Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 33
Les fonctions polynômes
Je sais reconnaître un polynôme, trouver ses racines, le factoriser et étudier son signe pour résoudre une équation ou une inéquation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une fonction polynôme, son degré et ses coefficients
- Utiliser l'égalité de deux polynômes (identification des coefficients)
- Résoudre une équation du second degré avec le discriminant et factoriser un trinôme
- Factoriser un polynôme de degré 3 à partir d'une racine connue
- Étudier le signe d'un polynôme et résoudre une inéquation
Avant de commencer : Le calcul littéral (développer, factoriser, identités remarquables), les équations et inéquations du premier degré, la notion de fonction et d'ensemble de définition.
1Je découvre
Sékou fabrique du jus de bissap à Kankan et le vend au marché en bouteilles. En notant x le nombre de dizaines de bouteilles produites dans la journée, son grand frère, comptable, a calculé que le bénéfice de la journée, en milliers de francs guinéens (GNF), vaut :
B(x) = -x2 + 14x - 40.
Si Sékou produit trop peu, ses frais fixes (sucre, transport, glace) ne sont pas couverts et il perd de l'argent. S'il produit trop, il ne vend pas tout et le jus se gâte. Il y a donc une « bonne zone » de production.
Pour x = 2, on trouve B(2) = -4 + 28 - 40 = -16 : une perte de 16 000 GNF. Pour x = 7, on trouve B(7) = -49 + 98 - 40 = 9 : un bénéfice de 9 000 GNF. Mais essayer toutes les valeurs une par une serait long et ne donnerait pas de réponse sûre.
Comment savoir exactement pour quelles quantités le bénéfice B(x) est positif, c'est-à-dire comment étudier le signe d'une fonction polynôme ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'une fonction polynôme ?
Un monôme est une expression de la forme a xn, où a est un nombre réel et n un entier naturel. Par exemple : 5x3, -2x, 7 (c'est 7x0).
Une fonction polynôme (ou simplement un polynôme) est une somme de monômes. Elle est définie sur tout ℝ. On l'écrit en général en rangeant les puissances de x dans l'ordre décroissant :
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0, avec an ≠ 0.
- Les nombres an, an-1, …, a0 sont les coefficients.
- L'entier n est le degré du polynôme : c'est la plus grande puissance de x dont le coefficient n'est pas nul.
- an est le coefficient du terme de plus haut degré et a0 le terme constant.
| Polynôme | Degré | Nom usuel |
|---|---|---|
| 3x - 5 | 1 | fonction affine |
| -x2 + 14x - 40 | 2 | trinôme du second degré |
| 2x3 - 3x2 - 11x + 6 | 3 | polynôme de degré 3 |
| x4 - 1 | 4 | polynôme de degré 4 |
Attention : pour trouver le degré, il faut d'abord développer et réduire. Par exemple (x + 1)2 - x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1 est de degré 1, et non de degré 2.
2. Égalité de deux polynômes
Propriété. Deux polynômes sont égaux pour toute valeur de x si et seulement s'ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de x.
Cette propriété permet de trouver des coefficients inconnus : c'est la méthode d'identification. On développe, on range selon les puissances de x, puis on égale les coefficients un par un.
3. Racine d'un polynôme et factorisation
Un nombre α est une racine (ou un zéro) du polynôme P si P(α) = 0.
Propriété fondamentale. Si α est une racine de P, alors on peut factoriser P(x) par (x - α) :
P(x) = (x - α) Q(x), où Q est un polynôme de degré un de moins que P.
Pour trouver une racine « évidente », on essaie les petites valeurs : 0, 1, -1, 2, -2, 3…
4. Le trinôme du second degré
Soit P(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0. On appelle discriminant le nombre :
Δ = b2 - 4ac.
| Signe de Δ | Racines | Factorisation |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux racines x1 = -b - √Δ2a et x2 = -b + √Δ2a | P(x) = a(x - x1)(x - x2) |
| Δ = 0 | une racine double x0 = -b2a | P(x) = a(x - x0)2 |
| Δ < 0 | aucune racine réelle | pas de factorisation dans ℝ |
Signe du trinôme. Le trinôme a le signe de a partout, sauf entre ses racines (quand il en a deux), où il a le signe contraire de a. Si Δ = 0, il a le signe de a et s'annule en x0. Si Δ < 0, il a toujours le signe de a.
Exemple
Factoriser P(x) = 2x² − 5x − 3.
a = 2, b = −5, c = −3.
Δ = (−5)² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49, et √49 = 7.
Δ > 0 : deux racines.
x₁ = (5 − 7) / 4 = −2/4 = −1/2 ; x₂ = (5 + 7) / 4 = 12/4 = 3.
P(x) = 2(x + 1/2)(x − 3) = (2x + 1)(x − 3).
