Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 27
Les équations produits (A × B = 0)
Je sais résoudre une équation qui s'écrit, ou que je peux factoriser, sous la forme d'un produit égal à zéro.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer et utiliser la propriété du produit nul
- Factoriser une expression pour se ramener à une équation produit
- Résoudre une équation produit et écrire l'ensemble des solutions
- Mettre un problème concret en équation et interpréter les solutions
Avant de commencer : Le calcul littéral (développer, factoriser avec un facteur commun et les identités remarquables) et la résolution des équations du premier degré ax + b = 0.
1Je découvre
Fatoumata veut entourer d'un grillage une planche de potager rectangulaire dans la cour familiale, à Kindia. Elle sait deux choses : la longueur dépasse la largeur de 3 m, et la surface doit être de 40 m².
Elle appelle x la largeur, en mètres. La longueur vaut alors x + 3 et l'aire vaut x(x + 3). Elle doit donc résoudre :
x(x + 3) = 40, soit x2 + 3x - 40 = 0.
Fatoumata sait résoudre 2x - 6 = 0, mais cette équation contient un x2 : elle ne peut pas « isoler x » comme d'habitude. Son grand frère Lansana lui montre que x2 + 3x - 40 = (x + 8)(x - 5). Il ajoute : « Maintenant, c'est facile : un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul. »
Pourquoi cette astuce marche-t-elle, et comment l'utiliser dans toutes les équations de ce type ?
Comment résoudre une équation de la forme A × B = 0, et comment y ramener une équation plus compliquée ?
2Je comprends
1. La propriété du produit nul
Tu sais que 0 × 7 = 0 et que -5 × 0 = 0 : dès qu'un facteur est nul, le produit est nul. La réciproque est vraie aussi : si deux nombres sont tous les deux différents de zéro, leur produit n'est jamais nul.
Propriété du produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
Le mot « ou » veut dire qu'il suffit que l'un des deux facteurs soit nul (les deux peuvent l'être en même temps).
2. Qu'est-ce qu'une équation produit ?
Une équation produit est une équation dont un membre est un produit de facteurs et l'autre membre est zéro. Par exemple :
(2x - 6)(x + 5) = 0 ; x(3x + 1) = 0 ; (x - 1)(x + 2)(4 - x) = 0.
Grâce à la propriété, on remplace une équation difficile par plusieurs équations du premier degré, que tu sais déjà résoudre.
L'ensemble des solutions, noté S, s'écrit entre accolades, avec les solutions rangées dans l'ordre croissant et séparées par un point-virgule : S = {-5 ; 3}.
3. Se ramener à une équation produit
Souvent, l'équation n'est pas donnée sous forme de produit. On utilise alors ce que tu as appris dans la leçon sur le calcul littéral :
- tout passer dans le même membre, pour avoir « … = 0 » ;
- factoriser ce membre :
- avec un facteur commun : ka + kb = k(a + b) ;
- avec les identités remarquables : a2 - b2 = (a - b)(a + b) ; a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
Un cas important : l'équation x2 = a.
- Si a > 0 : x2 - a = 0 ⇔ (x - √a)(x + √a) = 0, donc S = {-√a ; √a}.
- Si a = 0 : S = {0}.
- Si a < 0 : un carré n'est jamais négatif, donc S = ∅ (aucune solution).
Méthode
Pour résoudre une équation en se ramenant à un produit nul :
- Je passe tous les termes dans le premier membre pour obtenir « … = 0 ».
- Je factorise ce membre (facteur commun ou identité remarquable).
- J'écris : « Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. »
- Je résous chaque équation du premier degré obtenue.
- J'écris l'ensemble S des solutions et, si j'ai le temps, je vérifie une solution en la remplaçant dans l'équation de départ.
Exemple
Résoudre (2x − 6)(x + 5) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
2x − 6 = 0 ou x + 5 = 0
2x = 6 ou x = −5
x = 3 ou x = −5.
S = {−5 ; 3}.
Vérification pour x = 3 : (2 × 3 − 6)(3 + 5) = 0 × 8 = 0. Juste.
Exemple
Résoudre x² − 9 = 0.
On reconnaît a² − b² avec a = x et b = 3 : x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
L'équation devient (x − 3)(x + 3) = 0.
x − 3 = 0 ou x + 3 = 0, donc x = 3 ou x = −3.
S = {−3 ; 3}.
Exemple
Résoudre (x + 1)(2x − 3) − (x + 1)(x + 4) = 0.
Le facteur commun est (x + 1) :
(x + 1)[(2x − 3) − (x + 4)] = 0
(x + 1)(2x − 3 − x − 4) = 0
(x + 1)(x − 7) = 0.
x + 1 = 0 ou x − 7 = 0, donc x = −1 ou x = 7.
S = {−1 ; 7}.
Exemple
Résoudre x² = 5x.
On ne divise surtout pas par x ! On passe tout dans le premier membre :
x² − 5x = 0, puis on factorise par x : x(x − 5) = 0.
x = 0 ou x − 5 = 0, donc x = 0 ou x = 5.
S = {0 ; 5}. (En divisant par x, on aurait perdu la solution 0.)
4. Retour au potager de Fatoumata
On vérifie d'abord la factorisation proposée par Lansana en développant : (x + 8)(x - 5) = x2 - 5x + 8x - 40 = x2 + 3x - 40. C'est juste.
L'équation devient (x + 8)(x - 5) = 0, donc x = -8 ou x = 5. Une largeur ne peut pas être négative : on rejette -8. La planche mesure 5 m de large et 5 + 3 = 8 m de long. Vérification : 5 × 8 = 40 m².
