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Mathématiques · Terminale SS Prépare le BAC

Leçon 11 sur 33

Fonctions usuelles

Je connais l'ensemble de définition, les variations et la courbe des fonctions affine, carré, cube, inverse, racine carrée et valeur absolue, et je sais m'en servir pour comparer, encadrer et résoudre.

  • 1 h
  • 5 exercices corrigés
  • 2 schémas
  • QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

  • Connaître les propriétés et la courbe des six fonctions usuelles
  • Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs
  • Utiliser le sens de variation d'une fonction usuelle pour comparer ou encadrer des nombres
  • Résoudre graphiquement ou par le calcul des équations et inéquations simples comme x² ≤ 9 ou 1/x > 2

Avant de commencer : Les leçons « Les fonctions » et « Ensemble de définition d'une fonction », les encadrements et les intervalles.

1Je découvre

À Nzérékoré, deux entreprises de transport proposent des courses en tricycle pour livrer les marchandises des commerçants. L'entreprise A demande 10 000 GNF de prise en charge, puis 1 500 GNF par kilomètre. L'entreprise B ne demande pas de prise en charge, mais 2 500 GNF par kilomètre.

Mariama, commerçante, doit faire livrer régulièrement des sacs de riz. Elle se demande quelle entreprise choisir. En appelant x la distance en kilomètres, elle obtient deux prix : fA(x) = 1 500x + 10 000 et fB(x) = 2 500x. Ce sont deux fonctions très simples, dont les courbes sont des droites.

Au lycée, on retrouve sans cesse une petite famille de fonctions de référence : les fonctions affines, la fonction carré, la fonction cube, la fonction inverse, la fonction racine carrée et la fonction valeur absolue. Les connaître par cœur, c'est gagner du temps sur toutes les études de fonctions du BAC.

Quelles sont les fonctions usuelles, quelles sont leurs propriétés, et comment s'en servir pour comparer des nombres ou résoudre un problème ?

2Je comprends

1. Les fonctions affines

Une fonction affine est définie sur ℝ par f(x) = ax + b, où a et b sont des réels. Sa courbe est une droite :

  • a est le coefficient directeur (la pente) ; b est l'ordonnée à l'origine (f(0) = b).
  • Si a > 0, f est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante.
  • Cas particuliers : si b = 0, f(x) = ax est linéaire (situation de proportionnalité) ; sa droite passe par l'origine.

Calcul de a à partir de deux valeurs. Si f(x1) = y1 et f(x2) = y2 avec x1 ≠ x2 :

a = y2 - y1x2 - x1 (on divise l'accroissement des images par l'accroissement des x).

Exemple

Trouver la fonction affine f telle que f(1) = 3 et f(4) = 9.

a = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2.

f(x) = 2x + b et f(1) = 3 donnent 2 + b = 3, donc b = 1.

f(x) = 2x + 1. Vérification : f(4) = 8 + 1 = 9.

2. La fonction carré : x ↦ x²

  • Définie sur ℝ, paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
  • Décroissante sur ]-∞ ;0], croissante sur [0 ;+∞[ ; minimum 0 en 0.
  • Sa courbe est une parabole de sommet O.

3. La fonction cube : x ↦ x³

  • Définie sur ℝ, impaire (symétrique par rapport à l'origine).
  • Strictement croissante sur ℝ ; x3 a le même signe que x.
−2−1,5−1−0,500,511,52−4−3−2−101234y = x²y = x³
La parabole y = x² (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et la courbe y = x³ (symétrique par rapport à l'origine). Elles se croisent en (0 ; 0) et (1 ;

4. La fonction inverse : x ↦ 1/x

  • Définie sur ℝ^* = ]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[ (0 est interdit), impaire.
  • Décroissante sur ]-∞ ;0[ et décroissante sur ]0 ;+∞[.
  • Sa courbe est une hyperbole en deux branches, symétriques par rapport à l'origine.

Attention : on ne peut pas dire que x mapsto 1x est décroissante sur ℝ^* tout entier. Par exemple -1 < 1 et 1-1 = -1 < 1 = 11 : l'ordre est conservé ici. La décroissance vaut sur chacun des deux intervalles séparément.

5. La fonction racine carrée : x ↦ √x

  • Définie sur [0 ;+∞[ ; strictement croissante sur cet intervalle.
  • √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3.
  • Sa courbe est une demi-parabole « couchée ».
0,511,522,533,5400,511,522,533,54Ay = √(x)y = 1/x
Pour x > 0 : la courbe de √x monte, celle de 1/x descend ; elles se coupent en A(1 ; 1).

6. La fonction valeur absolue : x ↦ |x|

  • Définie sur ℝ, paire : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
  • Décroissante sur ]-∞ ;0], croissante sur [0 ;+∞[ ; minimum 0 en 0.
  • Sa courbe est formée de deux demi-droites en forme de « V ».

