = Cω Um, intensité en avance de π2 sur u.
Les deux intensités sont en opposition de phase : Im = |Cω - 1Lω| Um.
À la pulsation ω0 = 1√LC, les deux courants ont la même amplitude et s'annulent : le générateur ne fournit aucun courant (en théorie), alors que le courant circule entre la bobine et le condensateur. Le circuit se comporte comme une impédance infinie : il « bouche » la fréquence f0. Avec des composants réels, l'intensité n'est pas tout à fait nulle, mais elle est minimale. Les circuits bouchons servent à bloquer ou à sélectionner une fréquence dans les récepteurs radio et les filtres.
- même intensité dans tous les dipôles
- Z minimale, égale à R
- intensité fournie maximale
- surtension aux bornes de L et C
- même tension aux bornes des deux branches
- Z maximale (infinie en théorie)
- intensité fournie minimale (nulle en théorie)
- surintensité dans les branches L et C
Méthode
Pour traiter un cas particulier de circuit :
- Je repère le montage : série (même intensité, j'additionne les tensions en vecteurs) ou parallèle (même tension, j'additionne les intensités en vecteurs).
- Je repère l'indice de résonance : « en phase », « cos φ = 1 », « U_L = U_C », « intensité maximale », « puissance maximale ».
- J'écris la condition LCω² = 1 et j'en tire l'inconnue (f, L ou C).
- J'utilise les conséquences : Z = R, I₀ = U/R, U_R = U, P = U²/R, U_C = U_L = Q·U.
- Je vérifie l'ordre de grandeur (une capacité en µF, une inductance en dixièmes de henry, une surtension possible).
Exemple
Une bobine idéale (L = 0,5 H) est en série avec un conducteur ohmique sur le réseau (220 V, 50 Hz). Quelle capacité faut-il ajouter en série pour que u et i soient en phase ?
Condition de résonance : LCω² = 1, donc C = 1/(Lω²).
ω = 100π ≈ 314,2 rad/s, ω² ≈ 98 696 rad²/s².
C = 1/(0,5 × 98 696) ≈ 2,03 × 10⁻⁵ F ≈ 20,3 µF.
Exemple
Circuit LC série idéal : L = 0,2 H, C = 50 µF, U = 12 V efficaces, 50 Hz.
Lω ≈ 0,2 × 314,16 ≈ 62,83 Ω ; 1/(Cω) = 1/(5 × 10⁻⁵ × 314,2) ≈ 63,66 Ω.
Z = |62,83 − 63,66| ≈ 0,83 Ω : on est tout près de la résonance ! I = 12/0,83 ≈ 14 A.
En pratique, la résistance de la bobine (même quelques ohms) limitera ce courant, mais les tensions U_L et U_C seraient énormes : c'est pourquoi on ne néglige jamais la résistance près de la résonance.
Exemple
Circuit bouchon : L = 0,1 H et C = 10 µF en parallèle sous U = 10 V efficaces.
Fréquence propre : ω₀ = 1/√(10⁻⁶) = 1000 rad/s, f₀ ≈ 159 Hz. À f₀ : I_L = U/(Lω₀) = 10/100 = 0,1 A et I_C = UCω₀ = 10 × 10⁻⁵ × 1000 = 0,1 A. Le générateur débite I = 0,1 − 0,1 = 0.
À 100 Hz (ω ≈ 628,3 rad/s) : I_L = 10/62,83 ≈ 0,159 A ; I_C = 10 × 10⁻⁵ × 628,3 ≈ 0,063 A ; I ≈ 0,096 A (circuit inductif : la branche bobine l'emporte).
3Je retiens
Je retiens
Dipôles purs : R (Z = R, φ = 0) ; bobine (Z = Lω, φ = +π/2) ; condensateur (Z = 1/(Cω), φ = −π/2) ; seuls les résistifs consomment.
LC série idéal : Z = |Lω − 1/(Cω)|, φ = ±π/2, U = |U_L − U_C|.
Résonance du RLC série : LCω² = 1 ⇔ Z = R ⇔ φ = 0 ⇔ cos φ = 1 ⇔ U_L = U_C ⇔ I et P maximales.
À la résonance : I₀ = U/R, P₀ = U²/R, U_C = U_L = Q·U avec Q = Lω₀/R.
Pour obtenir la résonance à la fréquence f : C = 1/(Lω²) ou L = 1/(Cω²).
LC parallèle à f₀ : les courants des deux branches s'annulent, le circuit bloque la fréquence f₀ (circuit bouchon).
4Erreurs fréquentes
- En série à la résonance, écrire U = U_R + U_L + U_C : les tensions U_L et U_C s'annulent en vecteurs, donc U = U_R.
- Oublier que ω² intervient : C = 1/(Lω²), pas 1/(Lω). Vérifie que tu trouves une capacité réaliste (quelques µF à quelques dizaines de µF à 50 Hz).
- Confondre les deux montages : en série à la résonance l'intensité est maximale ; en parallèle (bouchon) elle est minimale.
