Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 19
Probabilités : vocabulaire et calculs simples
Je sais décrire une expérience aléatoire avec le bon vocabulaire et calculer des probabilités dans une situation d'équiprobabilité, en utilisant au besoin le dénombrement.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire des probabilités (univers, issue, événement, contraire, intersection, réunion, incompatibles)
- Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
- Utiliser les formules P(Ā) = 1 − P(A) et P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Combiner dénombrement et probabilités pour des tirages
Avant de commencer : Le dénombrement (arrangements, combinaisons), les fractions et les fréquences.
1Je découvre
Au lycée de Kindia, le professeur de mathématiques veut désigner au hasard un élève pour corriger l'exercice au tableau. Il écrit le nom de chacun des 40 élèves sur un petit papier, plie les papiers et les met dans une boîte. La classe compte 22 filles et 18 garçons.
Mariama murmure à sa voisine : « Il y a plus de filles que de garçons, donc c'est plus probable qu'il tire une fille. » Mamadou, lui, dit : « Moi, j'ai une chance sur 40 d'être choisi, comme tout le monde. »
Ils ont tous les deux raison. Mais comment le dire avec précision ? Combien vaut exactement la « chance » de tirer une fille ? Et si le professeur tire deux papiers à la fois, quelle est la chance d'avoir une fille et un garçon ?
Le hasard semble imprévisible, et pourtant on peut le mesurer : c'est l'objet des probabilités.
Comment décrire une expérience de hasard et calculer la probabilité d'un événement ?
2Je comprends
1. Expérience aléatoire et univers
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer un papier dans une boîte).
- Chaque résultat possible est une issue (ou éventualité).
- L'ensemble de toutes les issues est l'univers, noté Ω.
Exemple : on lance un dé à six faces et on lit le nombre obtenu. Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
2. Les événements
Un événement est une partie de l'univers : un ensemble d'issues. On dit qu'il est réalisé si l'issue obtenue lui appartient.
| Vocabulaire | Signification | Exemple (dé) |
|---|---|---|
| Événement élémentaire | une seule issue | « obtenir 3 » = {3} |
| Événement certain | Ω tout entier | « obtenir un nombre entre 1 et 6 » |
| Événement impossible | aucune issue : ∅ | « obtenir 7 » |
| Contraire A | réalisé quand A ne l'est pas | contraire de « pair » : « impair » |
| A ∩ B (« A et B ») | issues communes à A et B | « pair et au moins 5 » = {6} |
| A ∪ B (« A ou B ») | issues de A ou de B (ou des deux) | « pair ou au moins 5 » = {2 ; 4 ; 5 ; 6} |
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : A ∩ B = ∅. Exemple : « obtenir 1 » et « obtenir un nombre pair ».
3. Probabilité d'un événement
Une probabilité associe à chaque événement A un nombre P(A) qui mesure ses chances de se réaliser, avec :
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ;
- P(Ω) = 1 et P(∅) = 0 ;
- P(A) est la somme des probabilités des issues qui composent A.
Équiprobabilité. Quand toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, tirage « au hasard » de papiers identiques), on dit qu'il y a équiprobabilité et :
P(A) = nombre d'issues favorables à Anombre total d'issues = card(A)card(Ω).
Pour le tirage du professeur : P(« fille ») = 2240 = 1120 = 0,55 et chaque élève a une probabilité 140 d'être choisi.
Lien avec les fréquences. Si l'on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité. C'est pourquoi on peut aussi estimer une probabilité à partir de statistiques.
4. Règles de calcul
Événement contraire : P(A) = 1 - P(A).
Réunion : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
On retire P(A ∩ B) car les issues communes ont été comptées deux fois. Si A et B sont incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Réalisé quand l'issue est dans A
- Probabilité P(A)
- Exemple : au moins une mangue abîmée
- Réalisé quand l'issue n'est pas dans A
- Probabilité 1 − P(A)
- Exemple : aucune mangue abîmée
Exemple
On lance un dé équilibré. A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir au moins 5 ». Calculer P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B) et P(Ā).
A = {2 ; 4 ; 6} : P(A) = 3/6 = 1/2. B = {5 ; 6} : P(B) = 2/6 = 1/3.
A ∩ B = {6} : P(A ∩ B) = 1/6.
P(A ∪ B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.
Contrôle : A ∪ B = {2 ; 4 ; 5 ; 6}, soit 4 issues sur 6. Juste.
P(Ā) = 1 − 1/2 = 1/2 (obtenir un nombre impair).
5. Utiliser un tableau
Quand l'expérience a deux étapes (deux dés, deux caractères), un tableau à double entrée permet de lister toutes les issues.
Exemple
On lance deux dés équilibrés et on fait la somme. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ?
Il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables (couples (dé 1 ; dé 2)).
Somme 7 : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), soit 6 issues.
P(« somme 7 ») = 6/36 = 1/6.
6. Probabilités et dénombrement
Quand les issues sont trop nombreuses pour être listées, on les compte avec les outils de la leçon précédente : combinaisons pour un tirage simultané, arrangements pour des tirages successifs sans remise, np avec remise.
Exemple
Un panier contient 10 mangues dont 3 abîmées. On en prend 4 au hasard, simultanément. Calculer la probabilité qu'aucune ne soit abîmée, puis qu'au moins une le soit.
