Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 33
Calcul dans R : les puissances
Je sais utiliser les règles de calcul sur les puissances, y compris les exposants négatifs, et écrire un nombre en notation scientifique.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la définition de aⁿ pour n entier relatif
- Appliquer les règles de calcul sur les puissances pour simplifier une expression
- Écrire un nombre en notation scientifique et calculer avec des puissances de 10
- Utiliser les puissances pour modéliser une croissance par multiplication répétée
Avant de commencer : Le calcul sur les fractions (leçon précédente) et les nombres relatifs.
1Je découvre
Hawa, élève à Siguiri, reçoit sur son téléphone une information importante sur la date d'une réunion de l'association des élèves. Elle la transmet à 3 camarades. Chacun d'eux la transmet à son tour à 3 nouveaux camarades, et ainsi de suite.
À la première étape, 3 élèves reçoivent le message. À la deuxième, 3 × 3 = 9. À la troisième, 3 × 3 × 3 = 27. Hawa se demande combien d'élèves le recevront à la dixième étape. Écrire 3 × 3 × 3 × … dix fois est long ; on écrit plus simplement 310.
Au même moment, son frère Lansana lit dans son livre de géographie que la superficie de la Guinée est d'environ 245 857 km², et que la distance de la Terre au Soleil est d'environ 150 millions de kilomètres. Pour comparer ou calculer avec de si grands nombres, on utilise aussi les puissances, cette fois de 10.
Quelles sont les règles de calcul sur les puissances, et comment les utiliser pour simplifier des calculs et écrire des nombres très grands ou très petits ?
2Je comprends
1. Définitions
Soit a un nombre réel et n un entier naturel non nul.
- an = underbracea × a × … × an facteurs. On lit « a puissance n » ; n est l'exposant.
- Par convention, a1 = a et, pour a ≠ 0, a0 = 1.
- Pour a ≠ 0 : a-n = 1an. Un exposant négatif indique un inverse.
Exemples : 25 = 32 ; 50 = 1 ; 2-3 = 123 = 18 ; 10-2 = 1100 = 0,01.
2. Le signe d'une puissance
- Si a > 0, an > 0.
- Si a < 0 : an est positif si n est pair, négatif si n est impair. Ainsi (-2)4 = 16 et (-2)3 = -8.
Attention à la place des parenthèses : (-3)2 = (-3) × (-3) = 9, mais -32 = -(3 × 3) = -9. Sans parenthèses, la puissance ne s'applique qu'au 3.
3. Les règles de calcul
Pour tous réels a et b non nuls et tous entiers relatifs m et n :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de puissances d'un même nombre | am × an = am+n | 23 × 24 = 27 |
| Quotient | aman = am-n | 5652 = 54 |
| Puissance d'une puissance | (am)n = amn | (32)3 = 36 |
| Puissance d'un produit | (ab)n = an bn | (2x)3 = 8x3 |
| Puissance d'un quotient | (ab)n = anbn | (23)2 = 49 |
Une conséquence utile : (ab)-n = (ba)n. Par exemple (23)-2 = (32)2 = 94.
Il n'existe aucune règle pour une somme : (a + b)2 ≠ a2 + b2 et 23 + 24 ≠ 27.
Méthode
Pour simplifier une expression avec des puissances :
- Je décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers (6 = 2 × 3, 12 = 2² × 3…).
- Je regroupe les puissances d'un même nombre.
- J'applique les règles : j'additionne les exposants pour un produit, je les soustrais pour un quotient, je les multiplie pour une puissance de puissance.
- J'écris le résultat sous la forme demandée (puissance, fraction ou entier).
Exemple
Calculer A = (2³ × 2⁻⁵)/2⁻⁴.
Numérateur : 2³ × 2⁻⁵ = 2^(3 − 5) = 2⁻².
A = 2⁻²/2⁻⁴ = 2^(−2 − (−4)) = 2² = 4.
Exemple
Calculer B = (3²)³ × 3⁻⁴.
(3²)³ = 3⁶, donc B = 3⁶ × 3⁻⁴ = 3² = 9.
Exemple
Simplifier C = (6³ × 2⁻²)/(3⁴ × 2).
On décompose : 6³ = (2 × 3)³ = 2³ × 3³.
Numérateur : 2³ × 3³ × 2⁻² = 2¹ × 3³. Dénominateur : 3⁴ × 2¹.
C = 2^(1 − 1) × 3^(3 − 4) = 2⁰ × 3⁻¹ = 1/3.
Vérification : 6³ × 2⁻² = 216/4 = 54 ; 3⁴ × 2 = 162 ; 54/162 = 1/3.
4. Les puissances de 10 et la notation scientifique
10n = 1underbrace00…0n zéros et 10-n = 0,underbrace0…0n - 1 zéros1.
Multiplier par 10n déplace la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10-n la déplace de n rangs vers la gauche.
