Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 33
Limite d'une fonction
Je sais calculer la limite d'une fonction polynôme ou rationnelle en l'infini et en un point, lever une forme indéterminée simple et interpréter le résultat par une asymptote.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les limites des fonctions de référence
- Calculer la limite d'un polynôme et d'une fonction rationnelle en l'infini
- Calculer une limite à gauche et à droite en un point où le dénominateur s'annule
- Reconnaître et lever une forme indéterminée simple
- Interpréter une limite par une asymptote horizontale ou verticale
Avant de commencer : Les fonctions usuelles (carré, cube, inverse, racine carrée), l'ensemble de définition d'une fonction et les fonctions polynômes (factorisation).
1Je découvre
Aïssatou ouvre un petit centre de photocopies à Kankan. Chaque mois, elle paie des frais fixes (loyer, électricité, entretien de la machine) de 500 000 GNF. En plus, chaque photocopie lui coûte 200 GNF de papier et d'encre.
Pour x photocopies dans le mois, le coût total est 500 000 + 200x et le coût moyen d'une photocopie est :
CM(x) = 500 000 + 200xx = 200 + 500 000x.
Pour 1 000 photocopies, CM = 200 + 500 = 700 GNF. Pour 10 000 photocopies, CM = 200 + 50 = 250 GNF. Pour 100 000 photocopies, CM = 200 + 5 = 205 GNF. Plus Aïssatou travaille, plus le coût moyen baisse… mais il ne descend jamais en dessous de 200 GNF.
On dit que le coût moyen « tend vers 200 » quand x devient très grand.
Comment décrire et calculer ce que devient une fonction quand x devient très grand, ou quand x s'approche d'une valeur interdite ?
2Je comprends
1. L'idée de limite
Dire que f(x) tend vers un nombre ell quand x tend vers +∞ signifie que f(x) devient aussi proche de ell que l'on veut, dès que x est assez grand. On écrit :
limx → +∞ f(x) = ell.
Dire que f(x) tend vers +∞ signifie que f(x) devient plus grand que n'importe quel nombre, dès que x est assez grand (ou assez proche de la valeur étudiée).
On étudie les limites aux bornes de l'ensemble de définition : en -∞, en +∞, et aux valeurs interdites.
2. Limites des fonctions de référence
| Fonction | en +∞ | en -∞ | en 0 |
|---|---|---|---|
| xn (n ≥ 1) | +∞ | +∞ si n pair, -∞ si n impair | 0 |
| 1x | 0 | 0 | +∞ à droite, -∞ à gauche |
| 1x2 | 0 | 0 | +∞ |
| √x | +∞ | non définie | 0 |
« À droite de 0 » (noté x → 0^+) veut dire que x s'approche de 0 en restant positif ; « à gauche » (x → 0^-), en restant négatif.
3. Opérations sur les limites
Dans la plupart des cas, on calcule « naturellement » : si u → 3 et v → 5, alors u + v → 8 et u × v → 15. Avec l'infini, on retient :
| Situation | Résultat |
|---|---|
| nombre + (+∞) | +∞ |
| (+∞) + (+∞) | +∞ |
| nombre positif × (+∞) | +∞ |
| nombre négatif × (+∞) | -∞ |
| nombre ± ∞ | 0 |
| nombre non nul0^+ ou nombre non nul0^- | ± ∞ selon la règle des signes |
Quatre situations ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées
∞ - ∞ ; 0 × ∞ ; ∞∞ ; 00.
Il faut alors transformer l'écriture (factoriser, simplifier) avant de conclure.
4. Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini
Règle 1. En +∞ ou en -∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
Règle 2. En +∞ ou en -∞, une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Pourquoi ? Par exemple x3 - 4x2 + 1 = x3(1 - 4x + 1x3) ; la parenthèse tend vers 1, donc tout se comporte comme x3.
Exemple
Calculer lim (x → −∞) de (−2x³ + 5x − 1).