- Avec une bobine réelle, croire que la tension aux bornes de la bobine égale U_C à la résonance : c'est seulement vrai pour la partie inductive Lω₀I₀.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète : pour un dipôle purement capacitif, Z = …, varphi = … et P = … ; pour un dipôle purement résistif de résistance 50 Ω sous 220 V, I = … et P = ….
Voir le corrigéCacher le corrigé
Dipôle purement capacitif : Z = 1Cω, varphi = -π2, P = 0.
Dipôle purement résistif : I = 22050 = 4,4 A ; P = UI = 220 × 4,4 = 968 W.
2Exercice 2
Un circuit LC série idéal (L = 0,1 H, C = 20 µ F) est alimenté sous 10 V efficaces, 50 Hz.
a) Calcule Lω, 1Cω, puis Z.
b) Calcule l'intensité efficace, UL et UC. Vérifie que U = |UL - UC|.
c) Le circuit est-il inductif ou capacitif ?
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a) Lω = 0,1 × 314,2 ≈ 31,4 Ω ; 1Cω = 12 × 10-5 × 314,2 ≈ 159,2 Ω ; Z = |31,4 - 159,2| ≈ 127,7 Ω.
b) I = 10127,7 ≈ 0,0783 A ; UL = 31,4 × 0,0783 ≈ 2,46 V ; UC = 159,2 × 0,0783 ≈ 12,46 V. On a bien |2,46 - 12,46| = 10 V = U.
c) 1Cω > Lω : le circuit est capacitif, varphi = -π2.
3Exercice 3
Une bobine réelle (r = 20 Ω, L = 0,4 H) est montée en série avec un condensateur de capacité C réglable, sous une tension de 24 V efficaces, 50 Hz.
a) Calcule C pour que l'intensité soit maximale.
b) Calcule alors l'intensité efficace.
c) Calcule la tension efficace aux bornes du condensateur, puis celle aux bornes de la bobine. Commente.
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a) L'intensité est maximale à la résonance : C = 1Lω2 = 10,4 × 98 696 ≈ 2,53 × 10-5 F ≈ 25,3 µ F.
b) À la résonance, Z = r = 20 Ω : I0 = 2420 = 1,2 A.
c) UC = I0Cω = Lω I0 = 0,4 × 314,2 × 1,2 ≈ 150,8 V.
Bobine : Zb = √r2 + L2ω2 = √400 + 15 791 ≈ 127,2 Ω ; Ub = 127,2 × 1,2 ≈ 152,7 V.
Ces tensions sont plus de six fois supérieures à la tension du générateur : c'est la surtension (Q = Lωr ≈ 6,3). Il faut choisir un condensateur capable de supporter plus de 150 V efficaces.
4Exercice 4
Une bobine idéale (L = 0,1 H) et un condensateur (C = 10 µ F) sont montés en parallèle sous 10 V efficaces de fréquence réglable.
a) Calcule la fréquence pour laquelle l'intensité fournie par le générateur est nulle.
b) À 100 Hz, calcule l'intensité dans chaque branche et l'intensité fournie par le générateur.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f0 = 12π√LC = 12π√10-6 = 10002π ≈ 159 Hz.
b) ω = 2π × 100 ≈ 628,3 rad/s. IL = ULω = 1062,83 ≈ 0,159 A ; IC = UCω = 10 × 10-5 × 628,3 ≈ 0,063 A. Les deux courants sont en opposition de phase : I = 0,159 - 0,063 ≈ 0,096 A.
5Exercice 5
(Type BAC) Un circuit RLC série est alimenté par un GBF de tension efficace U = 12 V. En faisant varier la fréquence, on trouve que l'intensité est maximale pour f0 = 500 Hz. À cette fréquence, un voltmètre indique UR = 12 V aux bornes du conducteur ohmique (R = 30 Ω) et UC = 60 V aux bornes du condensateur.
a) Justifie que UR = U à cette fréquence. Que vaut UL ?
b) Calcule l'intensité efficace I0.
c) Calcule le facteur de qualité et la largeur de la bande passante.
d) Calcule l'inductance L et la capacité C.
e) Calcule la puissance consommée par le circuit à 500 Hz.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) L'intensité est maximale : le circuit est à la résonance, donc Z = R et UR = RI0 = ZI0 = U = 12 V. À la résonance, Lω0 = 1Cω0, donc UL = UC = 60 V (bobine supposée sans résistance).
b) I0 = URR = 1230 = 0,4 A.
c) Q = UCU = 6012 = 5 ; Δ f = f0Q = 5005 = 100 Hz.
d) Lω0 = ULI0 = 600,4 = 150 Ω ; ω0 = 2π × 500 ≈ 3142 rad/s ; L = 1503142 ≈ 0,048 H.
1Cω0 = 150 Ω, donc C = 1150 × 3142 ≈ 2,12 × 10-6 F ≈ 2,1 µ F.
e) À la résonance, cosvarphi = 1 : P = UI0 = 12 × 0,4 = 4,8 W (ou U2R = 14430 = 4,8 W).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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