La notation scientifique d'un nombre décimal positif est son écriture sous la forme a × 10n, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
- 245 857 = 2,45857 × 105 (on a déplacé la virgule de 5 rangs vers la gauche).
- 150 000 000 = 1,5 × 108.
- 0,000 72 = 7,2 × 10-4.
Exemple
Calculer D = (5 × 10³ × 6 × 10⁻⁵)/(1,5 × 10²) et donner le résultat en notation scientifique.
On regroupe les nombres et les puissances de 10 :
D = (5 × 6/1,5) × 10^(3 − 5 − 2) = 20 × 10⁻⁴.
20 n'est pas compris entre 1 et 10 : 20 = 2 × 10¹, donc D = 2 × 10⁻³.
Vérification : 5 000 × 0,000 06 = 0,3 et 0,3/150 = 0,002.
5. Les puissances pour modéliser une croissance
Quand une quantité est multipliée par un même nombre à chaque étape, on voit apparaître des puissances. Dans l'exemple de Hawa, le nombre d'élèves qui reçoivent le message à l'étape n est 3n.
À la dixième étape : 310 = 35 × 35 = 243 × 243 = 59 049 élèves (en théorie). C'est ce qu'on appelle une croissance exponentielle. Tu retrouveras cette idée dans les leçons sur les suites géométriques, les intérêts composés et la fonction exponentielle.
3Je retiens
Je retiens
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs) ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0).
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
Aucune règle pour une somme : (a + b)² ≠ a² + b².
(−a)ⁿ est positif si n est pair, négatif si n est impair ; −3² = −9 mais (−3)² = 9.
Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
4Erreurs fréquentes
- Multiplier les exposants au lieu de les additionner : 2³ × 2⁴ = 2⁷, et non 2¹².
- Mélanger des bases différentes : 2³ × 3² n'est pas 6⁵ ; on ne regroupe que des puissances d'un même nombre (ou d'un même exposant : 2³ × 3³ = 6³).
- Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif : 2⁻³ = 1/8, qui est positif.
- Oublier les parenthèses : −2⁴ = −16 alors que (−2)⁴ = 16.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris sous la forme d'une seule puissance.
a) 53 × 54 ; b) 7873 ; c) (23)4 ; d) 35 × 3-7 ; e) 25 × 55.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 53+4 = 57 ; b) 78-3 = 75 ; c) 23 × 4 = 212 ; d) 35 + (-7) = 3-2 ; e) même exposant : (2 × 5)5 = 105.
2Exercice 2
Calcule.
A = 25 × 2-3 ; B = (-1)2026 ; C = -32 + (-3)2 ; D = (23)-2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
A = 25 - 3 = 22 = 4.
B = 1 car 2026 est pair.
C = -9 + 9 = 0.
D = (32)2 = 94.
3Exercice 3
Simplifie (a et b sont des réels non nuls).
a) E = 122 × 3-123 × 32
b) F = (a3 b-2)2 × a-4 b5
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a) 122 = (22 × 3)2 = 24 × 32. Numérateur : 24 × 32 × 3-1 = 24 × 31. Dénominateur : 23 × 32.
E = 24-3 × 31-2 = 2 × 3-1 = 23.
Vérification : 144 ÷ 38 × 9 = 4872 = 23.
b) (a3 b-2)2 = a6 b-4, donc F = a6 b-4 × a-4 b5 = a6-4 b-4+5 = a2 b.
4Exercice 4
a) Écris en notation scientifique : 0,000 0345 et 45 600 000.
b) Calcule G = 4 × 105 × 3 × 10-26 × 10-3 et donne le résultat en notation scientifique.
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a) 0,000 0345 = 3,45 × 10-5 ; 45 600 000 = 4,56 × 107.
b) G = 4 × 36 × 105 - 2 - (-3) = 2 × 106.
Vérification : 400 000 × 0,03 = 12 000 et 12 000 ÷ 0,006 = 2 000 000.
5Exercice 5
(Type BAC) Mariama crée un petit élevage de poules à Dabola. Elle commence avec 25 poules et estime que, grâce aux couvées, son effectif double chaque année.
a) Combien de poules aura-t-elle au bout de 1, 2, puis 3 ans ?
b) Montre qu'au bout de n années, l'effectif est 25 × 2n.
c) Combien de poules aura-t-elle au bout de 5 ans ?
d) Son enclos peut accueillir au plus 1 000 poules. Au bout de combien d'années sera-t-il trop petit ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Au bout d'un an : 25 × 2 = 50 ; de deux ans : 50 × 2 = 100 ; de trois ans : 200.
b) Chaque année, l'effectif est multiplié par 2. Au bout de n années, on a multiplié n fois par 2 : l'effectif est 25 × 2 × 2 × … × 2 = 25 × 2n.
c) 25 × 25 = 25 × 32 = 800 poules.
d) 25 × 26 = 25 × 64 = 1 600 > 1 000, alors que 800 ≤ 1 000. L'enclos sera trop petit au bout de 6 ans.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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