Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 33
Systèmes d'équations linéaires
Je sais résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution, par combinaison et par la méthode des déterminants, et un système simple à trois inconnues.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre un système 2 × 2 par substitution et par combinaison linéaire
- Calculer un déterminant et appliquer la méthode de Cramer
- Reconnaître un système sans solution ou avec une infinité de solutions et l'interpréter graphiquement
- Mettre un problème en système et résoudre un système 3 × 3 par élimination
Avant de commencer : Les équations du premier degré, le calcul sur les fractions et l'équation d'une droite y = ax + b.
1Je découvre
Au grand marché de Kankan, Fanta achète 2 kg de riz et 3 litres d'huile : elle paie 68 000 GNF. Juste après, Sékou achète chez la même commerçante 4 kg de riz et 1 litre d'huile : il paie 46 000 GNF.
Le soir, Fanta se demande : « Combien coûte exactement un kilo de riz, et combien coûte un litre d'huile ? » Elle a deux informations, mais deux prix inconnus.
Elle appelle x le prix d'un kilo de riz et y le prix d'un litre d'huile, en GNF. Les deux achats donnent :
2x + 3y = 68 000 et 4x + y = 46 000.
Une seule de ces équations ne suffit pas : 2x + 3y = 68 000 a une infinité de couples solutions. C'est en utilisant les deux équations en même temps qu'on trouve la réponse. On dit qu'on résout un système.
Comment trouver les valeurs de deux (ou trois) inconnues qui vérifient plusieurs équations à la fois ?
2Je comprends
1. Définitions
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues s'écrit :
begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases
où a, b, c, a', b', c' sont des réels donnés. Une solution est un couple (x ;y) qui vérifie les deux équations en même temps. Résoudre le système, c'est trouver tous ces couples.
On présente trois méthodes. Elles donnent toujours le même résultat : choisis la plus rapide selon le système.
2. La méthode par substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis on la remplace dans l'autre équation. Elle est pratique quand un coefficient vaut 1 ou -1.
Exemple
Le problème de Fanta : 2x + 3y = 68 000 et 4x + y = 46 000.
De la seconde équation : y = 46 000 − 4x.
On remplace dans la première : 2x + 3(46 000 − 4x) = 68 000
2x + 138 000 − 12x = 68 000
−10x = −70 000, donc x = 7 000.
Puis y = 46 000 − 4 × 7 000 = 46 000 − 28 000 = 18 000.
Vérification : 2 × 7 000 + 3 × 18 000 = 14 000 + 54 000 = 68 000.
S = {(7 000 ; 18 000)} : le kilo de riz coûte 7 000 GNF et le litre d'huile 18 000 GNF.
3. La méthode par combinaison (ou addition)
On multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que, en les additionnant, une inconnue disparaisse.
Exemple
Résoudre : 3x + 2y = 12 et 5x − 2y = 4.
Les coefficients de y sont opposés : on additionne membre à membre.
8x = 16, donc x = 2.
On remplace dans la première : 6 + 2y = 12, soit 2y = 6 et y = 3.
Vérification dans la seconde : 5 × 2 − 2 × 3 = 10 − 6 = 4.
S = {(2 ; 3)}.
4. La méthode des déterminants (méthode de Cramer)
Le déterminant du système est le nombre :
D = beginvmatrix a & b
a' & b' endvmatrix = ab' - a'b.
On calcule aussi Dx (on remplace la colonne des x par les seconds membres) et Dy (on remplace la colonne des y) :
Dx = beginvmatrix c & b
c' & b' endvmatrix = cb' - c'b et Dy = beginvmatrix a & c
a' & c' endvmatrix = ac' - a'c.
Théorème. Si D ≠ 0, le système a une solution unique : x = DxD et y = DyD.
Exemple
Résoudre : 2x − 3y = 1 et 4x + y = 9.
D = 2 × 1 − 4 × (−3) = 2 + 12 = 14 (non nul : solution unique).
Dx = 1 × 1 − 9 × (−3) = 1 + 27 = 28.
Dy = 2 × 9 − 4 × 1 = 18 − 4 = 14.
x = 28/14 = 2 et y = 14/14 = 1.
Vérification : 2 × 2 − 3 × 1 = 1 et 4 × 2 + 1 = 9.
S = {(2 ; 1)}.
Méthode
Pour résoudre un système 2 × 2 par les déterminants :
- J'écris le système avec les x, puis les y, dans le premier membre et les nombres dans le second.
- Je calcule D = ab′ − a′b. S'il est nul, je passe au paragraphe 5.
- Je calcule Dx = cb′ − c′b et Dy = ac′ − a′c.
- J'en déduis x = Dx/D et y = Dy/D.
- Je vérifie dans les deux équations et j'écris S = {(x ; y)}.
5. Quand le déterminant est nul
Si D = 0, les deux équations ont des coefficients proportionnels. Deux cas se présentent :
- Aucune solution : les équations se contredisent. Exemple : x + 2y = 3 et 2x + 4y = 5. En multipliant la première par 2, on obtient 2x + 4y = 6, ce qui est incompatible avec 2x + 4y = 5. S = ∅.
- Une infinité de solutions : les équations sont équivalentes. Exemple : x + 2y = 3 et 2x + 4y = 6. La seconde est la première multipliée par 2. Tous les couples (3 - 2y ;y) sont solutions.
6. L'interprétation graphique
Chaque équation ax + by = c (avec b ≠ 0) est l'équation d'une droite. Résoudre le système revient à chercher le point d'intersection des deux droites.
- D ≠ 0 : les droites sont sécantes, un seul point commun.
- D = 0 et aucune solution : droites parallèles distinctes.
