Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 44
Le cercle
Je sais définir un cercle, utiliser son vocabulaire (centre, rayon, diamètre, corde, arc, disque) et le tracer au compas pour résoudre des problèmes de distances.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un cercle par son centre et son rayon
- Connaître le vocabulaire : rayon, diamètre, corde, arc, disque
- Utiliser la relation diamètre = 2 × rayon
- Savoir si un point est sur, dans ou hors du cercle
- Construire un point situé à des distances données de deux points
Avant de commencer : Mesurer un segment ; le milieu d'un segment ; utiliser le compas.
1Je découvre
Dans la cour de la concession familiale, à Faranah, le grand-père d'Aïssatou veut tracer au sol l'emplacement d'une case ronde. Il plante un piquet au centre, y attache une corde de 3 m, tend la corde et, en tournant autour du piquet, trace une ligne dans la terre avec un bâton fixé au bout de la corde.
Aïssatou observe : « Grand-père, tous les points de ta ligne sont à 3 m du piquet ! » Il sourit : « C'est pour cela que le mur sera bien rond. Si un point était à 2,90 m ou à 3,10 m, la case serait bosselée. »
Aïssatou comprend que son compas d'écolier fonctionne exactement comme la corde du grand-père : la pointe sèche est le piquet, l'écartement est la longueur de la corde.
Qu'est-ce qu'un cercle, comment nommer ses éléments, et à quoi sert-il en géométrie ?
2Je comprends
1. Définition
Définition. Le cercle de centre O et de rayon r est formé de tous les points situés à la distance r du point O.
On le note souvent (C) ou 𝒞, et on précise : « le cercle (C) de centre O et de rayon 3 cm ».
Autrement dit : un point M appartient au cercle (C) de centre O et de rayon r si et seulement si OM = r.
2. Le vocabulaire du cercle
| Mot | Définition | Sur la figure |
|---|---|---|
| Centre | le point à égale distance de tous les points du cercle | O |
| Rayon | un segment qui joint le centre à un point du cercle ; c'est aussi sa longueur | [OC], et OC = r |
| Corde | un segment qui joint deux points du cercle | [DE] |
| Diamètre | une corde qui passe par le centre ; c'est aussi sa longueur | [AB] |
| Arc | une partie du cercle comprise entre deux de ses points | l'arc de D à E |
| Disque | la surface formée par le cercle et tout son intérieur | la partie « pleine » |
Le mot « rayon » désigne donc à la fois un segment et une longueur. Il en est de même pour « diamètre ».
Propriété. Le diamètre d est le double du rayon r :
d = 2 × r et r = d ÷ 2.
Le centre O est le milieu de chaque diamètre. En effet, pour un diamètre [AB], O est sur [AB] et OA = OB = r.
Le diamètre est la plus longue corde du cercle.
3. Cercle et disque : ne pas confondre
Le cercle est seulement la « ligne » ronde (le fil de la case de grand-père). Le disque est toute la surface délimitée par cette ligne (le sol de la case). Une pièce de monnaie posée sur la table a la forme d'un disque ; son bord est un cercle.
4. Position d'un point par rapport à un cercle
Soit (C) le cercle de centre O et de rayon r, et M un point.
| Si… | alors M est… |
|---|---|
| OM = r | sur le cercle |
| OM < r | à l'intérieur du cercle (dans le disque) |
| OM > r | à l'extérieur du cercle |
Exemple
Le cercle (C) a pour centre O et pour rayon 5 cm. On a OA = 5 cm, OB = 3,8 cm, OE = 6,1 cm. Situer A, B et E.
OA = 5 cm = r : A appartient au cercle (C).
OB = 3,8 cm < 5 cm : B est à l'intérieur du cercle.
OE = 6,1 cm > 5 cm : E est à l'extérieur du cercle.
5. Tracer un cercle
Méthode
Pour tracer le cercle de centre O et de rayon 3 cm :
- Je place la pointe sèche du compas sur le 0 de la règle et j'ouvre le compas jusqu'à ce que la mine soit sur 3 cm.
- Je pique la pointe sèche exactement sur le point O.
- Je fais tourner le compas en le tenant par le haut, sans appuyer sur les branches, pour ne pas changer l'écartement.
- Je nomme le cercle, par exemple (C).
Si l'on connaît le diamètre, on commence par calculer le rayon. Pour un cercle de diamètre 7 cm, on ouvre le compas de 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
Exemple
Tracer le cercle de diamètre [AB] avec AB = 6 cm.
Le centre d'un cercle est le milieu de chacun de ses diamètres : je place le milieu O de [AB], avec OA = 6 ÷ 2 = 3 cm.
Le rayon vaut 3 cm : je trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm. Il passe par A et par B.