Vérification : (2x + 1)(x − 3) = 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3. Juste.
5. Retour au bénéfice de Sékou
Pour B(x) = -x2 + 14x - 40 : a = -1, b = 14, c = -40.
Δ = 142 - 4 × (-1) × (-40) = 196 - 160 = 36, donc √Δ = 6.
x1 = -14 - 6-2 = -20-2 = 10 et x2 = -14 + 6-2 = -8-2 = 4.
Comme a = -1 < 0, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
| x | -∞ | 4 | 10 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Sékou fait donc un bénéfice lorsqu'il produit strictement entre 40 et 100 bouteilles.
6. Polynôme de degré 3 : factoriser grâce à une racine
Méthode
Pour factoriser et étudier le signe d'un polynôme P de degré 3 :
- Je cherche une racine évidente α en calculant P(0), P(1), P(−1), P(2)…
- J'écris P(x) = (x − α)(ax² + bx + c).
- Je développe le membre de droite et j'identifie les coefficients pour trouver a, b et c.
- Je factorise le trinôme ax² + bx + c avec le discriminant.
- Je fais un tableau de signes (une ligne par facteur, puis la ligne de P).
- Je lis dans le tableau les solutions de l'équation ou de l'inéquation demandée.
Exemple
Factoriser P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 et étudier son signe.
- P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 : 1 est racine.
- P(x) = (x − 1)(ax² + bx + c).
- En développant : (x − 1)(ax² + bx + c) = ax³ + (b − a)x² + (c − b)x − c.
Par identification avec x³ − 2x² − 5x + 6 :
a = 1 ; b − a = −2 donc b = −1 ; c − b = −5 donc c = −6 ; et −c = 6 (c'est cohérent).
Donc P(x) = (x − 1)(x² − x − 6).
- Pour x² − x − 6 : Δ = 1 + 24 = 25, racines (1 − 5)/2 = −2 et (1 + 5)/2 = 3.
Donc P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3).
- Tableau de signes (valeurs rangées : −2 ; 1 ; 3) :
sur ]−∞ ; −2[ : (−)(−)(−) = − ; sur ]−2 ; 1[ : (−)(+)(−) = + ;
sur ]1 ; 3[ : (+)(+)(−) = − ; sur ]3 ; +∞[ : (+)(+)(+) = +.
Contrôle : P(0) = 6 > 0 et 0 est bien dans ]−2 ; 1[.
- P(x) > 0 sur ]−2 ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[.
Exemple
Résoudre l'inéquation −2x² + x + 3 ≥ 0.
Δ = 1² − 4 × (−2) × 3 = 1 + 24 = 25.
x₁ = (−1 − 5)/(−4) = 6/4 = 3/2 ; x₂ = (−1 + 5)/(−4) = −1.
a = −2 < 0 : le trinôme est positif entre ses racines.
S = [−1 ; 3/2] (crochets fermés car l'inégalité est large).
7. Deux cas particuliers à connaître
- x2 - 6x + 9 : Δ = 36 - 36 = 0, racine double x0 = 3 et x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 ≥ 0 pour tout x.
- x2 + x + 1 : Δ = 1 - 4 = -3 < 0, pas de racine ; comme a = 1 > 0, ce trinôme est toujours strictement positif.
3Je retiens
Je retiens
Un polynôme est une somme de monômes a·xⁿ ; son degré est la plus grande puissance de x (après avoir développé et réduit).
Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : c'est la méthode d'identification.
α est racine de P si P(α) = 0 ; alors P(x) = (x − α)Q(x), avec Q de degré un de moins.
Trinôme ax² + bx + c : Δ = b² − 4ac.
Δ > 0 : x₁,₂ = (−b ∓ √Δ)/(2a) et P(x) = a(x − x₁)(x − x₂) ; Δ = 0 : x₀ = −b/(2a) ; Δ < 0 : pas de racine.
Signe du trinôme : signe de a, sauf entre les racines.
Pour le signe d'un produit : tableau de signes, une ligne par facteur.
4Erreurs fréquentes
- Oublier les parenthèses dans Δ : pour b = −5, b² = (−5)² = 25 et non −25.
- Diviser par 2 au lieu de 2a : pour a = −2, le dénominateur des racines est −4.
- Confondre le signe entre les racines : entre les racines, le trinôme a le signe CONTRAIRE de a.
- Oublier le coefficient a dans la factorisation : 2x² − 5x − 3 = 2(x + 1/2)(x − 3), et non (x + 1/2)(x − 3).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne le degré, le coefficient du terme de plus haut degré et le terme constant de chaque polynôme.
a) P(x) = 3x4 - x2 + 5x - 2
b) Q(x) = (x - 1)(2x + 3) - 2x2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Degré 4, coefficient du terme de plus haut degré 3, terme constant -2.
b) On développe : (x - 1)(2x + 3) = 2x2 + 3x - 2x - 3 = 2x2 + x - 3, donc Q(x) = 2x2 + x - 3 - 2x2 = x - 3. Q est de degré 1, de coefficient dominant 1 et de terme constant -3.