Dans un problème, on garde seulement les solutions qui ont un sens dans la situation.
3Je retiens
Je retiens
Propriété du produit nul : A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.
Pour résoudre une équation qui n'est pas un produit : tout passer dans un membre, factoriser, puis appliquer la propriété.
Identités utiles : a² − b² = (a − b)(a + b) ; a² ± 2ab + b² = (a ± b)².
x² = a : deux solutions −√a et √a si a > 0 ; une seule solution 0 si a = 0 ; aucune si a < 0.
On n'a jamais le droit de diviser les deux membres par une expression qui contient x.
Dans un problème, on rejette les solutions qui n'ont pas de sens (longueur négative, par exemple).
4Erreurs fréquentes
- Appliquer la propriété quand le second membre n'est pas zéro : (x − 1)(x + 2) = 6 ne donne pas x − 1 = 6 ou x + 2 = 6. Il faut d'abord obtenir « = 0 ».
- Diviser par x : dans x² = 5x, on perd la solution 0. On factorise au lieu de diviser.
- Oublier une solution de x² = a : x² = 16 a deux solutions, −4 et 4.
- Se tromper de signe en résolvant un facteur : x + 5 = 0 donne x = −5, pas x = 5.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous les équations suivantes.
a) (x - 4)(x + 7) = 0
b) (3x + 2)(5 - x) = 0
c) x(2x - 1) = 0
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : x - 4 = 0 ou x + 7 = 0, soit x = 4 ou x = -7. S = {-7 ; 4}.
b) 3x + 2 = 0 ou 5 - x = 0, soit x = -23 ou x = 5. S = {-23 ; 5}.
c) x = 0 ou 2x - 1 = 0, soit x = 0 ou x = 12. S = {0 ; 12}.
2Exercice 2
Factorise le premier membre, puis résous.
a) 4x2 - 25 = 0
b) x2 + 6x + 9 = 0
c) x2 - 4x = 0
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a) 4x2 - 25 = (2x)2 - 52 = (2x - 5)(2x + 5). Donc 2x - 5 = 0 ou 2x + 5 = 0, soit x = 52 ou x = -52. S = {-52 ; 52}.
b) x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = (x + 3)2. Donc (x + 3)(x + 3) = 0, soit x = -3. S = {-3} (une seule solution).
c) x2 - 4x = x(x - 4). Donc x = 0 ou x = 4. S = {0 ; 4}.
3Exercice 3
Résous l'équation (2x + 1)(x - 3) + (2x + 1)(4 - 3x) = 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Le facteur commun est (2x + 1) :
(2x + 1)[(x - 3) + (4 - 3x)] = 0, soit (2x + 1)(-2x + 1) = 0, c'est-à-dire (2x + 1)(1 - 2x) = 0.
2x + 1 = 0 ou 1 - 2x = 0, soit x = -12 ou x = 12. S = {-12 ; 12}.
4Exercice 4
(Type BEPC) On donne l'expression E = (3x - 1)2 - (x + 5)2.
a) Développe et réduis E.
b) Factorise E.
c) Résous l'équation E = 0.
d) Calcule E pour x = 0.
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a) (3x - 1)2 = 9x2 - 6x + 1 et (x + 5)2 = x2 + 10x + 25.
E = 9x2 - 6x + 1 - x2 - 10x - 25 = 8x2 - 16x - 24.
b) E est de la forme a2 - b2 avec a = 3x - 1 et b = x + 5 :
E = [(3x - 1) - (x + 5)][(3x - 1) + (x + 5)] = (2x - 6)(4x + 4).
On peut aller plus loin : 2x - 6 = 2(x - 3) et 4x + 4 = 4(x + 1), donc E = 8(x - 3)(x + 1).
c) E = 0 ⇔ 8(x - 3)(x + 1) = 0. Comme 8 ≠ 0 : x - 3 = 0 ou x + 1 = 0, soit x = 3 ou x = -1. S = {-1 ; 3}.
d) Avec la forme développée : E = 8 × 02 - 16 × 0 - 24 = -24.
5Exercice 5
(Problème) Alpha, éleveur dans le Fouta-Djallon, a un enclos carré pour ses chèvres, de côté x mètres. S'il allonge chaque côté de 6 m, l'aire de l'enclos est multipliée par 4.
a) Montre que x vérifie (x + 6)2 = 4x2.
b) Montre que cette équation s'écrit (6 - x)(3x + 6) = 0.
c) Déduis-en le côté de l'enclos, puis vérifie ta réponse.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) L'aire de l'enclos de départ est x2. Le nouvel enclos a pour côté x + 6, donc pour aire (x + 6)2. L'aire est multipliée par 4 : (x + 6)2 = 4x2.
b) On passe tout dans le premier membre : (x + 6)2 - 4x2 = 0, soit (x + 6)2 - (2x)2 = 0. C'est la forme a2 - b2 avec a = x + 6 et b = 2x :
[(x + 6) - 2x][(x + 6) + 2x] = 0, soit (6 - x)(3x + 6) = 0.
c) 6 - x = 0 ou 3x + 6 = 0, soit x = 6 ou x = -2. Un côté est positif : on rejette -2. L'enclos a 6 m de côté.
Vérification : aire de départ 62 = 36 m² ; nouveau côté 12 m, nouvelle aire 122 = 144 m² et 144 = 4 × 36. C'est juste.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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