Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 44
Les multiples d'un nombre entier naturel
Je sais reconnaître et écrire les multiples d'un nombre entier, utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10, et trouver des multiples communs.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un multiple d'un nombre entier naturel
- Écrire la liste des premiers multiples d'un nombre
- Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
- Trouver les multiples communs à deux nombres et le plus petit d'entre eux (non nul)
Avant de commencer : Les tables de multiplication ; la division euclidienne (quotient et reste) apprise à l'école primaire.
1Je découvre
Au marché de Kankan, Fanta vend des mangues par tas de 4. Au fil de la matinée, elle compte les mangues vendues : 4, puis 8, puis 12, puis 16… Tous ces nombres sont obtenus en multipliant 4 par un nombre entier de tas.
Un client lui demande : « Je veux exactement 30 mangues, en tas entiers. » Fanta réfléchit : 7 tas font 28 mangues, 8 tas font 32 mangues. Impossible d'obtenir 30 avec des tas complets de 4 !
Sa voisine Mariama vend des oranges par sachets de 6. Les deux amies se demandent : « Combien faut-il vendre de fruits au minimum, pour que nous en ayons vendu exactement le même nombre, toi en tas de 4 et moi en sachets de 6 ? »
Qu'est-ce qu'un multiple d'un nombre, comment savoir rapidement si un nombre est multiple d'un autre, et comment trouver des multiples communs ?
2Je comprends
1. Définition
Définition. Un nombre entier naturel a est un multiple du nombre entier naturel b s'il existe un nombre entier naturel k tel que :
a = b × k.
On dit aussi que a est divisible par b : la division de a par b « tombe juste », son reste est 0.
Exemples :
- 28 = 4 × 7, donc 28 est un multiple de 4 (et aussi de 7).
- 30 n'est pas un multiple de 4 : 30 = 4 × 7 + 2, il reste 2.
Remarques importantes.
- 0 est un multiple de tous les nombres, car 0 = b × 0.
- Tout nombre est un multiple de 1 et de lui-même : a = 1 × a.
- Un nombre non nul a une infinité de multiples.
2. La liste des multiples
Pour écrire les multiples de b, on multiplie b par 0, 1, 2, 3, 4… On obtient ainsi la « table » de b, qui ne s'arrête jamais.
| Nombre | Premiers multiples |
|---|---|
| 4 | 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 … |
| 6 | 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 … |
| 9 | 0 ; 9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 … |
Les multiples de 2 s'appellent les nombres pairs : 0, 2, 4, 6, 8, 10… Les autres sont les nombres impairs : 1, 3, 5, 7…
3. Savoir si un nombre est un multiple d'un autre
Méthode générale. On effectue la division euclidienne de a par b : si le reste est 0, a est un multiple de b ; sinon, il ne l'est pas.
Exemple
Le nombre 91 est-il un multiple de 7 ? Et 100 ?
91 = 7 × 13 + 0 : le reste est nul, donc 91 est un multiple de 7.
100 = 7 × 14 + 2 : le reste est 2, donc 100 n'est pas un multiple de 7.
4. Les critères de divisibilité
Pour certains diviseurs, il existe des règles rapides, sans poser la division.
| Un nombre est multiple de… | si… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 | 3 574 |
| 5 | son chiffre des unités est 0 ou 5 | 2 045 |
| 10 | son chiffre des unités est 0 | 7 810 |
| 4 | le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 | 1 316 (16 = 4 × 4) |
| 3 | la somme de ses chiffres est un multiple de 3 | 471 (4 + 7 + 1 = 12) |
| 9 | la somme de ses chiffres est un multiple de 9 | 3 582 (3 + 5 + 8 + 2 = 18) |
Remarque : un multiple de 9 est toujours un multiple de 3, car 9 = 3 × 3. Mais un multiple de 3 n'est pas toujours un multiple de 9 : 12 est multiple de 3, pas de 9.
Méthode
Pour tester si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 :
- Je regarde le chiffre des unités pour 2, 5 et 10.
- Je regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres pour 4.
- Je calcule la somme des chiffres pour 3 et 9.
- Je conclus pour chaque diviseur, en écrivant une phrase.
Exemple
Le nombre 2 340 est-il divisible par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 ?
Chiffre des unités : 0. Donc 2 340 est divisible par 2, par 5 et par 10.
Deux derniers chiffres : 40 = 4 × 10. Donc 2 340 est divisible par 4.
Somme des chiffres : 2 + 3 + 4 + 0 = 9. 9 est un multiple de 3 et de 9. Donc 2 340 est divisible par 3 et par 9.
Vérification pour 9 : 2 340 = 9 × 260. C'est juste.
Exemple
Le nombre 1 457 est-il divisible par 2, 3, 5 ou 9 ?
Chiffre des unités : 7. Il n'est divisible ni par 2, ni par 5.
Somme des chiffres : 1 + 4 + 5 + 7 = 17. 17 n'est multiple ni de 3 ni de 9.
Donc 1 457 n'est divisible par aucun de ces nombres.
5. Les multiples communs
Un multiple commun à deux nombres est un nombre qui est à la fois multiple de l'un et de l'autre.
Exemple
Revenons à Fanta (tas de 4) et Mariama (sachets de 6). Trouver les multiples communs à 4 et 6 inférieurs à 40.
