Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 33
Étude d'une fonction : variations, asymptotes, tangente, courbe
Je sais mener l'étude complète d'une fonction comme au BAC : ensemble de définition, limites, asymptotes, dérivée, tableau de variations, tangente et tracé de la courbe.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Suivre le plan d'étude d'une fonction dans le bon ordre
- Déduire les variations du signe de la dérivée et dresser un tableau de variations
- Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques et la position de la courbe
- Écrire l'équation d'une tangente et placer les points utiles
- Tracer la courbe représentative avec soin
Avant de commencer : Les fonctions polynômes (signe d'un trinôme), les limites d'une fonction et les asymptotes, le calcul des dérivées et l'équation d'une tangente.
1Je découvre
Au BAC de la série sociale, le problème de mathématiques demande presque toujours d'étudier une fonction et de tracer sa courbe. Mariama, élève de Terminale à Labé, se plaint : « Je sais calculer une limite, je sais dériver… mais quand tout arrive dans le même problème, je ne sais plus par où commencer. »
Son professeur lui répond : « Une étude de fonction, c'est comme construire une case : on pose les fondations (l'ensemble de définition), on monte les murs (les limites et la dérivée), on met le toit (le tableau de variations), puis on décore (la tangente, les points et la courbe). Si tu respectes l'ordre, chaque question prépare la suivante. »
Prenons la fonction f(x) = x + 1 + 4x - 1. Où la courbe monte-t-elle, où descend-elle, que se passe-t-il près de x = 1 et très loin ?
Quel est le plan complet d'une étude de fonction, et comment en tirer une courbe juste ?
2Je comprends
1. Le plan d'étude
- 1Ensemble de définition D_f (valeurs interdites : dénominateur nul, racine d'un négatif).
- 2Limites aux bornes de D_f (en ±∞ et aux valeurs interdites).
- 3Asymptotes : verticale, horizontale ou oblique, et position de la courbe.
- 4Dérivée f'(x), factorisée, puis son signe.
- 5Tableau de variations avec les extremums.
- 6Tangente(s) demandée(s), points d'intersection avec les axes.
- 7Tableau de quelques valeurs, puis tracé de la courbe.
2. Dérivée et sens de variation
Théorème. Soit f dérivable sur un intervalle I.
- Si f'(x) > 0 sur I (sauf en quelques points isolés où elle s'annule), f est strictement croissante sur I.
- Si f'(x) < 0 sur I (sauf en quelques points isolés), f est strictement décroissante sur I.
- Si f'(x) = 0 sur tout I, f est constante sur I.
Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local : un maximum si f' passe de + à -, un minimum si f' passe de - à +. En ce point, la tangente est horizontale.
3. L'asymptote oblique
Si l'on peut écrire f(x) = ax + b + ε(x) avec limx → ± ∞ ε(x) = 0, alors la droite Δ d'équation y = ax + b est une asymptote oblique à la courbe en ± ∞. Autrement dit :
limx → ± ∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.
La position de la courbe par rapport à Δ se lit sur le signe de f(x) - (ax + b) : si ce signe est positif, la courbe est au-dessus de Δ ; s'il est négatif, elle est en dessous.
4. Un exemple complet : la fonction de Mariama
Exemple
Étude de f(x) = x + 1 + 4/(x − 1).
- Ensemble de définition : x − 1 ≠ 0, donc D_f = ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
Forme réduite : f(x) = [(x + 1)(x − 1) + 4]/(x − 1) = (x² + 3)/(x − 1).
- Limites.
En +∞ : x + 1 → +∞ et 4/(x − 1) → 0, donc f(x) → +∞.
En −∞ : x + 1 → −∞ et 4/(x − 1) → 0, donc f(x) → −∞.
En 1⁺ : x − 1 → 0⁺, donc 4/(x − 1) → +∞ et f(x) → +∞.
En 1⁻ : x − 1 → 0⁻, donc 4/(x − 1) → −∞ et f(x) → −∞.
- Asymptotes.
La droite x = 1 est asymptote verticale.
f(x) − (x + 1) = 4/(x − 1) → 0 en ±∞ : la droite Δ : y = x + 1 est asymptote oblique.
Position : 4/(x − 1) > 0 si x > 1 (courbe au-dessus de Δ) ; < 0 si x < 1 (courbe en dessous).
Exemple
Suite de l'étude de f(x) = x + 1 + 4/(x − 1).
- Dérivée : f'(x) = 1 − 4/(x − 1)² = [(x − 1)² − 4]/(x − 1)².
Le numérateur est a² − b² avec a = x − 1 et b = 2 : (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1).
Donc f'(x) = (x − 3)(x + 1)/(x − 1)².
Le dénominateur est un carré, strictement positif sur D_f : f'(x) a le signe de (x − 3)(x + 1),
trinôme positif à l'extérieur des racines −1 et 3, négatif entre elles.
