Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 33
Fonction logarithme népérien : définition et propriétés algébriques
Je connais la définition de la fonction ln, son ensemble de définition, son signe, et j'utilise ses propriétés algébriques pour simplifier des expressions et calculer une durée.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la définition de ln, son ensemble de définition, ln 1 = 0 et ln e = 1
- Connaître le signe de ln x et le sens de variation de ln
- Utiliser les propriétés ln(ab), ln(a/b), ln(1/a), ln(aⁿ) et ln √a
- Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction comportant ln
- Utiliser ln pour trouver un exposant inconnu
Avant de commencer : Le calcul avec les puissances, la dérivée d'une fonction et le lien entre signe de la dérivée et variations.
1Je découvre
Hawa a placé ses économies dans une banque de Nzérékoré, à un taux d'intérêt composé de 10 % par an : chaque année, son capital est multiplié par 1,1. Elle veut savoir au bout de combien d'années son capital aura doublé.
Elle doit donc trouver l'entier n tel que 1,1n ≥ 2. Elle essaie à la calculatrice :
1,15 ≈ 1,61 ; 1,17 ≈ 1,95 ; 1,18 ≈ 2,14.
Elle trouve par tâtonnement que le capital double au cours de la 8ᵉ année. Mais si le taux était de 7,5 % ou de 12 %, il faudrait tout recommencer. Ce qu'il manque à Hawa, c'est un outil qui permet de « faire descendre » l'exposant n pour le calculer directement.
Quelle fonction transforme les puissances en produits, et comment l'utiliser pour trouver un exposant inconnu ?
2Je comprends
1. Définition
On admet qu'il existe une unique fonction, définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, dont la dérivée est x mapsto 1x et qui s'annule en 1. On l'appelle fonction logarithme népérien et on la note ln.
- ln est définie sur ]0 ; +∞[ : ln x n'existe que si x > 0.
- ln 1 = 0.
- Pour tout x > 0, (ln x)' = 1x.
2. Sens de variation et signe
Comme 1x > 0 pour x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. On en déduit, pour a > 0 et b > 0 :
- ln a = ln b ⇔ a = b ;
- ln a < ln b ⇔ a < b.
Et comme ln 1 = 0 :
| x | 0 < x < 1 | x = 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| signe de ln x | négatif | nul | positif |
3. Le nombre e
Il existe un unique nombre réel dont le logarithme vaut 1. On le note e :
ln e = 1, avec e ≈ 2,718.
Quelques valeurs utiles (arrondies au millième) : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,099 ; ln 5 ≈ 1,609 ; ln 10 ≈ 2,303.
4. Les propriétés algébriques
La propriété fondamentale est : le logarithme transforme un produit en somme. Pour tous réels a > 0 et b > 0 et tout entier n :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| produit | ln(ab) = ln a + ln b |
| inverse | ln(1a) = -ln a |
| quotient | ln(ab) = ln a - ln b |
| puissance | ln(an) = n ln a |
| racine carrée | ln √a = 12 ln a |
Les quatre dernières découlent de la première. Par exemple, ln(1a) + ln a = ln(1a × a) = ln 1 = 0, donc ln(1a) = -ln a. Et ln(a2) = ln(a × a) = ln a + ln a = 2 ln a.
En particulier : ln(en) = n ln e = n.
Exemple
Exprimer ln 12 et ln (8/9) en fonction de ln 2 et ln 3.
12 = 4 × 3 = 2² × 3, donc ln 12 = ln(2²) + ln 3 = 2 ln 2 + ln 3 ≈ 2 × 0,693 + 1,099 = 2,485.
8/9 = 2³/3², donc ln(8/9) = ln(2³) − ln(3²) = 3 ln 2 − 2 ln 3.
Exemple
Simplifier A = ln 8 − ln 2 + ln(1/4) et B = ln(e³) − ln √e.
A = 3 ln 2 − ln 2 − 2 ln 2 = 0.
B = 3 − (1/2) ln e = 3 − 1/2 = 5/2.
5. Ensemble de définition d'une fonction avec ln
Pour f(x) = ln(u(x)), il faut que u(x) > 0 (strictement).
Méthode
Pour trouver l'ensemble de définition de f(x) = ln(u(x)) :
- J'écris la condition u(x) > 0.
- Je résous cette inéquation (premier degré, trinôme ou tableau de signes d'un quotient).
- J'écris D_f sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
- S'il y a plusieurs ln, je prends les valeurs de x qui vérifient toutes les conditions à la fois.
Exemple
Ensemble de définition de f(x) = ln(2x − 6) et de g(x) = ln[(x − 1)/(x + 2)].
f : 2x − 6 > 0 ⇔ x > 3. D_f = ]3 ; +∞[.
g : (x − 1)/(x + 2) > 0. Tableau de signes : le quotient est positif si x < −2 ou x > 1.
D_g = ]−∞ ; −2[ ∪ ]1 ; +∞[.
6. Retour au placement de Hawa
On cherche n tel que 1,1n ≥ 2. Comme ln est croissante, on peut appliquer ln aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité :
ln(1,1n) ≥ ln 2 ⇔ n ln 1,1 ≥ ln 2.