Le terme de plus haut degré est −2x³.
Quand x → −∞, x³ → −∞, donc −2x³ → +∞ (un négatif fois −∞).
lim (x → −∞) (−2x³ + 5x − 1) = +∞.
Exemple
Calculer les limites en +∞ de f(x) = (3x² − x + 4)/(x² + 1) et de g(x) = (2x + 1)/(x² − 3).
Pour f : on garde les termes de plus haut degré : 3x²/x² = 3. Donc lim f = 3.
Pour g : 2x/x² = 2/x, et 2/x → 0 quand x → +∞. Donc lim g = 0.
5. Limite en une valeur interdite
Quand le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers un nombre non nul, la fonction tend vers +∞ ou -∞. Le signe dépend du côté par lequel on s'approche : il faut étudier le signe du dénominateur.
Méthode
Pour calculer la limite de N(x)/D(x) en a, lorsque D(a) = 0 :
- Je calcule la limite du numérateur N(x) quand x → a.
- Si N(a) ≠ 0, j'étudie le signe de D(x) juste à droite (x > a) et juste à gauche (x < a) de a.
- J'applique la règle des signes : nombre / 0⁺ ou nombre / 0⁻ donne +∞ ou −∞.
- Si N(a) = 0 aussi, c'est la forme 0/0 : je factorise N et D par (x − a), je simplifie, puis je calcule la limite.
Exemple
Soit f(x) = (x + 1)/(x − 2), définie sur ℝ \ {2}. Limites en 2.
Le numérateur tend vers 2 + 1 = 3 (positif).
Si x → 2 avec x > 2 : x − 2 → 0⁺, donc f(x) → 3/0⁺ = +∞.
Si x → 2 avec x < 2 : x − 2 → 0⁻, donc f(x) → 3/0⁻ = −∞.
On écrit : lim (x → 2⁺) f(x) = +∞ et lim (x → 2⁻) f(x) = −∞.
Exemple
Calculer lim (x → 3) de (x² − 9)/(x − 3).
En remplaçant, on obtient 0/0 : forme indéterminée.
On factorise : x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Pour x ≠ 3 :
(x² − 9)/(x − 3) = x + 3.
Donc la limite vaut 3 + 3 = 6.
6. Interprétation graphique : les asymptotes
- Si limx → ± ∞ f(x) = ell, la droite d'équation y = ell est une asymptote horizontale à la courbe : la courbe s'en rapproche de plus en plus.
- Si limx → a f(x) = ± ∞ (à gauche ou à droite), la droite d'équation x = a est une asymptote verticale.
Pour le coût moyen d'Aïssatou : 500 000x → 0, donc limx → +∞ CM(x) = 200. La droite y = 200 est asymptote horizontale : le coût moyen s'approche de 200 GNF, le coût d'une seule photocopie, car les frais fixes se partagent sur un nombre énorme de copies.
3Je retiens
Je retiens
En ±∞, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré.
En ±∞, une fonction rationnelle a la limite du quotient des termes de plus haut degré.
lim 1/x = 0 en ±∞ ; en 0 : 1/x → +∞ à droite et −∞ à gauche.
nombre non nul / 0⁺ ou 0⁻ : ±∞ selon le signe (étudier le signe du dénominateur).
Formes indéterminées : ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞/∞ ; 0/0 → transformer l'écriture (factoriser, simplifier).
lim f = ℓ en ±∞ : asymptote horizontale y = ℓ. lim f = ±∞ en a : asymptote verticale x = a.
4Erreurs fréquentes
- Écrire « ∞ − ∞ = 0 » ou « ∞/∞ = 1 » : ce sont des formes indéterminées, on ne peut rien conclure sans transformer.
- Garder le mauvais terme : pour (2x + 1)/(x² − 3), on compare 2x à x², pas 1 à −3.
- Oublier les deux côtés : en une valeur interdite, la limite à gauche et la limite à droite peuvent être différentes (−∞ et +∞).
