Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 44
Le milieu d'un segment
Je sais définir, coder et construire le milieu d'un segment, à la règle graduée ou au compas, et calculer les longueurs qui s'en déduisent.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le milieu d'un segment
- Coder des longueurs égales sur une figure
- Construire le milieu d'un segment à la règle graduée
- Construire la médiatrice et le milieu d'un segment au compas
- Calculer des longueurs à l'aide du milieu
Avant de commencer : Mesurer un segment (règle graduée, compas, AC + CB = AB) ; droites perpendiculaires.
1Je découvre
Hawa et son frère Lansana ont reçu une canne à sucre de 1,2 m au marché de Kissidougou. Ils veulent la partager en deux morceaux exactement égaux, pour éviter toute dispute.
Lansana propose de couper « à l'œil, au milieu ». Hawa refuse : « Si tu te trompes de quelques centimètres, tu auras le plus gros morceau ! » Elle prend le mètre de couture de leur mère, mesure 1,2 m, soit 120 cm, et calcule la moitié : 60 cm. Elle fait une marque à 60 cm du bout, et c'est là qu'ils coupent.
Chacun a un morceau de 60 cm, et le point de coupe se trouve sur la canne, à égale distance des deux bouts. En géométrie, ce point s'appelle le milieu du segment.
Mais comment faire si l'on n'a pas de règle graduée, ou si la longueur ne se divise pas facilement par deux ?
Qu'est-ce que le milieu d'un segment, et comment le construire avec précision ?
2Je comprends
1. Définition
Définition. Le milieu d'un segment [AB] est le point I qui vérifie deux conditions :
- I appartient au segment [AB] ;
- I est à égale distance de A et de B : IA = IB.
Les deux conditions sont indispensables. Un point peut être à égale distance de A et de B sans être sur le segment : ce n'est alors pas le milieu.
Conséquence. Si I est le milieu de [AB], alors :
IA = IB = AB2 et AB = 2 × IA.
Un segment a un seul milieu.
2. Coder une figure
Sur une figure, on indique que deux segments ont la même longueur en dessinant le même codage sur chacun d'eux : un petit trait, deux petits traits, un rond… Pour le milieu I de [AB], on dessine le même signe sur [AI] et sur [IB].
3. Construire le milieu à la règle graduée
Méthode
Pour placer le milieu I d'un segment [AB] avec la règle graduée :
- Je mesure AB (par exemple AB = 7 cm).
- Je calcule la moitié : 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
- Je place le 0 de la règle sur A, le long du segment, et je marque le point I en face de 3,5 cm.
- Je code la figure (même signe sur [AI] et [IB]) et je vérifie que IB = 3,5 cm.
4. Construire le milieu au compas : la médiatrice
Cette méthode est plus précise, car elle n'utilise aucune mesure.
- 1Je pique le compas en A et je l'ouvre à plus de la moitié de AB.
- 2Je trace un arc de cercle au-dessus et un arc au-dessous du segment.
- 3Sans changer l'écartement, je pique en B et je trace deux arcs qui coupent les premiers.
- 4J'appelle M et N les deux points où les arcs se coupent.
- 5Je trace la droite (MN) : elle coupe [AB] en son milieu I.
La droite (MN) obtenue s'appelle la médiatrice du segment [AB].
Définition. La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
Propriété. Tout point de la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B. C'est pour cela qu'on a utilisé le même écartement de compas en A et en B.
5. Calculer avec le milieu
Exemple
I est le milieu du segment [CD] et CD = 9 cm. Calculer CI.
I est le milieu de [CD], donc CI = CD ÷ 2.
CI = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
Exemple
K est le milieu de [EF] et EK = 3,8 cm. Calculer EF.
K est le milieu de [EF], donc EF = 2 × EK.
EF = 2 × 3,8 = 7,6 cm.
Exemple
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre, AB = 4 cm et BC = 6 cm. M est le milieu de [AB] et N le milieu de [BC]. Calculer MN.
AC = AB + BC = 4 + 6 = 10 cm (car B est sur [AC]).
MB = AB ÷ 2 = 2 cm et BN = BC ÷ 2 = 3 cm.
M, B, N sont dans cet ordre sur la droite, donc MN = MB + BN = 2 + 3 = 5 cm.
Remarque : MN = AC ÷ 2. Ce n'est pas un hasard : MN = (AB + BC) ÷ 2.