6. Le cercle pour trouver des points à une distance donnée
Le cercle est l'outil pour placer tous les points situés à une distance donnée d'un point.
Exemple
Ibrahima veut installer une pompe P à 4 km du village A et à 3 km du village B. Les deux villages sont distants de 5 km. Sur son plan, 1 cm représente 1 km. Où placer P ?
- Je trace [AB] avec AB = 5 cm.
- Les points à 4 cm de A sont sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm : je trace ce cercle (ou seulement des arcs).
- Les points à 3 cm de B sont sur le cercle de centre B et de rayon 3 cm : je le trace.
- Les deux cercles se coupent en deux points : ce sont les deux emplacements possibles de P, l'un de chaque côté de (AB).
Cette méthode permet aussi de construire un triangle dont on connaît les trois côtés : tu la reverras dans la leçon sur les triangles.
3Je retiens
Je retiens
Le cercle de centre O et de rayon r est formé de tous les points M tels que OM = r.
Rayon : du centre à un point du cercle. Corde : entre deux points du cercle. Diamètre : corde passant par le centre.
Diamètre = 2 × rayon ; rayon = diamètre ÷ 2. Le centre est le milieu de chaque diamètre.
OM = r : M est sur le cercle ; OM < r : à l'intérieur ; OM > r : à l'extérieur.
Le disque est la surface limitée par le cercle.
Pour trouver les points à une distance donnée d'un point, je trace un cercle.
4Erreurs fréquentes
- Ouvrir le compas de la valeur du diamètre au lieu du rayon : pour un diamètre de 8 cm, j'ouvre de 4 cm.
- Confondre cercle et disque : le cercle est la ligne, le disque est la surface.
- Appuyer sur les branches du compas en traçant : l'écartement change et la courbe ne se referme pas.
- Croire que toute corde est un diamètre : une corde n'est un diamètre que si elle passe par le centre.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète.
a) Un cercle a un rayon de 4,5 cm. Son diamètre mesure …
b) Un cercle a un diamètre de 13 cm. Son rayon mesure …
c) Un cercle a un diamètre de 1 m. Son rayon mesure … cm.
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a) d = 2 × r = 2 × 4,5 = 9 cm.
b) r = d ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6,5 cm.
c) 1 m = 100 cm, donc r = 100 ÷ 2 = 50 cm.
2Exercice 2
Le cercle (C) a pour centre O et pour rayon 2,5 cm. Pour chaque point, dis s'il est sur, dans ou hors du cercle.
a) OA = 2,5 cm b) OB = 3 cm c) OC = 1,9 cm d) OD = 25 mm
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a) OA = 2,5 cm = r : A est sur le cercle.
b) OB = 3 cm > 2,5 cm : B est à l'extérieur.
c) OC = 1,9 cm < 2,5 cm : C est à l'intérieur.
d) OD = 25 mm = 2,5 cm = r : D est sur le cercle.
3Exercice 3
Trace un cercle (C) de centre O et de rayon 3 cm. Trace un diamètre [MN], une corde [PQ] qui n'est pas un diamètre, et un rayon [OR]. Quelle est la longueur MN ?
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[MN] est un diamètre, donc MN = 2 × 3 = 6 cm. La corde [PQ] ne passe pas par O ; le rayon [OR] relie O à un point R du cercle, et OR = 3 cm.
4Exercice 4
Dis si chaque phrase est vraie ou fausse. Justifie.
a) Un diamètre est une corde.
b) Une corde est toujours un diamètre.
c) Le centre d'un cercle est le milieu de chacun de ses diamètres.
d) Un cercle a un seul rayon (segment).
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a) Vrai : un diamètre joint deux points du cercle, c'est donc une corde (qui passe par le centre).
b) Faux : une corde qui ne passe pas par le centre n'est pas un diamètre.
c) Vrai : O est sur le diamètre et à égale distance r de ses deux extrémités.
d) Faux : il y a une infinité de rayons (segments), un pour chaque point du cercle ; ils ont tous la même longueur.
5Exercice 5
(Problème) Fatoumata habite à 2 km de l'école E et à 3 km du marché M. L'école et le marché sont distants de 4 km. Sur un plan où 1 cm représente 1 km :
a) Trace le segment [EM].
b) Construis les emplacements possibles de la maison de Fatoumata. Combien y en a-t-il ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On trace [EM] avec EM = 4 cm.
b) La maison est à 2 cm de E : elle est sur le cercle de centre E et de rayon 2 cm. Elle est à 3 cm de M : elle est sur le cercle de centre M et de rayon 3 cm. Ces deux cercles se coupent en deux points, un de chaque côté de la droite (EM) : il y a deux emplacements possibles.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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