- D = 0 et infinité de solutions : droites confondues.
7. Un système à trois inconnues
Avec trois inconnues x, y, z, il faut en général trois équations. On utilise la méthode d'élimination (méthode du pivot de Gauss) : on élimine une inconnue dans deux équations pour se ramener à un système 2 × 2.
Exemple
Résoudre : x + y + z = 6 (L1) ; x − y + 2z = 5 (L2) ; 2x + y − z = 1 (L3).
On élimine x.
L2 − L1 : −2y + z = −1.
L3 − 2L1 : −y − 3z = −11.
De la première : z = 2y − 1. On remplace : −y − 3(2y − 1) = −11, soit −7y + 3 = −11, donc y = 2.
Puis z = 2 × 2 − 1 = 3 et, avec L1, x = 6 − 2 − 3 = 1.
Vérification dans L3 : 2 + 2 − 3 = 1.
S = {(1 ; 2 ; 3)}.
- 1Choisir les inconnues et leur unité (x = …, y = …).
- 2Traduire chaque information de l'énoncé par une équation.
- 3Résoudre le système par la méthode la plus adaptée.
- 4Vérifier la solution dans toutes les équations et son sens dans la situation.
- 5Répondre par une phrase.
3Je retiens
Je retiens
Une solution d'un système 2 × 2 est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations.
Substitution : on isole une inconnue et on la remplace dans l'autre équation.
Combinaison : on multiplie puis on additionne pour éliminer une inconnue.
D = ab′ − a′b ; Dx = cb′ − c′b ; Dy = ac′ − a′c. Si D ≠ 0 : x = Dx/D et y = Dy/D.
Si D = 0 : aucune solution (droites parallèles) ou une infinité (droites confondues).
Trois inconnues : on élimine une inconnue pour revenir à un système 2 × 2.
4Erreurs fréquentes
- Donner seulement x, sans calculer y : la solution d'un système est un couple.
- Se tromper dans l'ordre du calcul de D : c'est ab′ − a′b (diagonale principale moins l'autre diagonale), en respectant les signes des coefficients.
- Oublier de multiplier le second membre quand on multiplie une équation : 2 × (x + 2y = 3) donne 2x + 4y = 6.
- Ne vérifier que dans une seule équation : une erreur peut passer inaperçue ; on vérifie dans toutes.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous par substitution : x + 3y = 11 et 2x - y = 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
De la première : x = 11 - 3y. Dans la seconde : 2(11 - 3y) - y = 1, soit 22 - 7y = 1, donc y = 3. Puis x = 11 - 9 = 2.
Vérification : 2 × 2 - 3 = 1. S = {(2 ;3)}.
2Exercice 2
Résous par combinaison : 4x + 3y = 10 et 2x - 5y = -8.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On multiplie la seconde équation par 2 : 4x - 10y = -16. On soustrait à la première : (4x + 3y) - (4x - 10y) = 10 - (-16), soit 13y = 26 et y = 2.
Puis 4x + 6 = 10, donc x = 1. Vérification : 2 × 1 - 5 × 2 = -8. S = {(1 ;2)}.
3Exercice 3
Résous par la méthode des déterminants : 3x + 2y = 7 et 5x - 4y = 19.
Voir le corrigéCacher le corrigé
D = 3 × (-4) - 5 × 2 = -12 - 10 = -22 ≠ 0.
Dx = 7 × (-4) - 19 × 2 = -28 - 38 = -66 ; Dy = 3 × 19 - 5 × 7 = 57 - 35 = 22.
x = -66-22 = 3 et y = 22-22 = -1.
Vérification : 9 - 2 = 7 et 15 + 4 = 19. S = {(3 ;-1)}.
4Exercice 4
Calcule le déterminant puis donne le nombre de solutions de chaque système.
a) 2x - y = 3 et -4x + 2y = -6
b) 2x - y = 3 et -4x + 2y = 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) D = 2 × 2 - (-4) × (-1) = 4 - 4 = 0. La seconde équation est la première multipliée par -2 (car -2 × 3 = -6) : les équations sont équivalentes, il y a une infinité de solutions, les couples (x ;2x - 3).
b) D = 0 aussi. En multipliant la première par -2, on obtient -4x + 2y = -6, incompatible avec -4x + 2y = 1. Aucune solution : S = ∅ (droites parallèles).
5Exercice 5
(Type BAC) Pour un concert organisé à Kankan, les billets adultes coûtent 15 000 GNF et les billets élèves 10 000 GNF. On a vendu 250 billets pour une recette totale de 3 000 000 GNF. Combien de billets de chaque sorte a-t-on vendus ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit x le nombre de billets adultes et y le nombre de billets élèves.
x + y = 250 et 15 000x + 10 000y = 3 000 000, soit en divisant par 1 000 : 15x + 10y = 3 000.
Avec y = 250 - x : 15x + 10(250 - x) = 3 000, soit 5x + 2 500 = 3 000, donc x = 100 et y = 150.
On a vendu 100 billets adultes et 150 billets élèves. Vérification : 1 500 000 + 1 500 000 = 3 000 000 GNF.
6Exercice 6
Résous le système : x + y + z = 10 ; 2x + y - z = 2 ; x - y + z = 4.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On note L1, L2, L3 les trois équations.
L1 − L3 : 2y = 6, donc y = 3.
L1 devient x + z = 7 et L2 devient 2x - z = -1. En additionnant : 3x = 6, donc x = 2, puis z = 5.
Vérification : 2 + 3 + 5 = 10 ; 4 + 3 - 5 = 2 ; 2 - 3 + 5 = 4. S = {(2 ;3 ;5)}.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