- Valeurs : f(−1) = 0 + 4/(−2) = −2 ; f(3) = 4 + 4/2 = 6.
f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1[ et sur ]1 ; 3], croissante sur [3 ; +∞[.
Maximum local −2 en x = −1 ; minimum local 6 en x = 3.
- Intersection avec l'axe des ordonnées : f(0) = (0 + 3)/(0 − 1) = −3.
Avec l'axe des abscisses : x² + 3 = 0 n'a pas de solution, la courbe ne coupe pas cet axe.
Tangente en 0 : f'(0) = (−3)(1)/1 = −3, donc y = −3(x − 0) − 3, soit y = −3x − 3.
Le tableau de variations se présente ainsi (la double barre marque la valeur interdite) :
| x | -∞ | -1 | 1 | 3 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | ‖ | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | croît | -2 | décroît | -∞ ‖ +∞ | décroît | 6 | croît | +∞ |
5. Un deuxième exemple : un polynôme
Exemple
Étude de g(x) = x³ − 3x² + 2 sur ℝ.
Limites : en +∞, g(x) se comporte comme x³ → +∞ ; en −∞, comme x³ → −∞. Pas d'asymptote.
Dérivée : g'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), qui s'annule en 0 et en 2.
Signe : positif à l'extérieur de [0 ; 2], négatif entre 0 et 2.
g(0) = 2 (maximum local) ; g(2) = 8 − 12 + 2 = −2 (minimum local).
g est croissante sur ]−∞ ; 0], décroissante sur [0 ; 2], croissante sur [2 ; +∞[.
Tangente en 1 : g(1) = 1 − 3 + 2 = 0 et g'(1) = 3 − 6 = −3, donc y = −3(x − 1), soit y = −3x + 3.
Méthode
Pour tracer la courbe proprement :
- Je trace le repère avec une unité adaptée (souvent 1 cm ou 2 cm).
- Je trace d'abord les asymptotes en pointillés.
- Je place les extremums et je dessine de petites tangentes horizontales en ces points.
- Je place les points d'intersection avec les axes et la tangente demandée.
- Je calcule 3 ou 4 valeurs supplémentaires si besoin.
- Je relie les points d'un trait régulier, en respectant le tableau de variations et en me rapprochant des asymptotes sans les traverser dans les branches infinies.
3Je retiens
Je retiens
Plan : D_f → limites → asymptotes → dérivée et son signe → tableau de variations → tangente et points → courbe.
f' > 0 sur I : f croissante ; f' < 0 sur I : f décroissante.
f' s'annule en changeant de signe en a : extremum local f(a), tangente horizontale.
lim f = ±∞ en a : asymptote verticale x = a ; lim f = ℓ en ±∞ : asymptote horizontale y = ℓ.
lim [f(x) − (ax + b)] = 0 en ±∞ : asymptote oblique y = ax + b.
Signe de f(x) − (ax + b) : position de la courbe (au-dessus si positif).
Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
4Erreurs fréquentes
- Oublier la valeur interdite dans le tableau de variations : il faut une double barre et deux limites (à gauche et à droite).
- Dire que f est croissante « sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[ » : on donne le sens de variation intervalle par intervalle, jamais sur une réunion.
- Étudier le signe de f(x) au lieu de celui de f'(x) pour trouver les variations.
- Tracer une courbe qui traverse une asymptote verticale ou qui contredit le tableau de variations.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit f(x) = 2x - 3x + 2.
a) Donne Df et calcule les limites aux bornes.
b) Déduis-en les asymptotes.
c) Calcule f'(x) et donne le sens de variation de f.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Df = ℝ setminus {-2}. En ± ∞ : 2xx = 2, donc f(x) → 2. En -2 : le numérateur tend vers -7 ; si x → -2^+, x + 2 → 0^+ et f(x) → -∞ ; si x → -2^-, x + 2 → 0^- et f(x) → +∞.
b) Asymptote verticale x = -2 ; asymptote horizontale y = 2 en ± ∞.
c) f'(x) = 2(x + 2) - (2x - 3)(x + 2)2 = 7(x + 2)2 > 0. f est strictement croissante sur ]-∞ ; -2[ et sur ]-2 ; +∞[.
2Exercice 2
Soit g(x) = 2x - 1 + 3x + 1 sur ℝ setminus {-1}.
a) Montre que la droite Δ : y = 2x - 1 est asymptote oblique à la courbe en +∞ et en -∞.
b) Étudie la position de la courbe par rapport à Δ.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) g(x) - (2x - 1) = 3x + 1, qui tend vers 0 en +∞ et en -∞. Donc Δ est asymptote oblique en ± ∞.
b) 3x + 1 > 0 ⇔ x > -1. Sur ]-1 ; +∞[, la courbe est au-dessus de Δ ; sur ]-∞ ; -1[, elle est en dessous.
