Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 19
Fonctions polynômes et fonctions rationnelles simples
Je sais reconnaître et factoriser un polynôme à partir d'une racine, et étudier une fonction rationnelle simple (ensemble de définition, simplification, signe).
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un polynôme, son degré et ses coefficients ; utiliser l'égalité de deux polynômes
- Factoriser un polynôme par (x − a) quand a est une racine
- Résoudre une équation ou une inéquation polynôme de degré 3
- Étudier une fonction rationnelle : ensemble de définition, simplification, écriture a + k/(cx + d), signe
Avant de commencer : Les équations et inéquations du second degré, le tableau de signes et l'ensemble de définition d'une fonction.
1Je découvre
Ousmane, soudeur à Kissidougou, fabrique des boîtes sans couvercle à partir de plaques de tôle carrées de 20 cm de côté. Dans chaque coin, il découpe un petit carré de côté x cm, puis il replie les bords.
La boîte obtenue a une base carrée de côté 20 - 2x et une hauteur x. Son volume, en cm³, vaut :
V(x) = x(20 - 2x)2 = 4x3 - 80x2 + 400x, avec 0 < x < 10.
Un client demande une boîte de 512 cm³. Ousmane essaie x = 2 : V(2) = 2 × 162 = 512. Parfait ! Mais il se demande s'il existe une autre découpe qui donne le même volume. Il doit résoudre 4x3 - 80x2 + 400x = 512 : une équation de degré 3, et la formule du discriminant ne s'applique plus.
Comment factoriser un polynôme de degré 3 quand on connaît déjà une racine ?
2Je comprends
1. Les polynômes
Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction de la forme :
P(x) = an xn + an-1xn-1 + … + a1 x + a0,
où n est un entier naturel et les ak sont des réels appelés coefficients. Si an ≠ 0, l'entier n est le degré de P. Un polynôme est défini sur ℝ.
Exemples : 3x - 7 est de degré 1 ; 2x2 - x + 5 de degré 2 ; x3 - 2x2 - 5x + 6 de degré 3.
Égalité de deux polynômes. Deux polynômes sont égaux (pour tout x) si et seulement s'ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de x. C'est le principe de l'identification des coefficients.
2. Racine et factorisation par (x − a)
Un réel a est une racine du polynôme P si P(a) = 0.
Propriété. Si a est une racine de P, de degré n, alors on peut écrire P(x) = (x - a)Q(x), où Q est un polynôme de degré n - 1.
Pour trouver une racine « évidente », on essaie les petits entiers : 1, -1, 2, -2, 3… Pour trouver Q, deux méthodes : l'identification des coefficients ou le tableau de Horner.
Exemple
Factoriser P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.
Racine évidente : P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0. Donc P(x) = (x − 1)(ax² + bx + c).
On développe : (x − 1)(ax² + bx + c) = ax³ + (b − a)x² + (c − b)x − c.
On identifie avec x³ − 2x² − 5x + 6 :
a = 1 ; b − a = −2 donc b = −1 ; c − b = −5 donc c = −6 ; contrôle : −c = 6. Juste.
P(x) = (x − 1)(x² − x − 6).
Pour x² − x − 6 : Δ = 1 + 24 = 25, racines (1 − 5)/2 = −2 et (1 + 5)/2 = 3.
P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3).
Le tableau de Horner donne Q plus vite. On écrit les coefficients de P sur une ligne. On descend le premier ; puis, pour chaque colonne, on multiplie le dernier nombre obtenu par a et on l'ajoute au coefficient suivant. Le dernier résultat est P(a) ; il doit valoir 0.
| 1 | -2 | -5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|
| a = 1 | 1 × 1 = 1 | -1 × 1 = -1 | -6 × 1 = -6 | |
| résultat | 1 | -1 | -6 | 0 |
On lit les coefficients de Q : 1, -1, -6, donc Q(x) = x2 - x - 6, et le reste est bien nul.
Méthode
Pour résoudre une équation ou une inéquation polynôme de degré 3 :
- Je passe tout dans un membre : P(x) = 0, P(x) ≥ 0…
- Je cherche une racine évidente a (j'essaie 1, −1, 2, −2, 3…).
- J'écris P(x) = (x − a)Q(x) et je trouve Q par identification ou par Horner.
