Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 33
Ensembles de nombres
Je sais classer un nombre dans les ensembles N, Z, D, Q et R, utiliser les symboles ∈ et ⊂, et travailler avec les intervalles.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les ensembles N, Z, D, Q, R et leurs inclusions
- Déterminer à quels ensembles appartient un nombre donné, en le simplifiant d'abord
- Écrire et représenter un intervalle de R
- Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles
Avant de commencer : Les opérations sur les nombres relatifs, les fractions et les racines carrées vues au collège.
1Je découvre
Alpha, élève de Terminale à Labé, s'amuse à noter tous les nombres qu'il rencontre dans sa journée :
- ses 3 frères et sœurs ;
- la température de -2 degrés affichée dans un reportage sur un pays froid ;
- les 0,5 kg de sucre achetés à la boutique ;
- le 13 du champ que son père confie à chacun de ses trois fils ;
- la diagonale d'un carreau carré de 1 m de côté, qui mesure √2 m d'après le théorème de Pythagore ;
- le nombre π, utilisé pour calculer le tour d'une jarre ronde.
Il remarque que ces nombres ne sont pas de la même « famille ». On peut compter des frères, mais pas avoir -2 frères. On peut écrire 0,5 exactement avec une virgule, mais pas 13 ni √2.
Comment les mathématiciens rangent-ils tous les nombres dans des ensembles emboîtés, et comment écrire correctement qu'un nombre appartient à un ensemble ?
2Je comprends
1. Les cinq grands ensembles de nombres
Les entiers naturels : ℕ = {0 ;1 ;2 ;3 ;…}. Ce sont les nombres qui servent à compter.
Les entiers relatifs : ℤ = {… ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;…}. On ajoute les opposés des entiers naturels.
Les nombres décimaux : ⅅ. Un nombre est décimal s'il peut s'écrire a10n avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ. Autrement dit, il a un nombre fini de chiffres après la virgule. Exemples : 0,5 = 510 ; -3,75 = -375100.
Les nombres rationnels : ℚ. Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire pq avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ^* (entier non nul). Exemples : 13 ; -74 ; 5 = 51.
Les nombres réels : ℝ. Ce sont tous les nombres qui correspondent à un point d'une droite graduée : les rationnels et les irrationnels, comme √2, √5 ou π.
2. Les inclusions
Chaque ensemble est contenu dans le suivant :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- 1N : les entiers naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3…
- 2Z : on ajoute les entiers négatifs −1 ; −2…
- 3D : on ajoute les nombres à virgule finie (0,5 ; −3,75…)
- 4Q : on ajoute les quotients d'entiers comme 1/3 ou −2/7
- 5R : on ajoute les irrationnels comme √2 ou π
Symboles à ne pas confondre :
- ∈ (« appartient à ») relie un nombre à un ensemble : -3 ∈ ℤ, √2 ∉ ℚ.
- ⊂ (« est inclus dans ») relie deux ensembles : ℤ ⊂ ℚ.
Notations utiles : une étoile enlève le zéro (ℝ^* = ℝ setminus {0}) ; le signe + ou - garde les nombres positifs ou négatifs (ℝ_+ = réels positifs ou nuls, ℤ_- = entiers négatifs ou nuls).
3. Toujours simplifier avant de classer
Un nombre peut avoir une écriture « compliquée » et appartenir à un petit ensemble. Il faut d'abord le simplifier.
Exemple
Classer les nombres : 12/4 ; −√9 ; −7/2 ; 2/3 ; √16 ; √5.
12/4 = 3 : il appartient à N (donc aussi à Z, D, Q, R).
−√9 = −3 : il appartient à Z mais pas à N.
−7/2 = −3,5 : il appartient à D mais pas à Z.
2/3 = 0,666… : il appartient à Q mais pas à D.
√16 = 4 : il appartient à N.
√5 n'est pas rationnel : il appartient seulement à R.
4. Pourquoi 1/3 n'est pas décimal
Supposons que 13 = a10n avec a entier. Alors 3a = 10n. Donc 3 diviserait 10n = 2n × 5n. Or les seuls facteurs premiers de 10n sont 2 et 5 : 3 ne le divise pas. C'est impossible, donc 13 ∉ ⅅ.
5. Pourquoi √2 n'est pas rationnel (raisonnement par l'absurde)
Supposons que √2 = pq, fraction irréductible (p et q sans diviseur commun autre que 1). Alors 2 = p2q2, donc p2 = 2q2 : p2 est pair, donc p est pair (le carré d'un impair est impair). On écrit p = 2k : 4k2 = 2q2, soit q2 = 2k2, donc q est pair aussi. Alors p et q sont tous deux divisibles par 2 : la fraction n'était pas irréductible. C'est une contradiction, donc √2 ∉ ℚ.
On admet de même que π est irrationnel. La valeur 3,14 n'en est qu'une valeur approchée.
6. Les intervalles de R
Soient a et b deux réels avec a < b.
| Ensemble des x tels que… | Intervalle | Nom |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ;b] | fermé |
| a < x < b | ]a ;b[ | ouvert |
| a ≤ x < b | [a ;b[ | semi-ouvert |
| a < x ≤ b | ]a ;b] | semi-ouvert |
| x ≥ a | [a ;+∞[ | non borné |
| x < b | ]-∞ ;b[ | non borné |
On note aussi ℝ = ]-∞ ;+∞[ et ℝ_+ = [0 ;+∞[.
7. Intersection et réunion
- L'intersection I ∩ J (« I inter J ») est l'ensemble des nombres qui sont à la fois dans I et dans J.
- La réunion I ∪ J (« I union J ») est l'ensemble des nombres qui sont dans I ou dans J (au moins un des deux).