3Exercice 3
Soit h(x) = x3 - 12x + 5 sur ℝ.
a) Calcule les limites de h en -∞ et en +∞.
b) Calcule h'(x), étudie son signe et dresse le tableau de variations de h.
c) Écris l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En +∞ : h(x) se comporte comme x3 → +∞. En -∞ : comme x3 → -∞.
b) h'(x) = 3x2 - 12 = 3(x2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2). Positif sur ]-∞ ; -2[ et sur ]2 ; +∞[, négatif sur ]-2 ; 2[.
h(-2) = -8 + 24 + 5 = 21 ; h(2) = 8 - 24 + 5 = -11.
h est croissante sur ]-∞ ; -2] (de -∞ à 21), décroissante sur [-2 ; 2] (de 21 à -11), croissante sur [2 ; +∞[ (de -11 à +∞). Maximum local 21, minimum local -11.
c) h(0) = 5 et h'(0) = -12. Tangente : y = -12x + 5.
4Exercice 4
(Type BAC) Soit f(x) = x2 + x + 1x + 1, et (C) sa courbe.
a) Donne Df. Détermine les réels a, b, c tels que f(x) = ax + b + cx + 1.
b) Calcule les limites de f aux bornes de Df.
c) Montre que (C) admet une asymptote verticale et une asymptote oblique Δ ; précise la position de (C) par rapport à Δ.
d) Montre que f'(x) = x(x + 2)(x + 1)2 et dresse le tableau de variations de f.
e) Écris l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Df = ℝ setminus {-1}. ax + b + cx + 1 = (ax + b)(x + 1) + cx + 1 = ax2 + (a + b)x + b + cx + 1. Par identification avec x2 + x + 1 : a = 1 ; a + b = 1 donc b = 0 ; b + c = 1 donc c = 1. Ainsi f(x) = x + 1x + 1.
b) En +∞ : x → +∞ et 1x + 1 → 0, donc f(x) → +∞. En -∞ : f(x) → -∞. En -1^+ : 1x + 1 → +∞, donc f(x) → +∞. En -1^- : 1x + 1 → -∞, donc f(x) → -∞.
c) La droite x = -1 est asymptote verticale. f(x) - x = 1x + 1 → 0 en ± ∞ : la droite Δ : y = x est asymptote oblique. (C) est au-dessus de Δ sur ]-1 ; +∞[ et en dessous sur ]-∞ ; -1[.
d) f'(x) = 1 - 1(x + 1)2 = (x + 1)2 - 1(x + 1)2 = (x + 1 - 1)(x + 1 + 1)(x + 1)2 = x(x + 2)(x + 1)2.
Le signe de f' est celui de x(x + 2) : positif sur ]-∞ ; -2[ et sur ]0 ; +∞[, négatif sur ]-2 ; -1[ et sur ]-1 ; 0[.
f(-2) = -2 + 1-1 = -3 (maximum local) ; f(0) = 0 + 1 = 1 (minimum local).
f croît de -∞ à -3 sur ]-∞ ; -2], décroît de -3 à -∞ sur [-2 ; -1[, décroît de +∞ à 1 sur ]-1 ; 0], croît de 1 à +∞ sur [0 ; +∞[.
e) f(1) = 1 + 12 = 32 et f'(1) = 1 × 34 = 34. (T) : y = 34(x - 1) + 32 = 34x + 34.
5Exercice 5
(Problème) Le bénéfice d'une entreprise de briques de Kindia, en millions de GNF, pour x centaines de briques vendues par jour (0 ≤ x ≤ 10), est B(x) = -2x3 + 30x2 - 96x.
a) Calcule B'(x) et montre que B'(x) = -6(x - 2)(x - 8).
b) Dresse le tableau de variations de B sur [0 ; 10].
c) Quelle production donne le bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) B'(x) = -6x2 + 60x - 96 = -6(x2 - 10x + 16). Pour x2 - 10x + 16 : Δ = 100 - 64 = 36, racines 10 - 62 = 2 et 10 + 62 = 8. Donc B'(x) = -6(x - 2)(x - 8).
b) -6 < 0 : B'(x) < 0 sur [0 ; 2[ et sur ]8 ; 10], B'(x) > 0 sur ]2 ; 8[.
B(0) = 0 ; B(2) = -16 + 120 - 192 = -88 ; B(8) = -1 024 + 1 920 - 768 = 128 ; B(10) = -2 000 + 3 000 - 960 = 40.
B décroît de 0 à -88 sur [0 ; 2], croît de -88 à 128 sur [2 ; 8], décroît de 128 à 40 sur [8 ; 10].
c) Le bénéfice maximal est atteint pour x = 8, soit 800 briques par jour ; il vaut 128 millions de GNF.
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6Je vérifie
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