6. Un contre-exemple important
Sur la figure de la médiatrice, le point M vérifie MA = MB, mais M n'est pas sur le segment [AB] : M n'est donc pas le milieu de [AB]. De même, si un point J est sur [AB] avec AJ = 2 cm et JB = 5 cm, il est sur le segment mais pas à égale distance : ce n'est pas le milieu non plus.
| Condition « sur [AB] » | Condition « IA = IB » | I est le milieu ? |
|---|---|---|
| oui | oui | oui |
| oui | non | non |
| non | oui | non (I est sur la médiatrice) |
3Je retiens
Je retiens
Le milieu I de [AB] est le point de [AB] tel que IA = IB.
Si I est le milieu de [AB], alors IA = IB = AB ÷ 2 et AB = 2 × IA.
On code les longueurs égales par le même signe.
On construit le milieu à la règle graduée (je mesure, je divise par 2) ou au compas (médiatrice).
La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu.
Tout point de la médiatrice est à égale distance de A et de B.
4Erreurs fréquentes
- Oublier la condition « I appartient à [AB] » : un point à égale distance de A et de B n'est pas forcément le milieu.
- Ouvrir le compas à moins de la moitié de AB : les arcs tracés depuis A et depuis B ne se coupent pas.
- Changer l'écartement du compas entre A et B : la droite obtenue n'est plus la médiatrice.
- Confondre « milieu » et « médiatrice » : le milieu est un point, la médiatrice est une droite.
5Je m’exerce
1Exercice 1
I est le milieu de [AB]. Complète.
a) AB = 12 cm, donc AI = …
b) AB = 7,4 cm, donc IB = …
c) AI = 2,6 cm, donc AB = …
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) AI = AB ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm.
b) IB = AB ÷ 2 = 7,4 ÷ 2 = 3,7 cm.
c) AB = 2 × AI = 2 × 2,6 = 5,2 cm.
2Exercice 2
Trace un segment [RS] de 8,6 cm. Place son milieu O à la règle graduée. Code la figure.
Voir le corrigéCacher le corrigé
8,6 ÷ 2 = 4,3. On place le 0 de la règle sur R et on marque O à 4,3 cm. On code [RO] et [OS] avec le même signe. On vérifie : OS = 4,3 cm.
3Exercice 3
Trace un segment [PQ] de 6 cm. Construis au compas sa médiatrice (d), puis marque le milieu K de [PQ]. Mesure PK pour vérifier.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On ouvre le compas à plus de 3 cm (par exemple 4 cm), on trace deux arcs de centre P, puis deux arcs de centre Q avec le même écartement. Les arcs se coupent en deux points ; la droite qui les relie est la médiatrice (d). Elle coupe [PQ] en K. On mesure PK = 3 cm, ce qui correspond bien à 6 ÷ 2.
4Exercice 4
Dis si le point I est le milieu de [AB]. Justifie.
a) I ∈ [AB], AI = 3 cm, IB = 3 cm.
b) I ∉ [AB], AI = 4 cm, IB = 4 cm.
c) I ∈ [AB], AI = 2,5 cm, AB = 6 cm.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Oui : I est sur [AB] et IA = IB = 3 cm.
b) Non : I n'appartient pas au segment [AB]. Il est à égale distance de A et de B, donc il est sur la médiatrice de [AB], mais ce n'est pas le milieu.
c) I ∈ [AB], donc IB = AB − AI = 6 − 2,5 = 3,5 cm. Comme AI = 2,5 cm et IB = 3,5 cm, on a AI ≠ IB : I n'est pas le milieu.
5Exercice 5
(Problème) Sur une route droite, les villages A, B, C, D sont placés dans cet ordre. AB = 3 km, BC = 5 km, CD = 2 km. On veut construire un centre de santé au point M, milieu de [AD].
a) Calcule AD.
b) Calcule AM.
c) Entre quels villages se trouve le centre de santé ? À quelle distance de B ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Les villages sont alignés dans l'ordre A, B, C, D : AD = AB + BC + CD = 3 + 5 + 2 = 10 km.
b) M est le milieu de [AD], donc AM = AD ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 km.
c) AB = 3 km et AC = AB + BC = 8 km. Comme 3 < 5 < 8, le point M est entre B et C. Sa distance à B est BM = AM − AB = 5 − 3 = 2 km.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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