Nombre de tirages possibles (équiprobables) : C₁₀⁴ = 210.
Aucune abîmée : 4 mangues parmi les 7 saines, C₇⁴ = 35. P = 35/210 = 1/6.
Au moins une abîmée : c'est le contraire de « aucune ». P = 1 − 1/6 = 5/6.
Méthode
Pour calculer une probabilité :
- Je décris l'expérience et l'univers Ω ; je vérifie qu'il y a équiprobabilité (« au hasard », « équilibré », « indiscernables au toucher »).
- Je compte card(Ω) : liste, arbre, tableau ou formule de dénombrement.
- Je nomme l'événement par une lettre et je compte ses issues favorables.
- Je calcule P(A) = card(A)/card(Ω) et je simplifie la fraction.
- Pour « au moins un », je passe par le contraire : P(A) = 1 − P(Ā).
- Je vérifie que le résultat est entre 0 et 1.
3Je retiens
Je retiens
Univers Ω : ensemble des issues ; événement : partie de Ω.
Ā : contraire de A ; A ∩ B : A et B ; A ∪ B : A ou B ; incompatibles : A ∩ B = ∅.
0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0.
Équiprobabilité : P(A) = card(A)/card(Ω) = issues favorables / issues possibles.
P(Ā) = 1 − P(A).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; si A et B sont incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Tirage simultané : on compte avec les combinaisons.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de retirer P(A ∩ B) dans la formule de la réunion : on compte alors deux fois les issues communes.
- Utiliser la formule « favorables sur possibles » sans équiprobabilité (dé truqué, issues de chances différentes).
- Confondre incompatibles (ne peuvent pas arriver ensemble) et contraires (l'un ou l'autre arrive forcément).
- Trouver une probabilité supérieure à 1 ou négative et ne pas s'arrêter pour chercher l'erreur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On lance un dé équilibré à six faces.
a) Écris l'univers Ω.
b) On note A : « obtenir un multiple de 3 » et B : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 ». Écris A, B, A ∩ B et B. A et B sont-ils incompatibles ?
c) Calcule P(A), P(B) et P(A ∪ B).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
b) A = {3 ; 6} ; B = {1 ; 2} ; A ∩ B = ∅ ; B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}. Comme A ∩ B = ∅, A et B sont incompatibles.
c) P(A) = 26 = 13 ; P(B) = 13 ; incompatibles : P(A ∪ B) = 13 + 13 = 23.
2Exercice 2
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes, indiscernables au toucher.
a) On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?
b) On tire simultanément 3 boules. Calcule la probabilité d'obtenir : exactement 2 rouges ; 3 vertes ; au moins une rouge.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) P(R) = 58.
b) card(Ω) = C83 = 56.
Exactement 2 rouges : C52 × C31 = 30, P = 3056 = 1528.
3 vertes : C33 = 1, P = 156.
Au moins une rouge : contraire de « 3 vertes », P = 1 - 156 = 5556.
3Exercice 3
On lance deux dés équilibrés et on fait la somme des points.
a) Combien y a-t-il d'issues ?
b) Calcule la probabilité d'obtenir une somme d'au moins 10.
c) Calcule la probabilité d'obtenir un double (deux faces identiques).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 6 × 6 = 36 issues équiprobables.
b) Somme 10 : (4 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 4) ; somme 11 : (5 ; 6), (6 ; 5) ; somme 12 : (6 ; 6). Soit 6 issues : P = 636 = 16.
c) Doubles : (1 ; 1), …, (6 ; 6), soit 6 issues : P = 16.
4Exercice 4
a) A et B sont deux événements tels que P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 et P(A ∩ B) = 0,1. Calcule P(A ∪ B) et P(A). A et B sont-ils incompatibles ?
b) Dans une classe de 40 élèves, 25 jouent au football, 12 font de la course et 7 font les deux. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il pratique au moins l'un des deux sports ? aucun des deux ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 - 0,1 = 0,7 ; P(A) = 1 - 0,5 = 0,5. Comme P(A ∩ B) = 0,1 ≠ 0, A et B ne sont pas incompatibles.
b) F : « football », C : « course ». P(F ∪ C) = 2540 + 1240 - 740 = 3040 = 34. Aucun des deux : 1 - 34 = 14.
5Exercice 5
(Type BAC) Une classe de 12e SS compte 30 élèves : 18 filles et 12 garçons. On tire au sort, simultanément, une délégation de 4 élèves.
a) Combien de délégations sont possibles ?
b) Calcule la probabilité de l'événement A : « la délégation compte exactement 2 filles ».
c) Calcule la probabilité de l'événement B : « la délégation ne compte que des filles ».
d) Déduis-en la probabilité de l'événement C : « la délégation compte au moins un garçon ».
Donne les résultats sous forme de fraction irréductible, puis arrondis au centième.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) card(Ω) = C304 = 27 405.
b) card(A) = C182 × C122 = 153 × 66 = 10 098. P(A) = 10 09827 405 = 3741 015 ≈ 0,37.
c) card(B) = C184 = 3 060. P(B) = 3 06027 405 = 68609 ≈ 0,11.
d) C est le contraire de B : P(C) = 1 - 68609 = 541609 ≈ 0,89.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
Toutes les leçons de Mathématiques · 12e SS
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