- Je factorise Q (degré 2) avec le discriminant.
- Je résous l'équation avec le produit nul, ou l'inéquation avec un tableau de signes.
Le tableau de signes de P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) :
| x | -∞ | -2 | 1 | 3 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 2 | - | 0 | + | + | + | ||||
| x - 1 | - | - | 0 | + | + | ||||
| x - 3 | - | - | - | 0 | + | ||||
| P(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
Ainsi P(x) > 0 ⇔ x ∈ ]-2 ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[.
3. Les fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes : f(x) = P(x)Q(x). Elle est définie pour tous les réels qui n'annulent pas Q.
Simplifier une fonction rationnelle, c'est factoriser le numérateur et le dénominateur puis supprimer les facteurs communs, en conservant l'ensemble de définition de départ.
Exemple
Simplifier f(x) = (x² − 4)/(x² + x − 2).
Dénominateur : Δ = 1 + 8 = 9, racines (−1 − 3)/2 = −2 et (−1 + 3)/2 = 1, donc x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1).
Df = ℝ \ {−2 ; 1}.
Numérateur : x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Pour x ∈ Df : f(x) = (x − 2)(x + 2) / [(x + 2)(x − 1)] = (x − 2)/(x − 1).
Attention : la valeur −2 reste interdite, même si elle a disparu de l'écriture simplifiée.
Fonction homographique. C'est une fonction de la forme f(x) = ax + bcx + d avec c ≠ 0 et ad - bc ≠ 0. Elle est définie sur ℝ setminus {-dc}. On peut toujours l'écrire sous la forme f(x) = α + kcx + d, très utile pour l'étudier : sa courbe est une hyperbole, de même forme que celle de la fonction inverse.
Exemple
Écrire f(x) = (2x + 1)/(x − 1) sous la forme α + k/(x − 1), puis résoudre f(x) ≥ 0.
2x + 1 = 2(x − 1) + 2 + 1 = 2(x − 1) + 3. Donc f(x) = 2 + 3/(x − 1) pour x ≠ 1.
Signe : 2x + 1 s'annule en −1/2 ; x − 1 s'annule en 1 (valeur interdite).
Sur ]−∞ ; −1/2[ : (−)/(−) = + ; sur ]−1/2 ; 1[ : (+)/(−) = − ; sur ]1 ; +∞[ : (+)/(+) = +.
f(x) ≥ 0 pour x ∈ ]−∞ ; −1/2] ∪ ]1 ; +∞[.
4. Retour aux boîtes d'Ousmane
V(x) = 512 ⇔ 4x3 - 80x2 + 400x - 512 = 0 ⇔ x3 - 20x2 + 100x - 128 = 0 (on a divisé par 4). On sait que 2 est racine. Horner avec a = 2 sur les coefficients 1, -20, 100, -128 donne 1, -18, 64 et un reste 0. Donc l'équation s'écrit (x - 2)(x2 - 18x + 64) = 0.
Pour x2 - 18x + 64 : Δ = 324 - 256 = 68, racines 9 - √17 et 9 + √17. Or √17 ≈ 4,12 : seule 9 - √17 ≈ 4,88 est dans ]0 ; 10[.
Il existe donc une seconde découpe : des carrés d'environ 4,88 cm de côté donnent aussi une boîte de 512 cm³ (plus haute et moins large).
3Je retiens
Je retiens
Un polynôme de degré n s'écrit aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ avec aₙ ≠ 0 ; il est défini sur ℝ.
Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients.
Si P(a) = 0, alors P(x) = (x − a)Q(x) avec Q de degré n − 1 (identification ou Horner).
Racines évidentes à tester : 1, −1, 2, −2, 3, −3.
Une fonction rationnelle P/Q est définie là où Q(x) ≠ 0 ; après simplification, les valeurs interdites restent interdites.
Homographique : f(x) = (ax + b)/(cx + d) = α + k/(cx + d) ; sa courbe est une hyperbole.
4Erreurs fréquentes
- Oublier un coefficient nul dans Horner : pour x³ − 4x + 3, il faut écrire 1 ; 0 ; −4 ; 3.
- Simplifier un quotient terme à terme : (x² + 3)/(x + 3) n'est pas égal à x + 1. On ne simplifie que des FACTEURS.