Or ln 1,1 > 0 (car 1,1 > 1), donc on peut diviser sans changer le sens :
n ≥ ln 2ln 1,1 ≈ 0,69310,0953 ≈ 7,27.
Le plus petit entier qui convient est n = 8 : le capital double au cours de la 8ᵉ année. La même méthode marche pour n'importe quel taux.
3Je retiens
Je retiens
ln est définie sur ]0 ; +∞[ ; ln 1 = 0 ; ln e = 1 (e ≈ 2,718) ; (ln x)' = 1/x.
ln est strictement croissante : ln a = ln b ⇔ a = b ; ln a < ln b ⇔ a < b.
ln x < 0 si 0 < x < 1 ; ln x > 0 si x > 1.
ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(1/a) = −ln a.
ln(aⁿ) = n ln a ; ln √a = (1/2) ln a ; ln(eⁿ) = n.
f(x) = ln(u(x)) existe si et seulement si u(x) > 0.
4Erreurs fréquentes
- Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : c'est FAUX. La propriété concerne le produit : ln(ab) = ln a + ln b.
- Écrire ln(a)/ln(b) = ln(a/b) ou ln(a) × ln(b) = ln(ab) : ces formules n'existent pas.
- Calculer ln(0) ou ln d'un nombre négatif : ln n'est définie que pour x > 0.
- Diviser par un logarithme négatif sans changer le sens de l'inégalité : ln 0,9 < 0, donc diviser par ln 0,9 inverse l'inégalité.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Simplifie.
a) ln 50 - ln 2
b) ln(e3)
c) ln √e
d) ln(1e2)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ln 50 - ln 2 = ln502 = ln 25 = ln(52) = 2 ln 5.
b) ln(e3) = 3 ln e = 3.
c) ln √e = 12 ln e = 12.
d) ln(1e2) = -ln(e2) = -2.
2Exercice 2
Exprime en fonction de ln 2 et ln 3, puis donne une valeur approchée au centième.
a) ln 18
b) ln(49)
c) ln 72
d) ln √6
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 18 = 2 × 32 : ln 18 = ln 2 + 2 ln 3 ≈ 0,693 + 2,197 = 2,890, soit environ 2,89.
b) ln49 = ln(22) - ln(32) = 2 ln 2 - 2 ln 3 ≈ 1,386 - 2,197 = -0,811, soit environ -0,81.
c) 72 = 8 × 9 = 23 × 32 : ln 72 = 3 ln 2 + 2 ln 3 ≈ 2,079 + 2,197 = 4,276, soit environ 4,28.
d) ln √6 = 12 ln 6 = 12(ln 2 + ln 3) ≈ 12 × 1,792 = 0,896, soit environ 0,90.
3Exercice 3
Détermine l'ensemble de définition de chaque fonction.
a) f(x) = ln(3x + 9)
b) g(x) = ln(x2 + 1)
c) h(x) = ln(4 - x2)
d) k(x) = ln(x) + ln(5 - x)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3x + 9 > 0 ⇔ x > -3. Df = ]-3 ; +∞[.
b) x2 + 1 ≥ 1 > 0 pour tout réel x. Dg = ℝ.
c) 4 - x2 > 0 ⇔ (2 - x)(2 + x) > 0 ; ce trinôme (a = -1) est positif entre ses racines -2 et 2. Dh = ]-2 ; 2[.
d) Il faut x > 0 et 5 - x > 0, soit 0 < x < 5. Dk = ]0 ; 5[.
4Exercice 4
Sans calculatrice, donne le signe de chaque nombre en justifiant.
a) ln 0,7
b) ln32 - ln43
c) ln57
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 0 < 0,7 < 1, donc ln 0,7 < 0.
b) ln32 - ln43 = ln(32 × 34) = ln98. Comme 98 > 1, ce nombre est positif.
c) 0 < 57 < 1, donc ln57 < 0.
5Exercice 5
(Type BAC)
a) Montre que ln(√5 - 1) + ln(√5 + 1) = 2 ln 2.
b) Écris B = 3 ln 2 + ln 5 - ln 4 sous la forme ln N, avec N entier.
c) Kadiatou place une somme à 5 % d'intérêts composés par an. Au bout de combien d'années entières son capital aura-t-il au moins doublé ? (On donne ln 2 ≈ 0,6931 et ln 1,05 ≈ 0,0488.)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ln(√5 - 1) + ln(√5 + 1) = ln[(√5 - 1)(√5 + 1)] = ln(5 - 1) = ln 4 = ln(22) = 2 ln 2. (Les deux nombres sont bien positifs car √5 > 1.)
b) B = ln(23) + ln 5 - ln 4 = ln8 × 54 = ln 10.
c) Après n années, le capital est multiplié par 1,05n. On cherche 1,05n ≥ 2.
ln est croissante : n ln 1,05 ≥ ln 2. Comme ln 1,05 > 0 : n ≥ ln 2ln 1,05 ≈ 0,69310,0488 ≈ 14,2.
Le capital aura au moins doublé au bout de 15 années.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
Toutes les leçons de Mathématiques · Terminale SS
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