7. Tableau récapitulatif

FonctionDfParitéVariations
ax + bℝ—croissante si a > 0, décroissante si a < 0
x2ℝpairedécroissante sur ]-∞ ;0], croissante sur [0 ;+∞[
x3ℝimpairecroissante sur ℝ
1xℝ^*impairedécroissante sur ]-∞ ;0[ et sur ]0 ;+∞[
√x[0 ;+∞[—croissante
lvert x rvertℝpairedécroissante sur ]-∞ ;0], croissante sur [0 ;+∞[

8. Utiliser le sens de variation

Une fonction croissante sur un intervalle conserve l'ordre ; une fonction décroissante l'inverse. On s'en sert pour comparer des nombres sans les calculer, et pour encadrer.

Méthode

Pour comparer f(a) et f(b) sans calculatrice :

  1. Je reconnais la fonction usuelle f en jeu (carré, inverse, racine…).
  2. Je vérifie que a et b sont dans un même intervalle où f est monotone.
  3. Je compare a et b.
  4. Je conclus : même ordre si f est croissante sur cet intervalle, ordre inversé si elle est décroissante.

Exemple

Comparer (−2,5)² et (−3)², puis 1/3,5 et 1/3,7.

−3 et −2,5 sont dans ]−∞ ; 0], où la fonction carré est décroissante. −3 < −2,5, donc (−3)² > (−2,5)². (Vérification : 9 > 6,25.)

3,5 et 3,7 sont dans ]0 ; +∞[, où la fonction inverse est décroissante. 3,5 < 3,7, donc 1/3,5 > 1/3,7.

Exemple

Résoudre x² ≤ 9, puis 1/x > 2.

x² ≤ 9 ⇔ x² − 9 ≤ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) ≤ 0. Le produit est négatif ou nul entre les racines : S = [−3 ; 3]. Graphiquement, c'est la partie de la parabole située sous la droite y = 9.

1/x > 2 : si x < 0, 1/x est négatif, donc jamais supérieur à 2. Si x > 0, on multiplie par x (positif) : 1 > 2x, soit x < 1/2. S = ]0 ; 1/2[.

9. Retour aux tricycles de Nzérékoré

Les deux tarifs sont égaux quand 1 500x + 10 000 = 2 500x, soit 1 000x = 10 000 et x = 10 km. Pour une distance supérieure à 10 km, fA(x) < fB(x) : l'entreprise A est moins chère. Pour une distance inférieure à 10 km, c'est B. Graphiquement, les deux droites se coupent au point d'abscisse 10.

3Je retiens

Je retiens

Affine f(x) = ax + b : droite ; croissante si a > 0, décroissante si a < 0 ; a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

x² et |x| : définies sur R, paires, décroissantes sur ]−∞ ; 0], croissantes sur [0 ; +∞[.

x³ : définie sur R, impaire, croissante sur R.

1/x : définie sur R*, impaire, décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (séparément).

√x : définie sur [0 ; +∞[, croissante.

Croissante : conserve l'ordre ; décroissante : inverse l'ordre (sur un même intervalle).

x² ≤ a² (a > 0) ⇔ −a ≤ x ≤ a ; x² ≥ a² ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.

4Erreurs fréquentes

  • Oublier la solution négative : x² = 16 a deux solutions, −4 et 4 ; et x² < 25 donne −5 < x < 5, pas seulement x < 5.
  • Dire que 1/x est décroissante sur R* : la décroissance n'est vraie que sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[.
  • Encadrer x² en élevant les bornes au carré sans regarder le signe : si −3 ≤ x ≤ 1, on n'a pas 9 ≤ x² ≤ 1 ; le bon encadrement est 0 ≤ x² ≤ 9, car x peut valoir 0.
  • Multiplier une inéquation par x sans connaître son signe : pour 1/x > 2, il faut séparer les cas x < 0 et x > 0.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Détermine la fonction affine f telle que f(-1) = 5 et f(2) = -1. Est-elle croissante ou décroissante ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a = -1 - 52 - (-1) = -63 = -2. Puis f(-1) = 2 + b = 5, donc b = 3. f(x) = -2x + 3.

Vérification : f(2) = -4 + 3 = -1. Comme a = -2 < 0, f est décroissante.