Méthode
Pour trouver I ∩ J ou I ∪ J :
- Je représente les deux intervalles sur une même droite graduée, avec des couleurs ou des hachures différentes.
- Pour I ∩ J, je garde la partie couverte deux fois ; pour I ∪ J, tout ce qui est couvert au moins une fois.
- Je regarde chaque borne : elle est incluse dans I ∩ J seulement si elle est incluse dans les deux intervalles ; elle est incluse dans I ∪ J si elle l'est dans l'un des deux.
- J'écris le résultat avec les crochets corrects.
Exemple
I = [−2 ; 5[ et J = ]1 ; 7].
Partie commune : de 1 à 5. 1 est exclu de J, 5 est exclu de I : I ∩ J = ]1 ; 5[.
Réunion : de −2 à 7, sans trou. −2 est inclus dans I, 7 est inclus dans J : I ∪ J = [−2 ; 7].
Exemple
K = ]−∞ ; 0] et L = [3 ; +∞[.
Aucun nombre n'est à la fois inférieur ou égal à 0 et supérieur ou égal à 3 : K ∩ L = ∅.
La réunion a un « trou » entre 0 et 3 : K ∪ L = ]−∞ ; 0] ∪ [3 ; +∞[, qu'on ne peut pas écrire comme un seul intervalle.
3Je retiens
Je retiens
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Décimal : a/10ⁿ (nombre fini de chiffres après la virgule). Rationnel : p/q avec q ≠ 0.
Irrationnels : √2, √3, √5, π… Ils sont réels mais pas rationnels.
∈ relie un nombre à un ensemble ; ⊂ relie deux ensembles.
Toujours simplifier un nombre avant de le classer (12/4 = 3 ∈ N).
Intervalle : crochet tourné vers le nombre s'il est inclus, vers l'extérieur sinon ; toujours ouvert en ±∞.
I ∩ J : dans les deux à la fois ; I ∪ J : dans l'un au moins.
4Erreurs fréquentes
- Écrire N ∈ Z : entre deux ensembles on utilise ⊂ (N ⊂ Z) ; ∈ est réservé aux éléments (2 ∈ Z).
- Classer −√9 parmi les irrationnels parce qu'il y a une racine : −√9 = −3, c'est un entier relatif.
- Croire que 0,333 et 1/3 sont égaux : 0,333 n'est qu'une valeur approchée, 1/3 = 0,333… a une infinité de chiffres.
- Oublier qu'un entier est aussi un décimal, un rationnel et un réel : 5 ∈ N, mais aussi 5 ∈ D, 5 ∈ Q et 5 ∈ R.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète avec ∈ ou ∉.
a) -4 … ℕ ; b) 153 … ℕ ; c) 0,125 … ⅅ ; d) 27 … ⅅ ; e) √25 … ℤ ; f) π … ℚ.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) -4 ∉ ℕ (négatif). b) 153 = 5 ∈ ℕ. c) 0,125 = 1251 000 ∈ ⅅ. d) 27 = 0,285714… a une infinité de chiffres : 27 ∉ ⅅ (voir exercice 5). e) √25 = 5 ∈ ℤ. f) π ∉ ℚ (π est irrationnel).
2Exercice 2
Pour chaque nombre, donne le plus petit ensemble (ℕ, ℤ, ⅅ, ℚ ou ℝ) auquel il appartient :
-186 ; 38 ; 56 ; √49 ; √3 ; (√7)2 ; -0,04.
Voir le corrigéCacher le corrigé
-186 = -3 : ℤ. 38 = 0,375 : ⅅ. 56 = 0,8333… : ℚ. √49 = 7 : ℕ. √3 : ℝ (irrationnel). (√7)2 = 7 : ℕ. -0,04 = -4100 : ⅅ.
3Exercice 3
Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des réels x tels que :
a) -1 < x ≤ 4 ; b) x ≥ 2,5 ; c) x < -3 ; d) 0 ≤ x < 10.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ]-1 ;4] ; b) [2,5 ;+∞[ ; c) ]-∞ ;-3[ ; d) [0 ;10[.
4Exercice 4
On donne A = [-3 ;4], B = ]1 ;6[ et C = ]-∞ ;-1[. Détermine A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C et B ∩ C.
Voir le corrigéCacher le corrigé
A ∩ B : les nombres communs vont de 1 (exclu de B) à 4 (inclus dans les deux) : A ∩ B = ]1 ;4].
A ∪ B : de -3 (inclus) à 6 (exclu) sans trou : A ∪ B = [-3 ;6[.
A ∩ C : de -3 (inclus dans A et dans C) à -1 (exclu de C) : A ∩ C = [-3 ;-1[.
B ∩ C : B commence après 1 et C s'arrête avant -1 : B ∩ C = ∅.
5Exercice 5
(Type BAC) a) Montre que 720 est un nombre décimal.
b) En t'inspirant de la démonstration faite pour 13, montre que 27 n'est pas décimal.
c) Le nombre √12√3 est-il irrationnel ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 720 = 7 × 520 × 5 = 35100 = 0,35. C'est bien de la forme a10n : 720 ∈ ⅅ.
b) Supposons 27 = a10n avec a entier. Alors 2 × 10n = 7a, donc 7 diviserait 2 × 10n = 2n+1 × 5n. Or les seuls facteurs premiers de ce nombre sont 2 et 5 : 7 ne le divise pas. Contradiction : 27 ∉ ⅅ.
c) √12√3 = √123 = √4 = 2. Ce n'est pas un irrationnel : c'est un entier naturel. Il ne faut pas se fier à la présence de racines.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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