2Exercice 2
Résous dans ℝ les équations suivantes et factorise quand c'est possible.
a) x2 - 5x + 6 = 0
b) 3x2 + 2x - 1 = 0
c) 4x2 - 4x + 1 = 0
d) x2 + 2x + 5 = 0
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a) Δ = 25 - 24 = 1 ; x1 = 5 - 12 = 2, x2 = 5 + 12 = 3. S = {2 ; 3} et x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
b) Δ = 4 + 12 = 16 ; x1 = -2 - 46 = -1, x2 = -2 + 46 = 13. S = {-1 ; 13} et 3x2 + 2x - 1 = 3(x + 1)(x - 13) = (x + 1)(3x - 1).
c) Δ = 16 - 16 = 0 ; racine double x0 = 48 = 12. S = {12} et 4x2 - 4x + 1 = (2x - 1)2.
d) Δ = 4 - 20 = -16 < 0 : pas de solution réelle, S = ∅.
3Exercice 3
Résous les inéquations.
a) x2 - 5x + 6 < 0
b) -x2 + 4x ≤ 0
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a) D'après l'exercice 2, les racines sont 2 et 3 et a = 1 > 0 : le trinôme est négatif entre les racines. S = ]2 ; 3[.
b) -x2 + 4x = x(4 - x), racines 0 et 4, a = -1 < 0 : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines. S = ]-∞ ; 0] ∪ [4 ; +∞[.
4Exercice 4
(Type BAC) On considère P(x) = 2x3 - 3x2 - 11x + 6.
a) Calcule P(3). Que peut-on en déduire ?
b) Détermine les réels a, b, c tels que P(x) = (x - 3)(ax2 + bx + c).
c) Factorise complètement P(x).
d) Résous P(x) = 0, puis P(x) < 0.
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a) P(3) = 2 × 27 - 3 × 9 - 11 × 3 + 6 = 54 - 27 - 33 + 6 = 0. Donc 3 est une racine de P et P(x) se factorise par (x - 3).
b) (x - 3)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b - 3a)x2 + (c - 3b)x - 3c. Par identification : a = 2 ; b - 6 = -3 donc b = 3 ; c - 9 = -11 donc c = -2 ; et -3c = 6 : c'est cohérent. Donc P(x) = (x - 3)(2x2 + 3x - 2).
c) Pour 2x2 + 3x - 2 : Δ = 9 + 16 = 25, racines -3 - 54 = -2 et -3 + 54 = 12. Donc 2x2 + 3x - 2 = 2(x + 2)(x - 12) = (x + 2)(2x - 1) et P(x) = (x - 3)(x + 2)(2x - 1).
d) P(x) = 0 : S = {-2 ; 12 ; 3}.
Tableau de signes (valeurs -2, 12, 3) : sur ]-∞ ; -2[, (-)(-)(-) = - ; sur ]-2 ; 12[, (-)(+)(-) = + ; sur ]12 ; 3[, (-)(+)(+) = - ; sur ]3 ; +∞[, (+)(+)(+) = +. Contrôle : P(0) = 6 > 0.
P(x) < 0 : S = ]-∞ ; -2[ ∪ ]12 ; 3[.
5Exercice 5
(Problème) Un artisan de Labé fabrique des sandales en cuir. Pour x paires fabriquées par semaine (0 ≤ x ≤ 30), la recette est R(x) = 30x et le coût total est C(x) = x2 + 2x + 96, en milliers de GNF.
a) Montre que le bénéfice est B(x) = -x2 + 28x - 96.
b) Résous B(x) = 0.
c) Pour quelles quantités l'artisan fait-il un bénéfice ?
d) Vérifie que B(x) = 100 - (x - 14)2 et déduis-en le bénéfice maximal.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) B(x) = R(x) - C(x) = 30x - (x2 + 2x + 96) = -x2 + 28x - 96.
b) Δ = 282 - 4 × (-1) × (-96) = 784 - 384 = 400, √Δ = 20. x1 = -28 - 20-2 = 24 et x2 = -28 + 20-2 = 4. S = {4 ; 24}.
c) a = -1 < 0 : B(x) > 0 entre les racines. L'artisan fait un bénéfice lorsqu'il fabrique entre 5 et 23 paires (strictement plus de 4 et moins de 24).
d) (x - 14)2 = x2 - 28x + 196, donc 100 - (x - 14)2 = -x2 + 28x - 96 = B(x). Comme (x - 14)2 ≥ 0, on a B(x) ≤ 100, avec égalité pour x = 14. Le bénéfice maximal est de 100 000 GNF, obtenu pour 14 paires.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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