2Exercice 2

Compare sans calculatrice, en justifiant par le sens de variation d'une fonction usuelle.

a) (1,7)2 et (1,9)2 ; b) 10,4 et 10,5 ; c) √7 et √6,5 ; d) (-2)3 et (-1,5)3.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) 1,7 et 1,9 sont positifs et la fonction carré est croissante sur [0 ;+∞[ : 1,7 < 1,9 donne (1,7)2 < (1,9)2.

b) La fonction inverse est décroissante sur ]0 ;+∞[ : 0,4 < 0,5 donne 10,4 > 10,5 (soit 2,5 > 2).

c) La fonction racine carrée est croissante : 6,5 < 7 donne √6,5 < √7.

d) La fonction cube est croissante sur ℝ : -2 < -1,5 donne (-2)3 < (-1,5)3 (soit -8 < -3,375).

3Exercice 3

Résous dans ℝ.

a) x2 = 16 ; b) x2 < 25 ; c) x2 ≥ 4 ; d) √x = 5 ; e) |x| ≤ 3 ; f) 1x ≤ 4.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) x = 4 ou x = -4 : S = {-4 ;4}.

b) (x - 5)(x + 5) < 0 : S = ]-5 ;5[.

c) (x - 2)(x + 2) ≥ 0 : S = ]-∞ ;-2] ∪ [2 ;+∞[.

d) x ≥ 0 et x = 52 = 25 : S = {25}.

e) S = [-3 ;3].

f) Valeur interdite : 0. Si x < 0, 1x < 0 ≤ 4 : toujours vrai. Si x > 0, on multiplie par x positif : 1 ≤ 4x, soit x ≥ 14. S = ]-∞ ;0[ ∪ [14 ;+∞[.

4Exercice 4

a) On sait que 2 ≤ x ≤ 5. Encadre x2, 1x et √x.

b) On sait que -3 ≤ x ≤ 1. Encadre x2 (aide-toi de la courbe de la fonction carré).

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) Tous les nombres sont positifs. Carré croissante : 4 ≤ x2 ≤ 25. Inverse décroissante : 15 ≤ 1x ≤ 12. Racine croissante : √2 ≤ √x ≤ √5.

b) L'intervalle [-3 ;1] contient 0. Sur [-3 ;0], x2 va de 9 à 0 ; sur [0 ;1], il va de 0 à 1. La plus petite valeur est 0 et la plus grande est 9 : 0 ≤ x2 ≤ 9.

5Exercice 5

(Type BAC) On reprend les deux entreprises de tricycles de Nzérékoré : fA(x) = 1 500x + 10 000 et fB(x) = 2 500x, où x est la distance en km (x ≥ 0) et le prix est en GNF.

a) Quelle est la nature de ces deux fonctions ? Laquelle traduit une situation de proportionnalité ?

b) Calcule le prix demandé par chaque entreprise pour 6 km et pour 25 km.

c) Résous l'inéquation fA(x) < fB(x) et interprète le résultat pour Mariama.

d) Mariama dispose de 40 000 GNF. Quelle distance maximale peut-elle payer avec chaque entreprise ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) Ce sont deux fonctions affines. fB(x) = 2 500x est linéaire : le prix est proportionnel à la distance.

b) Pour 6 km : fA(6) = 9 000 + 10 000 = 19 000 GNF ; fB(6) = 15 000 GNF. Pour 25 km : fA(25) = 37 500 + 10 000 = 47 500 GNF ; fB(25) = 62 500 GNF.

c) 1 500x + 10 000 < 2 500x ⇔ 10 000 < 1 000x ⇔ x > 10. Pour une livraison de plus de 10 km, l'entreprise A est moins chère ; pour moins de 10 km, c'est l'entreprise B ; pour 10 km exactement, les deux demandent 25 000 GNF.

d) Avec A : 1 500x + 10 000 ≤ 40 000 ⇔ 1 500x ≤ 30 000 ⇔ x ≤ 20 km. Avec B : 2 500x ≤ 40 000 ⇔ x ≤ 16 km. Avec 40 000 GNF, elle peut aller jusqu'à 20 km avec A et 16 km avec B.

Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.

6Je vérifie

Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.

1Sur quel intervalle la fonction carré est-elle décroissante ?
Voir la réponse

Réponse A : ]-∞ ;0]. La parabole descend à gauche de 0 et monte à droite de 0.

2Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse ?
Voir la réponse

Réponse C : ℝ^*. On ne peut pas diviser par 0 ; tous les autres réels conviennent.

3Quel est le coefficient directeur de la fonction affine f telle que f(0) = 1 et f(2) = 7 ?
Voir la réponse

Réponse B : 3. a = 7 - 12 - 0 = 3.

4Quelles sont les solutions de x2 > 9 ?
Voir la réponse

Réponse C : x < -3 ou x > 3. (x - 3)(x + 3) > 0 à l'extérieur des racines -3 et 3.

5Parmi ces fonctions, laquelle est impaire ?
Voir la réponse

Réponse B : x mapsto x3. (-x)3 = -x3 ; la fonction carré est paire et la racine carrée n'est définie que pour x ≥ 0.

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