- Perdre une valeur interdite après simplification : (x − 2)(x + 2)/[(x + 2)(x − 1)] n'est pas défini en −2.
- Confondre racine de P et valeur de P : a est racine si P(a) = 0, pas si P(0) = a.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Détermine les réels a et b tels que, pour tout x, 2x2 + 7x - 4 = (x + 4)(ax + b).
Voir le corrigéCacher le corrigé
(x + 4)(ax + b) = ax2 + (4a + b)x + 4b. Par identification : a = 2 ; 4b = -4 donc b = -1 ; contrôle : 4a + b = 8 - 1 = 7. Juste. Donc 2x2 + 7x - 4 = (x + 4)(2x - 1).
2Exercice 2
On donne P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6.
a) Calcule P(2).
b) Factorise P(x) en un produit de trois facteurs du premier degré.
c) Résous P(x) = 0, puis P(x) ≥ 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0 : 2 est racine.
b) Horner avec a = 2 sur 1, 2, -5, -6 : on obtient 1 ; 2 + 2 = 4 ; -5 + 8 = 3 ; -6 + 6 = 0. Donc P(x) = (x - 2)(x2 + 4x + 3). Puis x2 + 4x + 3 : Δ = 16 - 12 = 4, racines -3 et -1. P(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3).
c) P(x) = 0 ⇔ x ∈ {-3 ; -1 ; 2}.
Signes : sur ]-∞ ; -3[ : (-)(-)(-) = - ; sur ]-3 ; -1[ : (-)(-)(+) = + ; sur ]-1 ; 2[ : (-)(+)(+) = - ; sur ]2 ; +∞[ : +.
P(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [-3 ; -1] ∪ [2 ; +∞[.
3Exercice 3
On donne f(x) = 3x - 2x + 2.
a) Donne l'ensemble de définition de f.
b) Écris f(x) sous la forme α + kx + 2.
c) Résous l'inéquation f(x) ≤ 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Df = ℝ setminus {-2}.
b) 3x - 2 = 3(x + 2) - 6 - 2 = 3(x + 2) - 8, donc f(x) = 3 - 8x + 2.
c) 3x - 2 s'annule en 23 ; -2 est interdite. Sur ]-∞ ; -2[ : + ; sur ]-2 ; 23[ : - ; sur ]23 ; +∞[ : +. S = ]-2 ; 23].
4Exercice 4
On donne g(x) = x2 - 9x2 - 5x + 6.
a) Détermine Dg et simplifie g(x).
b) Résous l'équation g(x) = 2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x2 - 5x + 6 : Δ = 25 - 24 = 1, racines 2 et 3. Dg = ℝ setminus {2 ; 3}. Pour x ∈ Dg : g(x) = (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x - 3) = x + 3x - 2.
b) Pour x ∈ Dg : x + 3x - 2 = 2 ⇔ x + 3 = 2x - 4 ⇔ x = 7. Comme 7 ∈ Dg : S = {7}.
5Exercice 5
(Type BAC) On reprend la boîte d'Ousmane : V(x) = x(20 - 2x)2 pour 0 < x < 10.
a) Calcule V(2) et V(5).
b) Développe V(x).
c) Montre que V(x) - 512 = 4(x - 2)(x2 - 18x + 64).
d) Résous V(x) = 512 sur ]0 ; 10[ ; donne les valeurs exactes puis une valeur approchée au centième.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) V(2) = 2 × 162 = 512 cm³ ; V(5) = 5 × 102 = 500 cm³.
b) (20 - 2x)2 = 400 - 80x + 4x2, donc V(x) = 4x3 - 80x2 + 400x.
c) 4(x - 2)(x2 - 18x + 64) = 4(x3 - 18x2 + 64x - 2x2 + 36x - 128) = 4(x3 - 20x2 + 100x - 128) = 4x3 - 80x2 + 400x - 512 = V(x) - 512.
d) V(x) = 512 ⇔ (x - 2)(x2 - 18x + 64) = 0. Donc x = 2, ou x2 - 18x + 64 = 0 : Δ = 68, x = 9 - √17 ou x = 9 + √17. Or 9 + √17 ≈ 13,12 > 10 est rejetée. Solutions : x = 2 et x = 9 - √17 ≈ 4,88.
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