- Se tromper de signe en −∞ : (−∞)³ = −∞ mais (−∞)² = +∞.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule les limites.
a) limx → +∞ (x3 - 4x2 + 1)
b) limx → -∞ (-x2 + 3x)
c) limx → -∞ (2x3 + x)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Terme de plus haut degré : x3 → +∞. La limite est +∞.
b) Terme de plus haut degré : -x2. Quand x → -∞, x2 → +∞, donc -x2 → -∞. La limite est -∞.
c) Terme de plus haut degré : 2x3. Quand x → -∞, x3 → -∞, donc 2x3 → -∞. La limite est -∞.
2Exercice 2
Calcule les limites.
a) limx → +∞ 4x2 - 12x2 + x
b) limx → +∞ x + 5x2 + 1
c) limx → +∞ x2 + 1x - 2 et limx → -∞ x2 + 1x - 2
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a) Quotient des termes de plus haut degré : 4x22x2 = 2. La limite est 2.
b) xx2 = 1x → 0. La limite est 0.
c) x2x = x. En +∞ la limite est +∞ ; en -∞ la limite est -∞.
3Exercice 3
Lève l'indétermination et calcule.
a) limx → 1 x2 - 1x - 1
b) limx → 2 x2 - 5x + 6x - 2
c) limx → 0 x2 + 3xx
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a) Forme 00. x2 - 1 = (x - 1)(x + 1), donc pour x ≠ 1 le quotient vaut x + 1. La limite est 1 + 1 = 2.
b) Forme 00. x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), donc pour x ≠ 2 le quotient vaut x - 3. La limite est 2 - 3 = -1.
c) Forme 00. x2 + 3x = x(x + 3), donc pour x ≠ 0 le quotient vaut x + 3. La limite est 3.
4Exercice 4
Soit f(x) = 2x - 1x + 3.
a) Donne l'ensemble de définition de f.
b) Calcule les limites de f à gauche et à droite en -3.
c) Calcule les limites de f en -∞ et en +∞.
d) Déduis-en les asymptotes à la courbe de f.
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a) Il faut x + 3 ≠ 0, soit x ≠ -3. Df = ℝ setminus {-3}.
b) Le numérateur tend vers 2 × (-3) - 1 = -7.
Si x → -3 avec x > -3 : x + 3 → 0^+, donc f(x) → -70^+ = -∞.
Si x → -3 avec x < -3 : x + 3 → 0^-, donc f(x) → -70^- = +∞.
c) 2xx = 2 : limx → -∞ f(x) = limx → +∞ f(x) = 2.
d) La droite x = -3 est asymptote verticale ; la droite y = 2 est asymptote horizontale en -∞ et en +∞.
5Exercice 5
(Type BAC) Une coopérative de Boké transporte des sacs de manioc. Pour x sacs (x > 0), le coût moyen de transport d'un sac, en milliers de GNF, est CM(x) = 3x + 150x.
a) Calcule CM(10) et CM(100).
b) Calcule limx → +∞ CM(x) et interprète le résultat.
c) Calcule limx → 0^+ CM(x) et interprète le résultat.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) CM(10) = 30 + 15010 = 18, soit 18 000 GNF par sac. CM(100) = 300 + 150100 = 4,5, soit 4 500 GNF par sac.
b) CM(x) = 3 + 150x et 150x → 0, donc limx → +∞ CM(x) = 3. Quand on transporte un très grand nombre de sacs, le coût moyen se rapproche de 3 000 GNF par sac : les frais fixes (150 000 GNF) deviennent négligeables. La droite y = 3 est asymptote horizontale.
c) Le numérateur tend vers 150 et x → 0^+, donc CM(x) → +∞. Transporter très peu de sacs revient extrêmement cher par sac, car les frais fixes pèsent sur un tout petit nombre de sacs. La droite x = 0 est asymptote verticale.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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