Multiples de 4 : 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36.
Multiples de 6 : 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36.
Multiples communs : 0 ; 12 ; 24 ; 36.
Le plus petit multiple commun non nul est 12 : après avoir vendu 12 fruits chacune (3 tas de 4 et 2 sachets de 6), elles en ont vendu le même nombre.
On remarque que tous les multiples communs à 4 et 6 sont les multiples de 12. Le plus petit multiple commun non nul sera étudié plus en détail en 8e, sous le nom de PPCM.
6. Retour au marché
Un client qui veut 30 mangues ne peut pas les avoir en tas de 4, car 30 n'est pas un multiple de 4 (le nombre formé par les deux derniers chiffres, 30, n'est pas un multiple de 4). En revanche, Mariama peut lui vendre 30 oranges en 5 sachets de 6, car 30 = 6 × 5.
3Je retiens
Je retiens
a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b × k ; on dit aussi que a est divisible par b.
0 est multiple de tous les nombres ; tout nombre est multiple de 1 et de lui-même.
Divisible par 2 : unités 0, 2, 4, 6, 8. Par 5 : unités 0 ou 5. Par 10 : unités 0.
Divisible par 4 : les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
Divisible par 3 (ou par 9) : la somme des chiffres est un multiple de 3 (ou de 9).
Un multiple commun à a et b est à la fois multiple de a et de b.
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'un nombre qui se termine par 3 est divisible par 3 : 13 et 23 ne le sont pas. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier chiffre.
- Confondre « multiple » et « diviseur » : 20 est un multiple de 5, et 5 est un diviseur de 20, pas l'inverse.
- Oublier que 0 est un multiple de tous les nombres.
- Pour 4, regarder seulement le dernier chiffre : 1 314 se termine par 4, mais 14 n'est pas multiple de 4, donc 1 314 n'est pas divisible par 4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris les huit premiers multiples de 7, puis les huit premiers multiples de 11.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Multiples de 7 : 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49.
Multiples de 11 : 0 ; 11 ; 22 ; 33 ; 44 ; 55 ; 66 ; 77.
2Exercice 2
Recopie et complète par « oui » ou « non » : le nombre est-il divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 10 ?
a) 450 b) 1 236 c) 7 425 d) 3 008
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a) 450 : unités 0, donc divisible par 2, 5 et 10. Deux derniers chiffres : 50, qui n'est pas multiple de 4, donc non divisible par 4. Somme : 4 + 5 + 0 = 9, donc divisible par 3 et par 9.
b) 1 236 : unités 6, donc divisible par 2, pas par 5 ni 10. Deux derniers chiffres : 36 = 4 × 9, donc divisible par 4. Somme : 1 + 2 + 3 + 6 = 12, multiple de 3 mais pas de 9 : divisible par 3, pas par 9.
c) 7 425 : unités 5, donc divisible par 5, pas par 2, 4 ni 10. Somme : 7 + 4 + 2 + 5 = 18, donc divisible par 3 et par 9.
d) 3 008 : unités 8, donc divisible par 2, pas par 5 ni 10. Deux derniers chiffres : 08 = 8 = 4 × 2, donc divisible par 4. Somme : 3 + 0 + 0 + 8 = 11 : ni par 3, ni par 9.
3Exercice 3
Trouve le chiffre manquant (tous les cas possibles).
a) 4■7 est divisible par 3.
b) 25■ est divisible par 5 et par 2.
c) 8■1 est divisible par 9.
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a) Somme des chiffres connus : 4 + 7 = 11. Il faut que 11 + ■ soit un multiple de 3 : 12, 15 ou 18. Donc ■ = 1, 4 ou 7 (nombres 417, 447, 477).
b) Divisible par 5 et par 2 : le chiffre des unités doit être 0. Donc ■ = 0 (nombre 250).
c) Somme : 8 + 1 = 9. Il faut que 9 + ■ soit un multiple de 9 : 9 ou 18. Donc ■ = 0 ou 9 (nombres 801 et 891).
4Exercice 4
Écris les multiples communs à 6 et 8 inférieurs à 60. Quel est le plus petit multiple commun non nul ?
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Multiples de 6 inférieurs à 60 : 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54.
Multiples de 8 inférieurs à 60 : 0 ; 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56.
Multiples communs : 0 ; 24 ; 48. Le plus petit multiple commun non nul est 24.
5Exercice 5
(Problème) Au terminus de Kindia, un minibus pour Mamou part toutes les 15 minutes et un taxi-brousse pour Télimélé part toutes les 20 minutes. À 7 h, les deux véhicules partent en même temps.
a) À quelle heure partiront-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?
b) Combien de départs simultanés y aura-t-il entre 7 h et 11 h (7 h et 11 h compris) ?
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a) On cherche le plus petit multiple commun non nul de 15 et 20.
Multiples de 15 : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75…
Multiples de 20 : 20 ; 40 ; 60 ; 80…
Le plus petit est 60 minutes, soit 1 heure. Ils repartent ensemble à 8 h.
b) Les départs simultanés ont lieu toutes les heures : 7 h, 8 h, 9 h, 10 h, 11 h. Cela fait 5 départs simultanés.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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